книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

где

A0 = cos(p/2)cos(0/2 ),Aj = -sinty>/2)sin(0/2),

A2 = cos(p/2)s in(6/2 },A3 = sin(ÿ>/2)cos(0/2).

Уравнения (4.93) образуют систему относительно углов (р и 0, а также двух компонент кватерниона Л. Будем считать заданными компоненты кватерниона А0 А2. Выбор А0 обусловлен тем, что А0 =cos%/2, и, следова­ тельно, А0 полностью определяется углом конечного поворота х\ А2 выбран для удобства решения системы (4.95). Из совместного решения первого и третьего уравнений этой системы вытекает:

<р = 2arccos\/A jj + А2 ,

Компоненты A 1и А 3 определяются как функции найденных углов <ри 0 из второго и четвертого уравнений.

Таким образом, для решения задачи о разложении конечного поворота по двум заданным направлениям недостаточно знать только угол конечного поворота х • В этом случае задача недоопределена и возможно бесконечное

множество решений. Для определенности решения требуется указание угла /3 между вектором конечного поворота и одной из осей, в данном случае осью у. Угол /3 совместно с углами а и у определяет наклон вектора конечного поворота.

Угол /3 (рис. 4.49) определяет наклон плоскости большого круга резуль­ тирующего конечного поворота к оси у. Наряду с углом х угол /3 может задаваться свободно. Углы а и z определяются как функции этих независи­ мых параметров.

Контрольные вопросы

1.Как задастся ориентация тела в пространстве?

2.Что такое оператор преобразования координат? Как с его помощью определить коорди­

осей. Как определяется оператор преобразования координат при последовательности поворо­ тов?

4.Что такое углы Эйлера и углы Крылова? В чем их отличие?

5.Что представляют собой операторы угловой скорости и углового ускорения и как с их помощью определить скорости и ускорения точек тела? Запишите соответствующие формулы.

6. Как определяются угловая скорость и угловое ускорение для случая сложения поворотов? 7. Что представляют собой кинематические уравнения и как с их помощью определить

ориентацию тела в пространстве?

8. Сколько степеней свободы имеет твердое тело в пространстве? Каковы его обобщенные координаты? Что такое связи и уравнения связей?

9.Запишите матрицы ориентации для сферической, сферической с пальцем, вращатель­ ной и поступательной кинематических пар.

10.Что такое прямая задача кинематики манипулятора? Как она решается?

11.Что такое обратная задача кинематики манипулятора? Какие способы ее решения существуют?

12.Приведите примеры дифференциальных передаточных механизмов. Где они применя­ ются? Как определить скорость на выходе дифференциального механизма, если известны

скорости на входе?

13.С какой целью и какими средствами осуществляется развязка движений звеньев мани­ пулятора?

14.Приведите примеры плоских рычажных механизмов, применяемых вроботах. Чтотакое

карданов подвес? Какую функцию выполняет универсальный шарнир?

15.Как устроены гибкие управляемые органы манипуляторов?

16.Что такое кватернион? Каков его геометрический смысл? В чем преимущество кватер­ нионов при описании вращательного движения?

При переходе к операторам угловой скорости и углового ускорения в теле выражение для главного вектора сил инерции примет вид

где р=тт(г$ - г^) — радиус-вектор центра масс в связанной системе тела. Выражение (5.2) получено из формулы (5.1) с учетом правил перевода операторов и векторов в связанную систему звена (см. § 4.1). Главный вектор сил инерции вращательного движения в системе тела, выраженный

в операторах угловой скорости и углового ускорения в теле, имеет вид

Г и = т ТР И = - т А( е + С2)р.

Главный момент сил инерции возникает в результате вращательного движения тела вокруг центра масс. Он определяется как производная по времени вектора кинетического момента (момента количества движения), взятая с обратным знаком:

Для вычисления кинетического момента введем вспомогательную свя­ занную систему звена xyz(5), поместив ее начало в точке S и направив оси параллельно основным связанным осям xyz. Кинетический момент тела относительно неподвижной точки, согласно определению, вычисляется по формуле

к =Л .т .(7 . х V. ),

где 7, и Vf — радиус-вектор и скорость i-й частицы тела относительно этой точки.

Всвязанной системе xyz S в операторной форме это уравнение примет вид*

к= Tf-rn. А(р. ) [А(й)р. ],

Раскрывая двойное векторное произведение, получим составляющую кинетического момента по оси х:

Составляющие вектора к по двум другим осям будут иметь аналогичный вид. Таким образом, каждая из составляющих кинетического момента яв­ ляется линейной функцией составляющих угловой скорости. Следователь­ но, вектор кинетического момента получается из угловой скорости в результате линейного преобразования. Тогда

Элементы полученной матрицы и будут искомыми собственными значени­ ями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой / имеет диаго­ нальный вид, является задачей нахождения собственных значений матрицы тензора / , причем числа Jxv Jyy, Jzz — это собственные значения А.1, А 2, А з . Методы матричной алгебры позволяют доказать, что для любой точки тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы Jхх} Jyy, Jzz — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат переходят в главные оси, называют преобразованием к главным осям. Главные моменты инер­ ции находятся из уравнения, определяющего собственные значения матри­ цы тензора /, т.е. из характеристического уравнения (4.2).

Во многих простых случаях о главных осях твердого тела можно судить непосредственно по его виду. Часто, например, рассматриваемое тело пред­ ставляет тело вращения, а начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии.Тогда все направления, перпендикулярные к оси сим­ метрии, будут, очевидно, равнозначными. Главными осями в этом случае являются ось симметрии и две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии.

Согласно формуле (5.3), представим к в виде

Тс = тк = T JÔ)

и продифференцируем по времени

При дифференцировании учтено, что/—постоянная матрица. Далее имеем

в связанной системе тела

Согласно принципу кинетостатики, при вращении тела вокруг непод­ вижной точки сумма момента внешних сил Мв и главного момента сил инерции Л7Иравна нулю. Тогда

Из уравнения (5.9) следуют три скалярные уравнения, называемые ди­ намическими уравнениями Эйлера. С кинематическими уравнениями Эйлера (4.41 ) они образуют систему из шести нелинейных дифференциаль­ ных уравнений первого порядка относительно шести неизвестных функций w*(f), u)y(t) ,fc>z(*),^(f),^(/),0(/). Исключая из уравнений^, и)у, и2, можно получить три дифференциальные уравнения второго порядка относительно трех эйлеровых углов ф, у), 0. Решаются уравнения численными методами на ЭВМ.

5.2. Условия динамического равновесия кинематической цепи

Рассмотрим условия равновесия сил, приложенных к системе несколь­ ких взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой при помощи шарниров и соприкасаться друге другом, вызывая силы взаимодействия. Силы, действующие на систему тел, можно разде­ лить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, с которыми на тела данной системы действуют тела, не входящие в нее. Внутренними называются силы взаимодействия между телами системы.

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить ее на отдельные твердые тела и обеспечить условия равновесия для одного тела. В этом случае на тело воздействуют как внеш­ ние, так и внутренние силы. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке соприкосновения двух тел образуют равновесную систему сил. Поэтому внешние силы, дей­ ствующие на систему тел без внутренних сил, удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, за которое следует принять систему тел. В этом заключена сущность известного в механике принципа “затвердевания” системы.

Систему из N тел можно расчленить на несколько групп. Внутренние силы для отдельных групп и всей рассматриваемой системы тел учитывать не надо. Это позволяет рассматривать кинематическую цепь мгновенно “затвердевшей” и использовать уравнения равновесия так же, как и для твердого тела.

Внешние силы, действующие на систему, можно привести к некоторой точке в виде главного вектора и главного момента. За точку приведения примем центр кинематической пары. Рассматривая кинематическую пару мгновенно “затвердевшей”, из условия равновесия найдем, что главный вектор и главный момент реактивных сил равны главному вектору и глав­ ному моменту внешних сил с обратным знаком. Разложив их по связанным осям, получим три составляющие главного вектора и три составляющие главного момента. Взависимости от конструкции пары часть составляющих уравновешивается упругими силами, возникающими в элементах пары, а остальные определяют усилия по обобщенным координатам.

Во вращательной паре разложим главный вектор R и главный момент L реактивных сил по осям промежуточной системы координат хyz(5) (см. рис. 4.17). Упругими силами связей воспринимаются три составляющих главно­ го вектора и две составляющих главного момента — вдоль осей у(5) и je*5* Составляющая момента по оси z(5)i представляет усилие по обобщенной координате. Аналогичным образом в поступательной паре упругими сила­ ми воспринимаются три составляющих момента и две составляющих силы. Составляющая вдоль оси ziS*представляет усилие по обобщенной коорди­ нате. В шаровом шарнире с пальцем три составляющих силы и одна состав-

ляющая момента восприни­ маются связями, составляю­ щие моменты по осям z(S) иу (5), являются усилиями по обоб­ щенным координатам <ри 0 (см. рис. 4.19). В полном шаровом шарнире имеются три состав-

уу ляющих момента по обобщен­ ным координатам у>, ф, 0. Проектирование векторов R и L на соответствующие оси осуще­ ствляется по правилу скаляр­ ного произведения вектора на орт выбранного направления (см. формулу (4.6)).

Составим схему нагруже­ ния открытой кинематической цепи. Для этого приложим к звеньям актив­ ные силы Fa, включая силы тяжести и активные моменты А/а, главные векторы и главные моменты Л/и сил инерции, считая их приведенными к центрам масс звеньев. Это нагружение можно представить главными векторами FBi и главными моментами Мщ внешних сил (рис. 5.1), причем

Разобьем кинематическую цепь на участки, отделяя по одному звену, начиная со стойки. Таких участков будет N по числу звеньев: от первого до А^-го, от второго до N-то и т.д. Рассмотрим равновесие полученных участ­ ков, при этом действие отброшенных связей заменим реакциями, внутрен­ ние реакции во внимание не принимаются. Участок цепи, согласно принципу “затвердевания”, рассматривается как одно твердое тело (рис. 5.2). Уравнение кинетостатического равновесия участка в форме уравне­

_Уравнения представлены в связанной системе звена с номером T «> i. LÀi

и Rf**AI — реактивный момент и реактивная сила в кинематической паре Д- Все векторы взяты в i-й системе, на что указывает верхний индекс (/). Выражение

x ^ S k >^вк *

представляет момент активных сил, приложенных к к-му звену, относи­

В выражении (5.12) учтено, что векторы М т и FBiопределены в основ­ ной неподвижной системе.Т4х перевод в связанную систему звена осущест­ вляется матрицей т J

Аналогичным образом записываются уравнения сил:

п< 1И

Произведем скалярное умножение уравнений (5.13) и (5.15) на орты осей обобщенных координат êq. Получим уравнения равновесия в проекци­ ях на оси обобщенных координат:

Матрица е° формируется из ортов осей обобщенных координат с учетом типа кинематических пар. Из выражений (5.16) следуют равенства

гдеМ и Q — векторы моментов и сил соответственно по угловым и линейным обобщенным координатам.

Если движение системы задано, из выражений (5.17) находятся усилия, обеспечивающие это движение.

5.3. Предварительный силовой расчет манипулятора

Предварительный расчет манипулятора можно вести по упрощенной схеме кинетостатического расчета, считая звенья геометрическими с сосре­ доточенными точечными массами, помещенными в центрах их масс.

На этапе предварительного расчета манипулятора производится ориен­ тировочный расчет мощности двигателя, определяется быстродействие ма­ нипулятора. При расчете мощности двигателя учитываются такие параметры, как масса переносимого груза, максимальный радиус вылета