книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

Следует отметить, что В — нелинейный оператор и ему соответствует нелинейная полугруппа, тем не менее метод Г-произведений можно применять в этом случае [30]. Точное решение задачи Коши (3.50) имеет вид

Приближенное решение задачи Коши (3.50) (а сле­ довательно, и начально-краевой задачи (3.34), (3.36), (3.49)) получается в виде конечного произведения при фиксации N

В уравнении (3.51) 5 (l) (ДО — полугруппа (в дан­ ном случае группа) операторов, отвечающая задаче

91

t

здесь коэффициенты £ „m, £nm, Ялт и функции цлт (*, у) вычисляют по формулам

Неоднородные дифференциальные уравнения с пе­ ременными коэффициентами. Описанный метод мож­ но применять для приближенного решения уравне­ ния (3.34), когда коэффициенты а и v зависят от t

92

Решение задачи (3.35) с граничными условиями (3.49) получим в виде

N—1

и (/, х ,у ) = П S <1) ((i + 1) Д(, Ш ) S°> ((i + 1) X /=0

хШ )(и 0(х, у), WQ xt у)),

где 5 (0 — эволюционные операторы (Д/ = tJN):

93

цесса функция а (//), описывающая это переменное натяжение, получается интерполяцией, обычно по двум точкам вдоль ширины материала, то ограничимся

94

примени i метод Г-произведений. Для этого запишем условия (3.60) в виде эволюционного уравнения

= Аи + Ви + Си\

(3.61)

и (0) =

где операторы Л, В и С описываются правилами

при этом функция и0 (t) задает решение задачи (3.56) —

отвечающие операторам С, В, А.

Группа нелинейных преобразований S {2) (т), от­ вечающая оператору В, описана формулами (3.57) и

95

6 граничными условиями из уравнения (3.60) и началь­ ными условиями

и{о, X, у) = у0(х> у);

-§-(<. х,у) |<_о= «70(л:, у).

Вид переменного коэффициента позволяет сделать замену

X In ау + Ь

Ь)

Q6

и на границе прямоугольника [О, I) х [0, (Ыа) ( ^ — 1)],

и — 0.

Обозначим (Ыа) (еа^ — 1) через у0. Тогда решение уравнения (3.63) можно получить следующим обра­

дает решение и уравнения (3.63) с требуемыми началь­ но-краевыми условиями

и (t, X, у) = -g- (и„ (X, у — 0 + и„(х, у + 0) +

Заметим, что поскольку нас интересует примене­ ние этой формулы при малых значениях t (ввиду ее использования в методе Г-произведения) достаточно взять_периодическое и нечетное продолжение функций

и0 и W0 лишь на прямоугольник [О, Л X [— е,г/0 + в], где е зависит от шага А/ в методе Т-произведения.

Возвращаясь к уравнению (3.62), запишем его решение в виде

97

98

3.4. М О Д Е Л И Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К И Х О Б Ъ Е К Т О В С « П О Д В И Ж Н Ы М » В О З М У Щ А Ю Щ И М В О З Д Е Й С Т В И Е М

Большой класс технологических объектов представ­ ляют собой станки с двухкоординатными каретками (сверлильные, для сборки печатных плат и др.), а также планшетные координатографы и графопострои­ тели. Для оптимизации управления этими объектами задаются обычно управляющие воздействия на испол­ нительные устройства каждой из координат, причем это управление обычно взаимосвязанное, т. е. выбор одного управляющего воздействия, как правило, накладывает ограничение на второе.

Положение платформы в пространстве двух коорди­ нат (х, у) определяется в любой момент времени соот­ ношением управляющих воздействий, заданных на каждой координате. Самым распространенным преоб­ разователем вращательного движения в поступатель­ ное является шарико-винтовая пара (ШВП). Посколь­ ку системы управления каретками станков требуют высокого быстродействия, которое обеспечивается оп­ тимальной структурой управления и допустимыми форсировками, в ШВП возникают большие ускорения. Приводы при этом постоянно работают в динамиче­ ских режимах с разрывной функцией управления.

Еще более остро стоит вопрос о разрывных функ­ циях управления, приложенных к ШВП, в коорди­ натографах или копировальных станках, предназна­ ченных для работы в динамических режимах. Когда копировальный станок воспроизводит профиль в виде прямого или острого угла, максимальную динамиче­ скую ошибку, возникающую в вершине угла, можно уменьшить лишь за счет резкого снижения скорости винта, т. е. за счет резкого торможения электродви­ гателя. Эти форсировки приводят к возникновению в винте различных колебаний: крутильных, продоль­ ных, поперечных.

99

На ошибку позиционирования каретки непосредст­ венно влияют продольные колебания, частоту, и ам­ плитуду которых необходимо оценить. Сформулируем задачу описания продольных колебаний для идеали­ зированного случая при следующих общепринятых допущениях: 1) считаем платформу абсолютно твер­ дым телом, жестко связанным с гайкой ШВП, т. е. платформа, перемещаясь вдоль направляющих по основанию станка, повторяет продольные движения гайки; 2) пренебрегаем трением во всех сочленениях станка; 3) пренебрегаем погрешностями изготовления механических узлов; 4) считаем, что опоры винта не допускают продольных перемещений.

Упругий стержень, жестко закрепленный на кон­ цах, в некотором сечении с координатой х нагружен массой Л4, совершающей вместе с ним продольные крлебания. Таким образом, подвижная платформа с массой М представляет собой для винта «подвиж­ ное» возмущающее воздействие. Если пренебречь рассеянием энергии, то продольные колебания стерж­

Выведем условия сопряжения в точке х0. По закону Гука силы упругости, приложенные к платформе (точка х0) со стороны стержня справа и слева, при­ ближенно равны: Fnpau = ^ле» = SEAylAx, где — площадь поперечного сечения стержня.

100