книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfно |
г (t0 + е) = и' (/,) = г' (/,) = О, J е~w (г' (t) — |
|
f,-fe |
- * w i w - I dt>0-
Поэтому |
j |
— а2(0 — (соо + |
р2) |
z2 (t) dt ^ |
О, |
т. е. |
||
неравенство |
a2 (t) > |
©о + |
р2 не |
выполняется. Но |
||||
©о < |
2я/, |
поэтому не |
может |
выполняться |
и |
нера |
||
венство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ а Ч ( ) > 4 п Т + ^ , |
|
|
|||
т. е. |
неравенство a2 (t) > 4f2l2 + |
/2р2/я2. |
|
|
||||
Тогда, применяя теорему Вейерштрасса, получаем, что существует t" £ [/0, tx\ такая, что справедливо ра венство
о.2(О = 4/ 2/2 /2р2/я2.
Доказанные основные теоретические положения об информативности поперечных колебаний упругой системы позволяют сформулировать обобщенный кри терий точности воспроизведения непрерывной диф ференцируемой функции Т (0, основанный на одно значнойзависимости минимального информативно го интервала от параметра Т и зависимости интерва лов, образованных нулями производных функций
и(/) (п > 2), от производных функций Т (О-
2.3.МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ
Если тх, т2, ... тп — последовательность ну лей функции колебаний упругой системы и (0 , то из теорем 1 и 6 следует, что среднее значение исходной восстановленной функции Т (t) на интервале (тп т*_ц)
41
можно записать в виде
Тар (0 = k! |
(2.23) |
где k — коэффициент пропорциональности, завися щий от параметров колебательной системы.
Положим, например, что для колебательных сис тем» описываемых уравнением (2 . 1)
|
|
/ v = |
1/4 (т»+,— %k). |
|
Тогда |
из |
теоремы |
2 следует, что на промежутке |
|
[тй1 T*+ I] |
можно приближенно положить а (/) « |
2fkl% |
||
и поэтому |
на этом |
промежутке Т (0 « flip, |
где |
|
fk — усредненная частота колебаний упругой системы на минимальном информативном интервале 1тя, тЛ+ |1; р — плотность материала.
Таким образом, непрерывная дифференцируемая
функция |
для этих колебательных систем определя |
|
ется с помощью предельного интервала |
[т*, тл+ J по |
|
формуле |
Т (/) = /ар/[4 (т*+, — т*)]2. |
(2.24) |
|
||
Если для воспроизведения функции Т (0 исполь зовать нули первой производной функции и (0 , то с учетом теорем 2 и 7 можно записать среднее значение функции Т (Q:
при
ТСР (t) — |
(2.25) |
|
при |
42
где Тх» Ya* •••» Y*. •••» Yn — последовательность нулей функции и! (0 ; Yii TI . Y2» т2... — последовательность нулей функции и (/) и «' (/).
С учетом нулей функции и'" (t) и теорем 4 и 5 сред нее значение функции Т (0 имеет вид
При Я;+ 2 ^ t ^ Tf+ ь
Т ср (0 =
при ^ + 3< ^ < Y i + 2«
здесь Я1} Я2, Я, — последовательность нулей функ ции и'" (/); Л-х, Yx, Я2, т,, Я3, Y2 — последовательность нулей функций и (t), и' (/), и'" (t).
Объединив теоремы |
1—5 и |
обозначив |
через Я?, |
||||
Я"-1, |
Ях, Я?, Я?-1, |
Я2 — последовательность ну |
|||||
лей |
функций и{п) (t), где п = |
4, |
5, 6, .... |
а через |
|||
Я", |
Я"-1, |
Ях, |
Yi'»^?, |
Я?-1,..., |
Я2> Тх — последова |
||
тельность нулей |
функций и (0, |
и' (0> и" (0,..., w(/I) (0. |
|||||
48
запишем среднее значение воспроизведенной непре рывной дифференцируемой функции в общем виде;
^— - 5- при ?(+! < t < Х'/+2;
(I ')
Пр (0 = |
~Ь &г-1ф?+1 |
|
т«+1 |
- |
|
|
I |
|
|
^ + 2 |
|
|
ПрИ |
А,7+2 ^ ^ ^<7+ 2» |
44
4- • • • + ^оФi+i
k |
при h+7 ^ |
t ^ |
|
~2~ При Tin^ t ^ |
A>i |—3* |
||
|
2.4. ОБОБЩЕННЫЙ КРИТЕРИЙ ТОЧНОСТИ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ НАТЯЖЕНИЯ
Погрешность определения функции Т (f) на интерва ле (tki 4 +i) в общем случае можно вычислить по фор муле
|
шах | Т |
(t) | (tk+i — tk)2. |
(2.27) |
|
|
K C V /H-II |
|
|
|
Погрешность вычислений на интервале (0, т) |
||||
Лт |
= шах IV (О I (<*+ , — tkf < |
|
||
|
'€(0.0 |
|
|
|
< |
max | Г |
( 0 1max (tk+l — tk)\ |
(2.28) |
|
Для диссипативных колебательных систем, описы |
||||
ваемых уравнением |
(2 .2), |
непрерывную |
функцию |
|
Т (f) можно воспроизвести методом предельных интер валов также по последовательности нулей < tx < < . t2 <Z ... функций и (0 и и (0* упорядоченных в порядке возрастания. Усредненную частоту колеба ний упругой системы fk определим как наименьшее положительное решение уравнения
ctg 2л/* (<*+1 — <*) = — ц/(2л/*).
46
Тогда из теоремы 2 следует, что на промежутке (4» 4+0 можно приближенно положить
|
|
Г ( 0 = р ( 4 / | / » - И » ц а/я а). |
|
|
|
|
||||||
|
Оценим |
погрешность |
восстановления |
функции |
||||||||
Т (0- Пусть |
/0 < |
4 < |
4 < |
|
-• — последовательность |
|||||||
нулей функции и(0 и нулей функции и |
(/), упорядо |
|||||||||||
ченная в порядке возрастания. Предположим, |
что на |
|||||||||||
промежутке |
(4- 2* |
4+0 |
функция монотонно возрас |
|||||||||
тает. |
8. На промежутке (4-ь |
4) |
справедливо |
|||||||||
|
Теорема |
|||||||||||
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I т (0 - |
4/1—1/ар | < |
4/ар max (| / L i |
- |
/L -а |. |
|||||||
|
|
|
| / L i — /*|). |
|
|
|
|
|
||||
|
Доказательство. Поскольку функция Т (f) моно |
|||||||||||
тонна на интервале (4-ь |
4)> то для |
всех |
* £ (4—1» |
|||||||||
У |
справедливы неравенства Т (4-0 < |
7* (/) < |
Г (4 ). |
|||||||||
Но |
Т (0 монотонна и |
на промежутках (4-2, |
4-0 и |
|||||||||
(4, |
4+0- Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т (4 - 0 = |
max |
T(t) и |
Г(4) = |
min Г(*). |
||||||||
|
|
Одь—г.'*—1) |
|
|
|
|
/€(4‘4+i) |
|
|
|||
|
Тогда по теореме 2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T (<*_ 1) > 4 / L 2/aP |
И |
7’ ( 4 ) < 4 / 1 / ар. |
|
|
|||||||
|
Следовательно, для |
всех |
16 (4-ь |
4) |
справедливы |
|||||||
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Д_2гар |
< г ( о < 4/ ^ ар- |
|
|
|
|
|||||
Тогда 4 / L 2/*P — 4/t_ i/ap ^ |
Г (0 — 4 fl—iPp ^ |
|
||||||||||
< 4/*/ар — 4 /L iZ 'p .
46
Отсюда |
следует |
неравенство |
|
I т (t) - |
4 / L I/2P I < 4рР max {| / | _ 2 - |
/ L . |, |
|
|
|
— |
(2.29) |
что н требовалось |
доказать. |
|
|
Рассмотрим особенности определения функции Т (О для колебательных систем, описываемых урав нением (2.3). Колебания движущейся струны описы
ваются |
|
уравнением |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
д~У |
— 2v |
д2у |
|
|
/ > 0, |
|
|
|
|
|
дх~ |
|
|
dxdt |
|
|
|
при |
краевых |
условиях |
|
|
|
(2.30) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
У ( 0, |
|
t ) = y ( l , |
/ ) = 0 . |
(2.31) |
||
В уравнении (2.30) сделаем следующую замену пе |
||||||||||
ременных: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Уа2 — v2 |
4 |
v |
|
«. |
|
х, |
|
|
9 = |
~ п-----1 -----5 = |
|
|
||||||
|
|
V a2 — v* |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
а 2 = |
а2/{а2 — v2). |
|
|
|
|
||||
Если функция и определена из условия и (£, i}) = |
||||||||||
= у (.х, |
0 > то |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||
д'гу |
|
|
а? |
д‘ги |
|
2v |
|
д2и |
, и3 |
д-и . |
дх |
~ |
а2 — V2 |
д%2 |
|
а3— и3 |
|
|
дц* * |
||
д2у |
|
|
a2 — v2 д*и . |
|
|
|
|
|||
дхду |
~~ |
а 2 |
dt|a |
|
|
|
|
|
||
д2у |
|
|
дги |
v |
|
д2и |
|
|
|
|
~дЖ “ |
'ар гГ " |
а2 |
|
<?п2 * |
|
|
|
|
||
Подставляя |
эти |
соотношения в |
уравнение (2.30), |
|||||||
получаем |
д Ч |
_ |
а- |
|
д Ч |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(2.32) |
||||
|
|
|
|
drja |
|
а2— иа |
д£а |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
47
Краевые условия (2.31) при этой замене имеют сле дующий вид:
г') = 0- |
<2-33> |
После разделения переменных и учета краевых условий (2.33) получим следующее уравнение для ре шения задачи (2.32) с краевыми условиями (2.33):
И(5. 11)= _£ AkСч) sin |
. (2.34) |
где Ak (т]) — некоторое решение уравнения
+ |
А(ц) = 0. |
(2.35) |
Выделяя в уравнении (2.34) основную частоту, на ходим
«(£. Л) /М л) sin |
V аг — v2n% |
ctl |
Общее решение уравнения (2.35) при k = 1 пред ставим в следующем виде:
Аг (л) = Ао sin ((ял)// + с0).
Поэтому
и (£» Л) = А0sin (ялИ + с0) sin |
— |
. |
Переходя к переменным t их, запишем решение
у {х, о = Алsin [ |
( у а 2 — vH — |
|
---- V a *- v * * + |
c° ) ] sin (nx/l), |
(2.36) |
где Л0 и C0 находятся из начальных условий для за дачи (2.33). '
48
Из равенства (2.36) определяем частоту
f = V ^ r ^ ¥ l ( 2 a l ) .
Формула для определения натяжения имеет вид
|
Т = |
|
(2r i 2 + |
2lf v v 2 + |
/ 2/ 2 + |
V2) р, |
|
(2.37) |
||||||
где р — плотность |
материала |
струны. |
|
|
||||||||||
|
Уравнение колебаний движущейся в упругой среде |
|||||||||||||
струны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2у |
= |
(я8- |
» |
2)- 0 - - 2 |
а |
д 2у |
|
|
|
||||
|
d t2 |
dxdt |
|
|
|
|||||||||
при краевых условиях и (0, t) = |
и (/, |
0 = 0 . |
|
|||||||||||
|
Введем новые переменные |
q = -— ----- t — —х; |
||||||||||||
%= |
v~B7Z 'Ji |
х; (д8 = |
а« - ц») и |
неизвестную |
функ- |
|||||||||
цию и (т], |
g) = |
у (х , |
0* |
Тогда |
легко |
проверить, что |
||||||||
функция |
и (rj, |
|) |
удовлетворяет |
уравнению |
|
|||||||||
(а2 — vz) |
д*и |
|
|
д2и |
|
|
|
|
|
|
||||
дц2 |
|
|
д6* |
|
|
|
|
|
|
|||||
и краевым |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
и (Г), 0) = |
и (л, - у = |
= - ' ) = 0. |
|
(2.39) |
||||||||
|
После разделения переменных решение уравнения |
|||||||||||||
(2.38) имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
« (Л. |
0 |
- |
2 « , (Л)sin -?Са! |
Ш |
I, |
(2.40) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
*= 1 |
|
|
|
|
|
|||
рде |
(л) — некоторые |
решения |
уравнения |
|
|
|||||||||
|
г''+ |
|
a V t f - » » |
г' + (^//)2г = °' |
|
<2-41> |
||||||||
49
Любое решение уравнения (2,41) имеет вид
М 4 ) - л . « р ( - . . | , 7 _ „ ) х
X Sin
где Ак и Ск — некоторые константы.
Выделяя в выражении (2.40) основную частоту,
получаем |
“(* ^ |
ЛеХР(~ а У * Ь ? ) * |
|
|
||||||
w . (ш Г |
|
|
||||||||
я 2 |
(а2 — и2) и2 |
\ . |
я l^ a 2 - |
к2 |
«. |
|||||
Х81П( | / |
— |
~ |
|
а° |
|
tt + c) |
S M — 1- 3 — |
|
6- |
|
Обозначая |
со2 = |
л2//2 — а2р-а/а 2 |
и переходя |
к |
пе |
|||||
ременным / и х , |
находим |
|
|
|
|
|
|
|||
у(х, t) = |
A e x p --------м'- |
—■ ( ^ g2 ~ |
1,2 ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
а ]Л х 2 — t»2 \ |
a |
1 |
|
|
||
|
V |
X ] |
Y1 . |
ЯХ . Г ( V & — и2 . |
|
|
||||
--------- ■— |
Sin —г - |
Sin |
CD0 —------------------ / — |
|
||||||
об "\fa2 —o2 |
|
yj |
* |
[ ° \ |
a |
|
|
|||
— r ' ) ] ‘ i " - |
T |
!l" |
[« * ( |
1, 1' — |
г '■ ) + ' ] ’ |
Полагая x = |
~ /, |
записываем |
|
||
<р(0 = |
г / ( х > |
<] = |
В е х р |---- £s- |
x |
|
x sin (■|/~l|l~ <,а (00/ + a0j ,
где В и a 0 — некоторые константы.
60