книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfДокажем, что расстояние между нулями и(п) (f) при п 2 зависит от крутизны Т (/), т. е. от производ ной Т '. Для этого достаточно найти Т (f) ф const,
для которого нули и{п) (/) при |
|
2 не совпадают ни |
||||
с нулями |
и (/), ни с нулями и |
(/). Докажем сначала |
||||
несколько |
лемм. |
|
|
|
|
|
Лемма |
1. Любая |
производная |
и(п) |
(при |
/г > 2) |
|
решения |
уравнения |
и" (/) -f |
(/ + |
1) и |
(f) = 0 |
пред |
ставляется в виде линейной комбинации с полиноми альными коэффициентами функций и (0 и и' (t). Лем му докажем методом математической индукции. Нуж
но |
показать, |
что существуют такие полиномы Рп (/) |
и |
Qn (t), что |
uln) (t) = Рп (t) и (0 + Qn{t) и' (t). При |
п = 2 можно положить Р2 (/) = — (/ 4- 1). Qz (0 = = 0. Предположим, что утверждение теоремы спра
ведливо при |
п = k, т. е. и(к) (0 — Pk (f) и (/) + |
-|- QK.(О и (t). |
Докажем, что существуют такие поли |
номы Pk+\ (i) и Q*-}-i (О, что u{k+[) = Pk+iu + Qk+iu.
Дифференцируя |
по |
t равенство |
u(k) = |
Pk (0 ы (0 *+ |
||||||
4- QA:+I (/) и |
(0* |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||
u{k+l) = |
?k{t) W(0 + |
Р ки + |
Qkun+ |
Qku' = |
|
|||||
*=(Pk 4“ Qk) ur 4- PkU 4- QAW". |
|
|||||||||
Ho u" = — (t -f |
1) и |
и |
поэтому |
|
|
|
||||
Uk+ 1= |
(Pk - V 4 |
0 Qh) U + |
(Pk 4- Qk) |
|
||||||
Полагая Pfi+l |
(t) |
= |
P‘k (t) |
- |
(t |
+ |
1) Qk (t) и Qk+, (0 = |
|||
= Pk (t) 4- Qk (t)* |
получаем |
искомое |
представление |
|||||||
для ик+х. |
Полиномы |
Рп (t) и Qn (t) |
имеют вид |
|||||||
Лемма 2. |
||||||||||
|
|
|
Pn(t) = |
|
|
|
|
|
||
__ J ( - l ) /i+1 tk+{ 4- Pk (0, |
|
|
если |
n = 2k + |
2, |
|||||
“ i ( - l ) " +1 (k + |
1) 4* + |
/>*_, (t), если |
n-= 2k + |
3; |
||||||
31
|
|
|
0 . ( 0 - |
|
|
|
|
||
_ |
|(— 1)* ft (ft + |
1) tk- ' + |
qi, - 2 |
(0, |
если |
n = 2ft + 2, |
|||
= |
i(— 1)‘+ ' ik+' + |
qk (t), если |
n = |
2ft + |
3, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
где P* (0 и qk |
(t) |
— некоторые полиномы порядка не |
|||||||
выше &. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемму 2 также докажем методом математической |
||||||||
индукции. Имеем P2 {t) = |
— t — \ \ |
Q2 = 0; Р3 (f) = |
|||||||
= |
—1; Q3 (t) = |
— t — 1, |
так что |
утверждение лем |
|||||
мы 2 верно при k = 0. |
Предположим, что лемма 2 |
||||||||
верна при я = р. Покажем, что тогда она справедлива
и для п = |
р + |
1. При доказательстве леммы 1 было |
||||||||||
показано, |
что |
Рп+ 1 = |
Р« — Qn (t + 1) и |
Q,l+i |
= |
|||||||
= |
Рп Н- Qn. |
Предположим |
сначала, |
что |
р = |
2k, |
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pp(t) - ( - 1 )* <* + |
P *-i (0; |
QP = ( - l ) ‘ (ft - |
1) Ыл~ 2+ |
|||||||||
Поэтому |
|
|
|
+ |
qk- з (0- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рр+| (0 |
= |
|
|
— |
+ |
1) Qp (0 = |
f t ( - l ) * |
<*-' + |
|
||
|
+ />*_, (0 - |
[i + |
1) |
|
(ft - |
1) ktk~2 - |
|
|||||
|
- ( < + |
l)?(, - 3 = ( - l ) V |
- 1[ft + |
(ft_ l)ft] + |
|
|||||||
+ |
P*_, (0 - |
( - l ) ‘ -'ft (ft - |
1)l*- 2 - |
(/ + |
1) <7*_3(0 = |
|||||||
|
|
|
= |
(_ 1 )‘ Р - ‘А2 + Р ,_ 2(<). |
|
|
|
|||||
|
QP+1 <*) = |
Pc (0 + Qp (0 = |
(- 1 )" t" + |
/>*_, (t) + |
|
|||||||
+ |
( - ! ) * “ ' ft (ft - |
|
I f t"-9 + |
q'k-2 (<) = |
( - 1 )V |
+ ?*_, (<). |
||||||
Таким образом, при p = 2k и предположении, что уравнения (2.15) справедливы при п = р, вытекает, что они справедливы и при п = р + 1.
32
Пусть теперь р = |
2k + |
1. Тогда |
|
|
|
||
Л-+1 (0 = P'tb+t (О — (< + |
•)<& *+! (О = |
(— l)6 k4k~ l + |
|||||
+ Я*_2(0 — |
+ |
1)(— 1)V — (/ + |
I) <7*_i (/) = |
||||
= |
( - 1 ) * +1 tk+' + P k(t); |
|
|
||||
QP+ I (О = Л. (О + |
<2,(0 = |
(—I)" И *- ' + |
( - l ) * ^ - 1+ |
||||
+ q’t -i (О + Я»_2 (О = (— 1)"<*-' (ft2+ k) + |
qk—i(t) = |
||||||
= ( - \ f k ( k + |
\)tk- ' + q k_ ,(t). |
|
|||||
Поэтому и при p = 2k -f 1 |
и предположении, что |
||||||
уравнения (2.15) |
справедливы |
при |
п = р, вытекает, |
||||
что они справедливы и |
при |
п = |
р + |
1. |
Тогда по |
||
утверждению метода математической индукции урав
нения |
(2.15) |
справедливы при всех п > |
2. |
|
|
||||||||
|
Лемма 3. |
При |
|
т ф |
п |
полином |
Dm.n (0 “ |
||||||
= |
Рп (О Qm (0 — Рт (О Qn (О не равен тождественно |
||||||||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
С |
учетом |
уравнения (2.15) |
для |
||||||||
Рт |
и |
Qn запишем |
аналогичное представление |
для |
|||||||||
Dmn (О- При |
т |
= |
2/7, |
п = |
2s |
|
|
|
|
|
|||
Dm.n (О = [ ( - !) ' |
f |
+ |
Ps_, (01 l ( - l ) P_V (P |
- |
О*"-2 + |
||||||||
+ |
9в_ а ( < )) - [ ( - 1 )Г |
+ |
/ V , (01 Н - 1 Г 1s ( s - |
1 ) Г Ч |
|||||||||
+ |
9s-3 (/)] = |
(—l)s+p- ' |
<s+c- 2 [p 0» - |
1) - * < |
* - 1)1 + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
ds-fp—3 (O' |
|
|
|
|
||
|
При m = |
2p -f |
1, |
n = |
2s |
|
|
|
|
|
|||
Dm,n(/) = [ ( - l ) s /* + />s_, (f)] [(- 1 )P tp + |
qp- 1 (/)] - |
||||||||||||
|
- [(—l)p P2<p-1 + |
Я„_2] l ( - l ) 5_'s(s - |
1) f “ 2 + |
|
|||||||||
|
|
+ 9s-3 (01 = |
(—l)s+p<s+p + |
ds+p-i (О- |
|
||||||||
33
При т |
— 2р, |
п = 2s + |
1 |
Dm.„ (0 = |
(— l)s+ ‘>+' f +P + ds+p_, (О- |
||
При т |
— 2р + |
1, п = |
2s + 1 |
Ап,„ (о = |
к -1 ); е * |
+ ps-i (01 [(-о " ?• + |
|
(/)] - |
|
||||||
- |
[(-1 )р <V + |
Рр-1 (01 [(—!)' t + <7*-. (01 = |
|
||||||||
|
= |
( _ 1 / + S f + s (s« _ |
p«) + |
4 +p+, (t), |
|
|
|||||
где d/ (t) — полином порядка не выше /. |
|
|
|
||||||||
Таким |
образом, |
|
видно, |
что |
Dnitn (t) |
не |
равен |
||||
тождественно нулю при всех т и п |
таких, что т |
Ф |
п. |
||||||||
Теорема 5. Пусть и (0 |
является решением уравне |
||||||||||
ния и" |
4- (t 4- |
1) и (0 = |
0. |
Тогда, если |
существуют |
||||||
числа т и |
п (т |
Ф п) |
такие, что нули uln) (t) и |
ит |
(t) |
||||||
совпадают, то и {t) |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Пусть 7„, tv |
tk — нули функ |
||||||||||
ции и{п) (0- Легко |
видеть, |
что число их |
бесконечно. |
||||||||
Используя представление для и{п' (I) и и{т) (0 постро енное в лемме 1 , и то, что нули функций и(п) (t) и
uim) (t) совпадают, получаем, что при всех k выполня ются равенства
lPn(tk)u (tk) + |
Qn{tk)u '(tk) = |
0; |
\Pm(tk)u (tb) + |
Qnt(tk)u '(t l{) = |
0 . |
Поскольку полином Dm>n (/) не равен тождественно нулю и число точек tk бесконечно, то существует та кое k0t что Dm.n (tk0,) Ф 0. Тогда из равенства (2.16) при k = kQнаходим и (t, k0) и и' (tk0) = 0. Исполь зуя теорему единственности решений дифференци альных уравнений в уравнении и,г (0 -f (/ + 1) и (t) = = 0, получаем, что и (/) = 0, что и требовалось дока зать.
34
Из теоремы 5 следует, что существует такое Т (i) =
= — V t + |
1 , что нули и(п) (/) при п > |
2 не совпадают |
ни с нулями и (/), ни с нулями и' (t). |
Объединяя тео |
|
ремы 4 и 5, |
видим, что нули функций |
и{п) (f) (п ^ 2) |
несут частичную информацию о Т (/)> которая исчеза ет при Т (/) == const; при Т (f) ф const эта информа ция связана с производной V (tf), а не с самой величи ной Т (*).
Из доказанных теорем можно сделать следующие выводы.
1. Из теоремы 1 об информативности нулей функ ции колебаний и (t) следует, что временные интерва лы (tk, tk+1), образованные нулями функции и (f), являются полностью информативными и отражают однозначную зависимость усредненной частоты ко лебаний упругого материала /ср = \/(tk+\ — Q от параметра Т (t), представляющего собой некоторую непрерывную функцию, которая может быть записана в виде ряда Фурье. Отношение усредненной частоты /ср к частоте }п{п-й гармоники функции Т (0) опреде ляет точность воспроизведения функции Т (/).
2.Из теоремы 2 от информативности нулей первой производной функции колебаний и (/) следует, что временные интервалы (/*, 4 +i), образованные нулями производных функций и {t), являются полностью ин формативными.
3.Из теорем 3—5 о неполной информативности
нулей функций и{п) {() {п ^ 2) следует, что при Т (f) = = const нули этих функций совпадают с нулями
функций |
и (t) |
и |
и' (/), |
а |
при |
Т (f) ф const отличны |
от нулей и (0 |
и и' (0 , но временные интервалы, обра |
|||||
зованные |
нулями |
и{п) |
(/), |
в |
этом случае отражают |
|
информацию о производной функции Т (f).
4. Обобщая теоремы 1—5, можно заключить, что минимально предельным полностью информативным
2 * |
36 |
временным интервалом (tkf 4 +i), отражающим одно значную зависимость усредненной частоты /ср от параметра колебаний Т (/), является интервал (4, 4 +)) между нулями функции колебаний и (£) и нуля ми первой производной этой функции и (t). Интер валы (4 , 4 + 0 , образованные нулями производных функции и (0 выше второго порядка, можно исполь зовать только для исследований функции Т (0- До казанные теоремы справедливы для простейшего слу чая колебательной системы, описываемой уравнени ем (2 .1).
Рассмотрим их справедливость для другого класса колебательных систем, описываемых уравнением (2 .2).
Диссипативная колебательная система. Колеба ния ограниченной струны с закрепленными концами
в вязкой среде, подверженной |
действию переменного |
|
параметра Т (/), описываются |
уравнением |
|
-W - = a * l & — |
' > 0 |
(2.17) |
и краевыми условиями |
|
|
1/(0, 0 = у(1, |
0 = 0. |
(2.18) |
Считая, что при / < 0 натяжение постоянно и стру на колеблется с постоянной частотой, можно задать начальные условия в следующем виде:
у (я, 0) = A sin а х *,
(2.19)
■ % -(*. 0) = 0.
Из краевых условий (2.18) получаем, что а = nkU. Решая задачу (2.17) — (2.19) методом разделения пере менных, получаем решение в виде
у (х, 0 = Ли (0 sin (nkx/l),
где функция и (0 является решением обыкновенного
дифференциального |
уравнения и" (t) |
4 |
2 ци' (f) 4 |
|
4 (nk/l)2a2 (0 и (0 |
= 0, удовлетворяющего сле |
|||
дующим начальным условиям: и (0) = |
1 ; |
и' (0) = 0. |
||
Как и раньше полагаем k = 1. Тогда |
и (0 удовле |
|||
творяет уравнению |
|
|
|
|
и" (t) 4 |
2\ш' (t) + |
(я//) 2 а2 (/) u(t) = |
0 |
(2 .20) |
и краевым |
условиям |
|
|
|
|
ы (0) = 1, и '(0) = 0. |
|
(2 .2 1 ) |
|
Докажем следующие теоремы об информативности нулей функции и (t) и и' (/) для диссипативной коле
бательной |
системы. |
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 6. Об информативности нулей функции |
||||||||||
и (t). |
Пусть t0 |
и |
/j — два |
последовательных |
нуля |
|||||
функции |
и (С). |
Положим |
/ — 1/[2 (tx — ?0)]. |
Тогда |
||||||
на |
интервале |
< |
t < |
^ |
существует |
такая |
точка |
|||
? у что |
а2 (О = 4/ 2/а 4 |
/ар./яа. |
|
|
|
|||||
Доказательство. Очевидно, что уравнение (2.20) |
||||||||||
эквивалентно следующему |
уравнению: |
|
|
|||||||
|
_J*_ |
|
|
4 . е - ^ п 2! 12а 2 (0 м (0 = 0. |
|
|||||
Рассмотрим функцию г (f) = |
ewrsin о) (t — t0), гДе |
|||||||||
ш = |
n!(t — tQ) = |
2я/. |
Функция |
г (t) |
удовлетворяет |
|||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~ш~ ( е - % ' 4 |
) |
+ |
е_2'*' ^ |
г ( о = °> |
|
||||
и точки to и ti являются последовательными нулями этой функции.
Предположим теперь, что для всех точек t £ (/0, tL) выполняется неравенство
a2( / ) > 4 / a/2 4 / V M |
a. |
|
Это означает, что я 2а2 (()/1й> |
|
ю2 4 р2Тогда |
по теореме Штурма получаем, что |
между любыми |
|
37
двумя нулями функции г (О лежит нуль функции и((), что невозможно в силу предположения теоремы о том, что t0 и tx последовательные пули функции и (t). Аналогичным образом можно доказать, что невоз
можно и неравенство а2 (t) < 4 / 2/2 + |
/2р2/я2. Тогда из |
|||
непрерывности |
функции a (t) следует, что существует |
|||
такая точка |
? |
£ (t0, А), что а2 (?) = |
tf2l2 -f /2р2/я2. |
|
Теорема |
7. |
Об информативности |
нулей |
функции |
и' (t). Пусть |
t0 — нуль функции и (0, a tx > |
tQ— та |
||
кое наименьшее число, что « ' (tx) = 0. Тогда на интер вале tQ< t с tx существует точка Г, в которой спра ведливо равенство
а2(/) = 4/ 2/ 2 -f- /2р2/я2,
здесь / — наименьшее положительное число, удовле творяющее уравнению
ctg 2 я/ (*, — д = — \i/(2nf).
Доказательство. Поскольку tx > t0 — наимень ший корень функции и' (0 на полуоси t > t0, то при t £ UQt Al Функция и (t) не меняет знак. Предполо
жим, что для всех t £ П0, /х] выполняется неравенство
а2(/) < 4/ 2/2 -f |
/2р,2/я 2. |
Тогда существует такое е :> 0, |
что |
я2 (0 < (4/ 2/2 + /2р,2/я2) — е для всех t £ [t0, /J.
Рассмотрим функцию г (0 = е sin ю0 (t — t0 + -f- е), где G)0 является наименьшим решением урав нения
|
ctg (о0Vi — k + е) = — |л/©0. |
|
|
Очевидно, |
что функция z (t) равна |
нулю при |
t — |
= t0 — е и |
А наименьший корень |
z' (0 , больший |
|
/0. Поэтому z |
(t) не равна нулю на промежутке |
U0, |
|
f j |
и знакопостоянная |
на этом промежутке. Кроме |
|||||||
того, функция г (f) удовлетворяет уравнению |
|||||||||
|
~ЗГ {е~ 2>1‘ ~3г) + |
е~'т |
+ |
I*2) 2 W = |
°- |
||||
|
Используя формулу Пиконе, |
|
получаем |
равенство |
|||||
|
| JL |
er*v (u'z (t) |
- |
иг' (/))] |
= |
- |
1(л2//2) а2 (/) - |
||
|
— («о + |
М'8))и%+ в- 2 *1 («' (0 — “ (0 -Уг) * |
|||||||
|
Интегрируя это равенство в |
пределах от t0 до h* |
|||||||
определяем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Т $ р |
е-2* 1' («' ( « 2< « - |
« (У 2' (У) ~ |
||||||
|
- |
- j $ j - в-2'"" («' (*.)2 (Q ~ |
и (О г' «о» = |
||||||
|
= |
— | |
[4 - fl2 № — (юо + |
Ц2)] « а (О Л + |
|||||
|
|
й L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|е ~ 2м,,(и ' (<) — и (0 " У р ) А |
|
|||||
Но |
|
„ ( g = |
« ' ( y = z'(<i) = 0; |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
| |
^ (0 - к (0 4 |
$ - ) Л > 0. |
|||||
|
Поэтому 1 |
(ооо + |
Ц8) — -у -а*(1) |
и2 (t) dt < 0, что |
|||||
противоречит тому, |
что ©о -f- ц.2 > |
-р - а2 (0* Но со0> |
|||||||
> |
2л/, |
поэтому не может выполняться и неравенство |
|||||||
|
|
|
a2 (t) < |
4/ 2/2 + |
/а(х2/зха. |
|
|||
Докажем, что не выполняется и неравенство
|
|
G2 ( 0 > 4 P / 2 + / V ^ 2. |
|
(2 .22) |
|||||
Предположим от противного, что неравенство |
|||||||||
(2.22) справедливо для всех t £ U0, У- |
Тогда справед |
||||||||
ливо |
и неравенство а2 (t) > |
4/ 2/2 |
-f /2р,2/я2 -Ь е для |
||||||
некоторого е > |
0. |
Пусть z (t) |
= |
<?д/ sin со0 (t — t0+ |
|||||
+ б) |
— функция, |
удовлетворяющая уравнению |
|||||||
|
Ч Г ( г * * |
-7В-) + |
(“ о + |
^а) е-Ъ ‘г (t) = 0, |
|
||||
где |
©о — наименьшее |
положительное |
решение |
урав |
|||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg ©о (к — t0 — е) = |
— |
|
|
|
||||
Тогда г' (^) = |
0 и |
z' (t) Ф |
0 при |
t £ ( t 0 + |
б, у , |
||||
т. е. на этом интервале z (t) знакопостоянна. |
При этом |
||||
и (t) Ф 0 |
при |
(/0 + е, |
У * Интегрируя |
тождество |
|
Пиконе |
|
|
|
|
|
* з г |
[ т * е-2и' (z'“ — г“ ')] = |
[ - Т - “ “ w — |
|||
— (<йо + |
Ц2)] г2 + е -2»' (г' (0 — г (/) - £ - ) |
||||
в пределах от |
+ е до |
получаем |
|
||
|
|
в- 211' 1 (г' (У |
« (<i) ~ |
г (У « ' й ) - |
|
|
|
(<, + в) и « , + е) - |
г (<0 + е) и' ((„ + |
||
+ е)) |
= f |
|- ^ - < J2(0 — (“ о 4- Ц2)] г2(<)Л + |
|||
|
'о+е L |
|
J |
|
|
-f f e - w ( z'(t) —' *<w 4 8 - l dt,
*.+e \
40