книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

где нелинейный оператор А действует по правилу

х) — всевозможные функции от х} равные нулю на интервалах [0 , а] и [р, /] (0 ^ а < р [) при каж­ дом фиксированном t. Применим для этого подалгебру Ли [243, полученную в виде постоянных отображений

D — производная Фреше отображения W-*■ A (W) в точке W [24]. В рассматриваемом случае

1<Р. А] (Г )= DA (W)(0, V, 0) = ( - V, 2о (т) +

Опуская громоздкие выкладки, связанные с вычис­ лением итераций скобок Ли, записываем фактор-урав­ нение, которое после обратного преобразования к

141

линейной неавтономной системе имеет вид

на части границы; в точках а и р — свободный режим. Аналогично тому, как это сделано для случая с по­ стоянными коэффициентами, и опуская вычисления, покажем, что для любого состояния (ylt 2Х) в фазовом пространстве системы уравнений (4.19) и (4.20) суще­

Поэтому из теоремы 1 работы [42] вытекает справед­ ливость следующей теоремы.

Теорема 10. Пусть для управляемой системы, опи­ сываемой начально-краевой задачей (4.13) и (4.14), управления u(t, х) — всевозможные функции, отлич­ ные при каждом фиксированном t от нуля лишь на ин­ тервале [а, р] с [0, /] (ненулевой длины). Тогда система (4.13) и (4.14) полностью управляема, т. е. любое состояние (ylt Zj) в ее фазовом пространстве

U?2 [0 , /] ® L2 [0, /] сколь угодно хорошо приближа­ ется решениями (4.13) и (4.14) с допустимыми и (t, х) в правой части уравнения (4.13) из любого началь­ ного состояния (у0, z0).

142

4.2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ, ОПИСЫВАЮЩИМИСЯ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ ЛЕНТЫ

Исследуем управляемость системы, описываемой урав­ нением

методику построения фактор-операторов. Для этого

где оператор А действует в сумме гильбертовых про­

и F = (О, F).

Вычисляя, как и ранее, действие оператора Л*на элементы вида (О, /*), убеждаемся, что замкнутая в

W2 ф L2 линейная оболочка векторов вида AkF при

k = О, 1, 2, ... в случае, если F — всевозможные функции вида (О, F), равные нулю вне Q, совпадают с

подпространством функций в W2\ + L2, обращающих­ ся в нуль вне Й, причем первая компонента становит­ ся отличной от нуля. Применяя далее к уравнению (4.21), рассматриваемому одновременно с начально-

143

краевой задачей (3.36) и (3.49), методику построения фактор-уравнения и опуская выкладки, замечаем, что фактор-пространством является пространство

шем фактор-систему первого порядка по /, которая после обратной замены эквивалентна уравнению

где (х, у) в Q' и на границе области Q" заданы сле­ дующие условия: и (х, у) = 0 при (х, у) 6 Г'. По­ скольку на непустом множестве Г", принадлежащем границе, краевые условия не заданы, то снова, исполь­ зуя ранее применявшуюся методику, можно показать, что для всякой пары функций uv Wlt заданных в обла­ сти Q', и для всякого е > 0 можно найти также реше­ ние и уравнения (4.23), удовлетворяющее краевому условию и = 0 на Г ' и начальным условиям и (0, xf

Поэтому из теоремы 1 работы [24] вытекает, что справедлива следующая теорема.

144

Теорема 1 1 . Пусть для управляемой системы, опи­ сываемой начально-краевой задачей (4.21), (3.36) и (3.49), управления F (t, х, у) — всевозможные функ­ ции, отличные при каждом фиксированном t от нуля лишь на подмножестве Q прямоугольника [0, 1] X

X10, у0] нулевой площади. Тогда система (4.21), (3.36)

и(3.49) полностью управляема, т. е. любое состояние

(иъ WJ в ее фазовом пространстве Wl ([О, I] х [О, УоЬ 0 Ц (10, /1 х [0, у0]) сколь угодно хорошо при­ ближается решениями (4.21), (3.36), (3.49) с допусти­ мыми F (/, х, у) в правой части уравнения (4.21) из любого начального состояния (w0, W0).

В заключение приведем формулу максимального времени, за которое гарантируется «успокоение» ма­ териала, т. е. его переводе нулевое состояние фазового пространства. Для упрощения предположим, что об­ ласть Q является прямоугольником [а, р] х 1а', Р'1,

Для более общей, чем прямоугольник, области Q эту формулу можно использовать для подсчета £гаах, взяв какой-либо прямоугольник la, р] X 1а', р'1, принадлежащий Q. ’

В В И Д Е П Е Р Е М Е Н Н Ы Х К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В

При намотке на профильные каркасы в проводе воз­ никают продольные колебания, вызывающие гармо­ нические колебания его натяжения. В уравнении стру-

145

ны (3.20) появляется коэффициент а , зависящий в об­ щем случае от t. Возникает задача стабилизации на­ тяжения, т. е. задача синтеза такого управления и (/, я), при котором решение уравнения (3.20) совпа­ ло бы с решением соответствующего уравнения с по­

стоянным а, средним по периоду функции а (*), если эта функция периодическая,

В этом случае внешнее гармоническое воздействие дает стабилизирующий эффект — гасит параметри­ ческие колебания системы. Важный практический случай описывается правой частью уравнения (3.3) вида / (я) sin Ш, где

и0 — амплитуда отклонения середины струны. Используя результаты гл. 3. 3 по решению задачи

(4.20) и (4.21), можно показать, что искомое управле­ ние и (х, t), при котором решение неоднородного урав­ нения с переменным коэффициентом совпадает с соот­ ветствующим решением уравнения с постоянным коэффициентом, имеет вид

Ю|ьк

146

При использовании этого управления попереч­ ные колебания таковы, как если бы коэффициент а был постоянным и посередине струны была приложена точечная гармоническая нагрузка с частотой Q и амплитудой и0.

Рассмотрим случай граничных условий, учитываю­ щих натяжение на роликах. Решение соответствую­ щей начально-краевой задачи получено в гл. 3.3.

147

Найдем такую функцию иУчтобы решение начально­ краевой задачи

М

где функции Ф, строят по следующему правилу, при котором используют разбиения на интервалы At и Вь введенные в гл. 3.3:

i - 0 W,

*1

149

где

функцию ф вычисляют на интервалах Ait В { по форму­

1M