книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

С учетом формулы д’Аламбера в точке х0 можно записать условие

- I — ^ Д ) . (3.66)

Из условий непрерывности решения имеем

Для решения уравнений (3.64), (3.67) нельзя пользоваться методом разделения переменных, кото­ рый дает гладкое решение, так как оно не будет удов­ летворять условию (З.бб) в точке сопряжение x0t ко­ торое требует разрывности производных в этой точке. Этот метод можно применить, строя гладкие решения отдельно на каждом интервале (0, х0) и (*0, /),(/ — длина стержня) и склеивая эти решения в одно таким образом, чтобы удовлетворялись условия (3.66) и (3.67). Опуская тривиальные выкладки, для гладких решений запишем уравнение сопряжения

Определим константы

получаем трансцендентное уравнение относительно X

где р = Р/Р0 — отношение веса стержня к весу плат­ формы.

Искомая частота продольных колебаний

— <3-71>

Корни уравнения (3.71) можно вычислить при­ ближенным методом. Из уравнения (3.70) видно, что первая собственная частота колебаний существенно

101

зависит от параметров /, Р и лг0. Для учета затухания продольных колебаний необходимо определить энер­ гию рассеивания Ф единицы объема материала за один цикл колебаний. Известно, что при циклическом деформировании упругих систем наблюдаются не­ линейность и неоднозначность зависимостей менаду относительной деформацией и механическим напряже­ нием (петля гистерезиса). Площадь этой петли числен­ но равна рассеиваемой энергии Y, зависящей лишь от амплитуды колебаний A (t) и не зависящей от частоты колебаний.

Пусть зависимость ф (Л) найдена эксперименталь­ но и имеет вид

где П — потенциальная энергия; С — коэффициент жесткости.

Зависимость для огибающей амплитуды вывел Я. Г. Пановко

4 (0 )

(3.75)

гДе. — период колебаний; принимаем в первом

.приближении, что он равен периоду колебаний для системы с теми же параметрами, но без затухания.

Для определения а и п используем зависимость декремента затухания б от амплитуды напряжений б = ф (а), полученную опытным путем. Удельная рассеиваемая за цикл энергии ф0

102

расплавленного стекла (стекломассы) в твердое изде­ лие заданной конфигурации. При этом стекло из со­ стояния вязкой несжимаемой жидкости, подчиняю­ щейся закону трения Ньютона, в результате ее охлаждения и отвердения переходит сначала в плас­ тическое, а затем в твердое хрупкое состояние.

Механическое движение стекломассы при форми­ ровании стеклоизделий сопровождается интенсивным и непрерывным теплообменом с окружающей средой и представляет собой сложный комплекс разнообразных процессов, причем наиболее важное значение имеют ме­ ханические и термические. Своеобразные ползущие движения упруговязкой стекломассы и механические особенности ее течения и пластической деформации обусловлены специфическим характером перемеще­ ния элементарных объемов стекломассы под действи­ ем напряжений, возникающих в результате приложе­ ния внешних сил.

Механические явления связаны прежде всего с реологическими свойствами самой стекломассы при данной температуре. Наиболее важными показателя­ ми реологических свойств стекломассы являются ее вязкость, поверхностное натяжение и упругость, влияние которой возрастает в области низких темпе­ ратур. Эти свойства стекла в зависимости от химиче­

* Написан совместно с канд. тех. наук О. М. Венцковским.

103

ского состояния и температуры изменяются в очень широких пределах.

Процесс формования состоит из двух частей: ме­ ханической (процесс деформирования материала) и теплотехнической (процесс разогрева и охлаждения материала). Решение задачи формования различных типов стеклоизделий связано с использованием слож­

словлен видом изделия и применяемым способом формования. На этой стадии определяющую роль иг­ рают такие реологические и поверхностные свойства стекломассы, как вязкость, поверхностное натяжение, пластичность, упругость, характер температурного изменения этих свойств.

На стадии фиксации формы, протекающей со ско­ ростью v2 в течение времени /2» происходит закрепле­ ние конфигурации изделия в результате его твердения, характер которого обусловлен видом изделия и при­ меняемым способом охлаждения. На этой стадии опре­ деляющую роль играют особенности изменения рео­

104

логических свойств стекломассы (вязкости) при ее охлаждении, скорость охлаждения, зависящая от условий протекания процесса, и скорость твердения, обусловленная скоростью изменения вязкости.

Вобщем случае процесс формования можно услов­ но разбить на четыре зоны (рис. 4): 1 — формирова­ ния; 2 — собственно вытяжки; 3 — окончания про­ цесса; 4 — приемки готового изделия. Первая зона характеризуется наибольшим градиентом поверхности волокна. Во второй зоне тангенс угла наклона гра­ ницы к оси волокна не превышает 0,1. Поэтому необ­ ходимо исследовать первые две зоны, поскольку в третьей и четвертой зонах диаметр волокна не изменя­ ется.

Внаиболее общем виде описать математически поведение вытягиваемого изделия можно на осно­ вании универсальных принципов сохранения коли­ чества движения и массы. Для сплошной среды пер­ вый принцип выражают в виде «уравнений движения»

изаписывают в декартовых координатах следующим образом (повторяющийся индекс означает суммирова­ ние по всем его значениям):

где р — плотность; v — скорость; / — поле внешних сил; D — тензор напряжений, состоящий из двух частей: «среднего» нормального напряжения р —

— — l^D tj и части т, обусловливающей сдвиг эле­

105

Принцип сохранения массы записывают в виде уравнения непрерывности для несжимаемых мате­ риалов в декартовых координатах

Наиболее важным процессом деформирования при формировании волокон, наряду со сдвигом в круглом канале (пуазейлево течение), является одноосное изохорическое растяжение. При этом поведение жид­ кости можно описать единственной материальной функцией р (<7*) — продольной вязкостью (вязкостью при растяжении)

эквивалентно различному числу слагаемых в уравне­ нии (3.80). Для описания процессов вытяжки воло­ конных световодов (ВС) и волоконных капилляров (ВК), а также других процессов можно использовать модель несжимаемой ньютоновской жидкости, вяз­ кость которой определяется в соответствии с законом

Трутона lim р = Зр0.

о

В реальных жидкостях деформациям сопутствуют термодинамические явления. Поэтому для определе­ ния температурного поля в образце необходимо рас­ сматривать уравнение энергии совместно с уравне­ ниями (3.78) и (3.79) и знать зависимость свойств жидкости (вязкость) от температуры. В общем слу­ чае уравнение энергии для несжимаемой жидкости в декартовых координатах имеет вид

106

где Ср — теплоемкость на единицу массы; k — коэф­

изменения радиуса струи по ее длине имеет некоторые радиальные составляющие градиента скорости и не равные нулю составляющие напряжения сдвига. Одна­ ко, когда изменение радиуса не слишком велико, те­ чение можно аппроксимировать как квазипродольное, а распределение скорости считать плоским. Все существующие теоретические решения для свободно растягиваемой струи основываются на этом предпо­ ложении. Это относится к зоне 2.

Однако для решения этой задачи можно использо­ вать подход, не ограниченный квазипродольным рас­ тяжением, позволяющий описывать поведение рас­ плавленного материала как в зоне 2 , так и в зоне /, где необходимо учитывать изменение температуры и скорости в радиальном направлении. При этом применяют гидродинамическую модель несжимаемой ньютоновской жидкости, описываемую реологическим уравнением

где Д — тензор скоростей деформации; вязкость р = = Зр0, вследствие неизотермичности процесса явля­ ется функцией координат.

Подставляя принятое реологическое соотношение (3.82) в уравнение (3.78), предполагая число Рей­ нольдса малым и переходя к векторной форме записи, получаем известные линеаризованные уравнения дви­ жения вязкой несжимаемой жидкости в случае пере­ менной вязкости (для установившегося состояния),

107

ваем решение уравнение Навье — Стокса (3.83) и (3.84), на основании которого корректируем неиз­ вестную границу, и так решение повторяется до схо­ димости итерационного процесса, которая обычно до­ стигается после четырех-пяти итераций.

В качестве метода решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса и энергии удобно исполь­ зовать широко распространенные методы граничных интегральных уравнений (ГИУ). Суть метода, осно­ ванного на теории потенциала [б], состоит в следую­ щем. Задача, требующая решения некоторого основ­ ного уравнения (обычно уравнения в частных произ­ водных), справедливого в данной области при некото­ рых заданных граничных условиях, сводится к реше­ нию в общем случае системы интегральных уравнений Фредгольма II и I рода для введенных произволь­ ных функций — плотностей потенциалов; уравнения эти относятся лишь к границе области и непосредст­ венно учитывают граничные условия. Преимущество такого преобразования заключается в том, что раз­ мерность задачи понижается на единицу. Это выгодно отличает метод ГИУ от конечно-разностного и метода конечных элементов (МКЭ). Достоинством метода ГИУ является также то, что он позволяет сразу опре­ делить неизвестные величины на границе, не вычис­ ляя их во всей области, как это требуется в других методах.

Во многих случаях этого бывает достаточно. Если же необходимо найти решение в произвольной вну­ тренней точке области, то достаточно выполнить интегрирование.

Исходными моментами метода ГИУ является при­

менение формулы Грина к искомому решению основ­ ного д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о уравнения, описывающему

процесс, и к некоторому его фундаментальному реше­

нию! описывающему поле точечного источника (т. е.

109