книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

Функция и (.х, f) соответствует управляющему воздействию, приложенному к струне, распределен­ ному по закону, описываемому этой функцией по длине О^ х < I и времени 0 ^ t ^ оо; М, Е, F — констан­ ты, зависящие от параметров движущегося материа­ ла и других заданных параметров процесса намотки.

Рассмотрим случай, когда коэффициент а не за­

где ух (t, х) — решение уравнения (3.4) с начальны­

М -§г(-1Г + °4г)Уг Ц = Я / Г - ^

У2 U, х) — решение однородного уравнения (3.4) с на­ чальными и граничными условиями

У 2 ( ° * X) = 0 ; { y 2) i { 0 , * ) = 0;

и, наконец, у8 (/, х) — решение неоднородного урав­ нения (3.20) (при a (t) s= а) с условиями

у3(0, *)■ : 0; <1^ ( 0. д о - 0 ;

= EF дх I|Х=-0 • (3.24)

71

Функции ух (?, х) и у2 (t, х) — решения задач (3.4) и (3.22) (соответственно задач (3.4), (3.23)) получены

Построим функцию у3 (;t, х). Для этого перепишем уравнение (3.20) в виде системы первого порядка,

Пусть Tt полугруппа (а в данном случае группа) опе­ раторов, отвечающая задаче Коши для этого уравне­ ния (напомним, что семейство Tt операторов в гиль­ бертовом пространстве Я , в котором действует (с плот­

оператору Л (или отвечающей задаче Коши для урав­ нения у' = Ау), если задача Коши для у' = Ау рав­ номерно корректна и ее решение у (/) с начальными условиями у0 6 D (Л) дается зависимостью t Tty0). При этом из решения задачи Коши следует, что Т0 — единичный оператор 7\, (Г*2) = Т^+г,.

Применение полугруппы операторов необходимо для использования формулы Дюамеля [20]

г/№= Т ,у 0 + ^ Т ,..%f (т) d-v

0

и получения решения задачи Коши для неоднородно­ го уравнения у' — Ay — f через полугруппу, отве­ чающую однородному уравнению у' = Ау.

Итак, Tt ставит в соответствие каждой паре функ­ ций (ф, ф) новую пару функций Т\ (ф, ф), где Tt —

72

полугруппа, отвечающая оператору

Используя полученные выше решения задачи Ко­ ши, выпишем явный вид оператора

При каждом фиксированном s обозначим через

5? (*), 'll? М пару функций, полученную из пары функций (0, —и (t, х)) процедурой, описанной в

«алгоритме продолжения» (ф, ф) -> (ф, ф). Заметим, что при всяких фиксированных t и и функции It (х) и г)? (х) заданы на всей оси —оо < х < о о . Применяя формулу Дюамеля к выражению (0, —и (t, х)), на­ ходим

№■ «.*) = -2(а_ -в)

73

* Г 1 *+(a-iW-t>

+f Я“ (2) d2

— 7TFH | r\“ (z)dz\dzj,

где функции ф и ф на интервалах Ak и Bk вычисля­

так же, как функции ф и ф. Функция ф на интервале

i4ft+i вычисляется так же, как функция ф, а функцию

ф на интервале Ak+\ можно вычислить по формуле

1)-

(3.25)

Неоднородные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрим прибли­ женный метод построения решений, основанный на методе Г-произведений, когда коэффициент а зави­ сит от t. Суть метода состоит в дроблении временного интервала [0, Т] на п равных частей и получении со­ вокупности решений эволюционных уравнений с по­

74

стоянными коэффициентами a (t) на каждом интерва­ ле для задачи (3.30) и (3.21).

В результате находим приближенное решение, ко­ торое тем точнее описывает истинное решение, чем

Оба оператора At предполагаем определенными на множестве пар функций, удовлетворяющих условиям

W + v ду = « (0 ;

Решение начально-краевой задачи в момент вре­ мени Т можно получить в виде

нелинейным (с учетом вида области определения) опе­ раторам и Ля.

76

Приближенное решение имеет вид

у (t, х) = П f f t — tt- 1) £ f t — tt- i) (cp, 'll?). i=i

Поскольку интервал [О, T] разбит на равные части, то полагая tt — U -\ = Д/v, записываем

У (t, х ) = и h (A.v) £ (Aw) (ф, М>).

;=i

Опишем операторы & (t) и ^ (О, являющиеся под­ группами для так называемых «замороженных» в точ­ ке tt задач Коши для уравнений

(У* П = Ахft) to, W)\ to, W)t = Ла ft) to, П «Замороженные» задачи соответствуют уравнениям

скоэффициентами, не зависящими от t. Пусть a ft) =

=ati тогда

7#

ми функций ф, ф и и с интервала [0, /1 на больший интервал, который ввиду малости / в уравнениях (3.26) — (3.27) можно.взять немного превосходящим [О, /]. Это облегчит явное задание указанных функций:

тт

___ХЛ ± \ ) ( __ L _

г)

71

a ( t , x) при r f [0. /];

A „ < m i n ( / A = i L , l h ± l )

\ ai + y al - vl

(условие at = a {tt) всегда можно выполнить).

3.2. МЕТОДЫ УТОЧНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

При намотке проводом большого диаметра следует учитывать изгибную жесткость, чтобы наиболее точ­ но представить процессы,' возникающие в движущем­ ся материале, а также влияние переходных процес­ сов (пуск, торможение, переход из секции в секцию) на линейную скорость движения материала у, которая

79

представлена в ранее рассмотренных уравнениях по­

Для решения задачи (3.28) и (3.29) применим метод Г-произведений. Преобразуем уравнение (3.28) в эволюционную систему в гильбертовом пространстве вектор-функций G дифференцированием по t первого порядка:

f { t , x ) = s n L J l .

Систему (3.30) будем рассматривать как эволюци­ онное уравнение в пространстве пар функций от

80