книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfформулой
v { t)= s \u (t —x)f{x)dx.
о
Следуя методике работы [24], рассмотрим фактор-
пространство /У[о,/] | F , где F — наименьшее инва риантное относительно оператора А подпространство, содержащее подпространство F = 0 0 L2 (0, /] П
П D D (Л°°) — область определения всех сте пеней оператора А. Поскольку F совпадает с замыка нием линейной оболочки подпространства вида AkF, исследуем действие оператора Ак на элемент вида (О, /) 6 D (Ак), которое задается формулой
4*(CW) = ( Z W ,D ft,), |
(4.8) |
где Dk — дифференциальные операторы, задаваемые формулами
D J - f l |
D J - o b g , |
|
|
|
a k — коэффициенты, зависящие от а и v. |
|
|
||
Откуда видно, что замкнутая линейная |
оболочка |
|||
подпространств F , AF, ..., AkF , ... совпадает |
с под |
|||
пространством И^[а,0] 0 |
L[a,pj. Множество |
5, |
являю |
|
щееся линейной |
оболочкой пространств |
F, |
AF... |
|
..., AkF ..., содержит в себе Ф[а,р] © Ф[а,31» |
3 так как |
|||
применение Л* к элементам из F не увеличивает носи |
||||
телей функций из F , то |
|
|
|
|
|
5 = 0fo.41 © Ф[а.01* |
|
|
|
При замыкании множества S имеем |
|
|
||
5 |
= 1^|а.Р] Ф £[а,31- |
|
|
|
131
Фактор-пространство |
tf [o ,/ j/ S |
совпадает |
с tfG = |
||||||||
= WG + |
L c, |
где |
G = |
[0, ot] (J |
[(3, |
/]. Обозначив |
|||||
через л |
оператор |
проектирования на |
Н(1, |
действу |
|||||||
ющий |
из |
Н[о./], рассмотрим фактор-оператор |
А с об |
||||||||
ластью |
определения JID (А), |
действующий |
в На |
по |
|||||||
правилу |
Ah = |
nAnr~lh, |
где |
h £ D |
(А), и задачу |
Ко |
|||||
ши для фактор-уравнения |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
А ( 0 |
- Да ( Q - 0 , |
|
(4.9) |
|||
где для t > |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
h (0 € D'o ® Do\ |
А (0) = |
0 |
|
|
||||
и выполняются граничные условия |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
h(t9 0) « Л ( * . |
/) = |
0. |
|
(4.10) |
|||
Это |
уравнение эквивалентно следующему: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
|
где * g G |
= |
[0 ,a] |
(J [р, I], |
0. |
|
|
|
|
|||
Для любого / можно записать |
|
|
|
|
|||||||
уа , -)еяо;
ГР .
у (*. 0) = |
г/ (<. /) = у , а , |
0) = у , |
( t , I ) |
= |
0; |
(4.12) |
|
||||||
у (0, х) = |
у](0, *) = 0 |
(JC6G). |
|
|
|
|
Следует отметить, что в точках |
а и |
р |
граничные |
|||
условия отсутствуют. Проведем анализ множества ре
шений фактор-уравнения (4.11). |
Каждое |
решение |
|
У (т, х) уравнения (4.11) при t = |
т состоит из решения |
||
уравнения (4.11) на отрезке [0, |
а] |
при произвольном |
|
граничном режиме в точке а и решения на |
отрезке |
||
132
[р, /] при произвольном граничном режиме в точке р. Рассмотрим числа, которые являются положитель ными
tt = |
(I — р)/{а + |
V) |
и t2 = а /(а — v). |
Допустим, |
что ti > |
t2. |
Обозначим tx — t2 через |
k { k ^ Q ) . Покажем, что |
решением уравнения (4.11) |
||
может быть любая функция, удовлетворяющая пер вым трем условиям из системы (4.12). Пусть эта функ
ция принимает значения
и |
|
> jf/iM |
при |
х£ [0, а]; |
|
|
11 |
|(/2W |
при |
л: 6 IP, /], |
|
где Ухg |
У\ 6 Dfo,a{’ |
У* £ Dn.l\, у2 £0[Э,/]; й(®) = |
|||
= у2(1) = 0, |
а |
х £ [р, /]. |
Рассмотрим функцию |
||
/( V) = |
y2 U — (a + v)y\ |
при Yg [o .- i^ i]; |
|||
|
|
О |
при у < 0. |
|
|
Заметим, |
что / (0) = у2 (/) = |
0 при |
у = |
0 и f (tx) = |
|
= у2 (р) |
при |
у = (/ — Р)1(а -Ь о) = |
tv |
Выберем f (f) |
|
в качестве граничного режима в точке р при 0 ^ |
t ^ |
|||||
^ |
tv т. е. будем считать, что при 0 ^ |
f ^ tx у (t, Р) = |
||||
= |
/ (0- Тогда у (t, х) |
= |
/ ^ |
будет решением |
||
уравнения (4.11) |
при х £ |
[Р, /1 и t£ |
[О, |
|
||
|
Действительно, граничные и начальные условия |
|||||
выполнены: |
|
|
|
|
|
|
|
у ( * ,Р ) - / ( * ) ; |
y ( U l ) = f ( t - t < ) = 0; |
|
|||
y't {t, l ) = |
<,) = |
о; |
у (0, *) = |
f ( - |
= 0; |
|
133
Подставляя эти условия в уравнение (4.11), имеем
При t = tx получаем |
|
|
|
|
||||
У(к> *) = |
/(<] — |
|
J h p — (« + |
»)(<! — |
||||
= У Л 1 - 1 + |
х ) = у 2« , |
(х £ [р, |
/]). |
|
||||
Пусть теперь х 6 10, а]. |
|
|
|
|||||
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
||||
|
У\ [а + |
(а — о)^у |
/ - В |
и )] при |
у 6 [k, |
|
||
£ (? ) = |
а + |
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
при |
у с к. |
|
Заметим, что при у = |
k |
|
|
|
||||
g (k) = |
yi\cc + |
(a — v) (/j — t2 — ty)] = yx(0) = |
0, |
|||||
а при у = |
к |
g Vi) = |
yx (a); |
|
|
|
||
Выберем g (t) в качестве граничного режима в точ |
||||||||
ке а при |
0 < |
t < |
tlt |
т. е. будем |
считать, что |
при |
||
134
о < г < |
t i i |
|
y(t,a) = g(t). |
|
||
|
|
|
|
|||
Тогда |
функция у (U |
х) = g ^ -j- 1IL2.J |
будет |
|||
решением уравнения (4.11) при х £ [0, a]; 16 Ю, tt). |
||||||
Действительно |
|
|
|
|||
y(t,a) = g(t); y(t,0) = |
g(t —t,) = |
|
||||
**g (t + |
|
k — fi) = 0; |
y',(t,0)=*g'(t —t,) = |
|||
= g'(< + |
ft - < i) = 0; |
у (0, x) = |
= 0; |
|||
|
|
|
У' (0- *> = g ' f e f ) = o. |
|
||
Подставляя эти выражения в уравнение (4.11), |
||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
(4 |
+-B-M'+-Sr)- |
|
|||
- « ■ т & - * ( | + Й г ) - - й г ( 4 - + |
|
|||||
-(т^Яг-р^гИ «+-гЗ-)-а |
||||||
При / s |
i |
записываем |
|
|
||
У(*1» *) = |
У |
= У\ |« |
-f (а — v) ^ |
+ |
||
+ |
|
|
— <i)] = |
УхW |
(* 6 ю, ol). |
|
135
Если |
t2 > |
tlt |
то, выбирая |
|
|
|
|||||
у (t, a) = |
( f |
/ i |
— w |
) |
при ° < |
< < a ! . v |
i |
||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
при t < |
0; |
|
|
|
2/ a [ p + |
(« |
+ |
|
" ) (- 5^ ----- * ) ] |
|
|
||||
|
|
|
|
при |
. r \ |
a |
l — p |
a |
1 |
||
y (*,P ) = |
|
|
|
|
|
|
|
^ Г б ] ; |
|||
Л |
|
|
при |
* /- |
a |
i — P |
|
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
находим |
„ i t |
V4 _ |
[ V i M |
при *610, a]; |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
У U2» |
X) — |
{ |
|
. 4 |
- r o |
|
|
|||
|
|
|
|
|
U/2(*) при *£[p, fl. |
|
|
||||
Можно доказать, что существует конечное значе |
|||||||||||
ние / = |
i0 (a, |
р, |
/, а, |
у) = |
|
£0> ПРИ котором |
решением |
||||
уравнения (4.11) может быть любая функция, удов летворяющая первым трем условиям системы (4.12).
Обозначим |
— множество значений всех решений |
||
уравнения (4.12) при t = |
10. |
||
Предыдущие вычисления показывают, что |
|||
9 < = (2/ 6 ^ |
|
12, (0) = 1/( 0 = 0 }. |
|
Анализируя решение уравнения (4.11) на отрезке |
|||
0 ^ t ^ /о» замечаем, |
что |
||
|
s ' |
+ |
д-_ц ) при х еto, а]; |
y't(t, х) |
= |
|
|
|
f ' { * |
--- |
"Ри *£fP> li' |
где g и / — произвольные функции из £>о.
136
Их |
производные — произвольные функции из DQ. |
|
Таким |
образом, множество |
значений производ |
ных по t в момент t0 решений уравнения (4.11) имеет вид
|
- (2 б ^ | г ( 0) = г ( / ) = 0). |
|
|
Тогда множество 9Я*0 значений |
при t = t0 реше |
||
ний уравнения |
(4.10) |
|
|
Обозначим 9Л — объединение |
U ЗЛt. Из |
вклю |
|
чений ЭЯ |
ЗЯ з ЭЯ{„ и |
равенства |
Э.Л/0 = |
= Иа следует, что 9£Я = На, и это доказывает пол ную управляемость. Точное время, за которое струна из любого положения может перейти в нулевое, т. е. успокоена в пространстве состояний
Определим достаточное условие того, что для си стемы заданной уравнениями (4.2) — (4.6) с и (/, х) =
00
= У\ щ {() (х) подпространство ЭЯ из пространства
состояний принадлежит множеству достижимости из нуля. Это достаточное условие состоит в том, что замыкание 9Л линейных комбинаций элементов
{(0, fi), Л (0, f(), Л2 (0, /2) . . . I = 1, . . . , т },
содержит 9Л.
В случае, когда ЭЯ совпадает с пространством со
стояний системы, т. е. с пространством №{0i/1 © L2 [0, /], управляемость системы следует из обобщения ран гового критерия, принадлежащего R. Friggiani 142]. Применение этого критерия ограничивается этой ситуацией.
137
Докажем, если |
<ая |
содержит |
подпространство |
||||
^ 2[а,Э] |
© |
1а, р] |
для |
любых а < |
р, причем а |
^ |
О, |
Р < /, |
то |
существует |
полная управляемость. |
Этот |
|||
результат при а > 0, |
р < I не может быть получен |
||||||
из обобщений рангового критерия. Воспользуемся |
ре |
||||||
зультатами проведенного анализа множества факторуравнения (4.11). Заметим, что любой элемент (у, г)
из подпространства W[[a,p\ © la, р] можно полу чить из нулевого начального положения за сколь угод
но малое время при |
выполнении |
условия, что 9Л со |
||
держит |
UP2La.PI © ^2 ta > |
произвольно, и число |
||
Действительно, пусть е > 0 |
||||
а > 0 |
таково, что |
|
|
|
|
|
|
|
< е , |
|
о |
II |
W |
* * ™ |
где £/т — группа операторов, отвечающая задаче Ко ши для однородной системы (4.7); е — произвольное как угодно малое число.
Существование а следует из непрерывности группы
Ux. Положим |
при 0 ^ т t — о; |
[ 0 |
|
| ~ |
при * — |
Тогда с учетом выбора о имеем
1 (У, г) - (0, /) |Ц №1 = I i U t-,v (х) (0. f) dx -
- ( 0 . f)
138
Обобщая приведенные результаты, получаем кри терий управляемости.
Теорема 9. Пусть для управляемой системы, опи
сываемой уравнениями (4.2) — (4.6), |
в которой |
пра |
|
вая |
часть в уравнении (4.2) имеет |
вид и (/, х) = |
|
= 2 |
щ {() fi (я), выполнено следующее условие: |
за- |
|
t=i
мыкание линейных комбинаций пар функций вида
Ак (0, fi) (k = |
0, 1 , |
i = |
1 , 2, |
..., |
т ) |
содержит под |
пространство |
W1 [а, |
р] ф |
L2 |
[а, |
р] |
(при а < р, |
а > 0, р ^ /), где оператор А определен формулой
А (/, g) = (g, (Л* - Ф )£ L - 2 v - g - ).
Тогда система, заданная уравнениями (4.2) — (4.6), полностью управляема, причем время t, за которое из любого начального состояния систему можно пере вести в нулевое (полное гашение колебаний), не превосходит
При вычислении операторов Ак можно воспользо ваться формулой (4.8).
Рассмотрим случай, когда коэффициенты уравне ния (4.1) зависят от времени t. Как и для уравнения с независящими от t коэффициентами, на основе кри териев, приведенных в работе [31], нельзя сделать заключение о полной управляемости системы для локализованных по длине струны возмущений.
Используем стандартный в теории управления пе реход от неавтономной линейной системы к автономной нелинейной, а для полученной нелинейной системы, покажем полную управляемость с'домощью исследо вания алгебр Ли, ассоциированных с данной задачей
139
[42]. Рассмотрим |
уравнение |
|
(Ly) (t, х) = ( - |- + v (t) |
у (/, x) - |
|
|
|
(4.13) |
где а (0 > о (0 > |
0 при каждом |
t :> 0 ; х принадле |
жит интервалу [0 , /]; и (t, х) — управление, и началь но-краевую задачу для него
|
0 = |
у\ (ty 0) = y'i (U /)== 0; |
у (0. |
х )= у „ (х ); |
(4.14) |
. yt (0, |
х) — z (х). |
|
Заменяя уравнение (4.13) эквивалентной системой эволюционных уравнений первого порядка, получаем
x) — z(t, х) = |
0; |
|
- £ - *( *, x) + 2v(t)-^r |
z(t, х) — (а2(/)— (4-*5) |
|
— »г (0) У (<>х) ~ и (<, ж); |
||
(у(< . 0) = |
y(t, /) = г (/, 0) = г (t, I) = 0 ; |
|
</(0, *) = |
</„(*): |
(4.16) |
( z(0, х) = |
г„ (х). |
|
Перейдем к нелинейной эволюционной системе, вводя новую неизвестную функцию т и дописывая для нее уравнение, отождествляющее эту переменную с временной в системе (4.15) и (4.16). Обозначим через W набор {у7zt т) и запишем новую систему
-££- + Л ( Г ) - ; < < , * ) , |
(4.17) |
.140