книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

тяжки в направлении формования постоянно; поверх­ ностное натяжение стекломассы не учитывается; уси­ лие вытяжки, вызванное собственной массой вытяги­ ваемой трубы, пренебрежимо мало; состояние фор­ мования является стационарным; вязкость стекла в процессе формования зависит от расстояния до конца сопла стеклодувной трубки и в сечении вытягиваемой трубы она постоянна: р = р,0 ехР (а//)» где а — па­ раметр, выражающий степень увеличения вязкости стекла в направлении формования; I — расстояние до конца сопла; р0 — вязкость стекломассы на сопле.

Падение температуры вытягиваемой трубы по от­ ношению к расстоянию до конца сопла выражается зависимостью Т = Аа/, где k%— температурный гра­ диент стекломассы в направлении формования. При этих предположениях справедливы следующие зависи­ мости между безразмерными параметрами Л, С2, Са, С8, диаметром D, толщиной стенки В, скоростью

вытяжки v и скоростью деформации Е'а, Ёь, В г,:

диаметра, толщины стенок и вдоль направления фор­ мования трубы соответственно.

121

Систему уравнений (3.105) решим для следующих начальных условий:

Внутренний диаметр, толщина трубы, скорость вытягивания и формовочное давление связаны с пара­ метрами С2 и С3 следующими зависимостями:

где индекс «с»» соответствует окончательным значе­ ниям параметров.

Внутренний диаметр и толщина трубы связаны с относительным изменением скорости вытягивания и формовочным давлением следующими зависимостями:

Безразмерные параметры, применяемые в матема­ тической модели, зависят от параметров технологи­ ческого процесса:

А = <Pi (о. doy,

= Ф2 (&о.

(3.111)

= фз (d0, /?„, /0),

Сз = Ф4 (/о* М’О* Ь0У Ц))>

122

где индекс «О» соответствует значениям параметров на конце сопла; Ь0 — толщина стенки стекломассы на

один диаметр сопла d0 для всего диапазона типоразме­ ров вытягиваемых труб; распределение вязкости для данного сырья в процессе формования можно считать постоянным; толщина обтяжки стекломассы на трубке Ь0 не зависит от температуры, т. е. от вязкости стек­ ломассы, и ее можно считать постоянной; изменяя давление р0 формовочного воздуха, скорость вытяги­ вания и0 и усилие вытяжки, можно регулировать раз­ меры вытягиваемой трубы.

Таким образом, для заданного диапазона размеров вы­ тягиваемых труб и заданного состава сырья стеклова­ ренного камня изменяются только безразмерные па­ раметры С2 и С3.

Для решения математической модели необходимо определить статические и динамические величины. К статическим величинам относятся диаметр сопла d0; толщина обтяжки трубки стекломассой Ь0; усилие вытяжки /0; вязкость стекломассы на сопле щ; ско­ рость вытягивания на сопле и0; параметр, выражаю­ щий температурную характеристику вязкости стекло­ массы кг\ параметр, выражающий распределение тем­ пературы в стекломассе /г2.

Статические величины в процессе, формования явля­ ются постоянными.

Динамические величины в процессе формования изменяются непрерывно. Их можно разделить на активные, с помощью которых влияют на размеры вытягиваемой трубы (входные величины для матема­ тической модели) — это давление формовочного воз­ духа, скорость вытягивания и усилие вытяжки, и ре­

123

гулируемые,т. е. требуемые размеры вытягиваемой тру­ бы (выходные величины для математической модели).

Учитывая статические и динамические величины, рассчитывают безразмерные параметры A, Clf С2, С3, которые включают в группы для учета условий фор­ мования.

Систему простых дифференциальных уравнений (3.105) и (3.106) с начальными условиями (3.107) мож­ но решить методом педикатор-корректор. Для про­ верки первоначального прироста и расчета исходных значений можно применить метод Рунге-Кутта чет­ вертого порядка. Расчет уравнёний (3.105) и (3.106) можно закончить, если скорость деформации ниже

танных значений внутреннего диаметра, толщины стенки, скорости вытягивания трубы и формовочного давления для безразмерных параметров Са и С3.

Решив систему дифференциальных уравнений (3.105) и (3.106) при различных условиях формования, можно получить следующие зависимости: внутренне­ го диаметра, толщины стенки трубы, скорости вытяги­ вания и положения стекломассы, начиная с конца сопла, от скорости вытягивания; распределение внут­ реннего диаметра, толщины стенки трубы и скорости вытягивания в процессе формования; изменение внут­ реннего диаметра, толщины стенки трубы и скорости вытягивания в процессе формования; скорости дефор­ мации от внутреннего диаметра и толщины стенки трубы и скорости деформации трубы в направлении формования. По этим зависимостям определяют пара­ метры, при которых формование стеклянной трубы происходит с максимальной производительностью. С учетом вычисленных элементов матрицы /( 4 по от­ дельным условиям формования определяют также

124

процентное изменение внутреннего диаметра и толщи­ ны стенки при 1 %-м изменении формовочного дав­ ления.

Глава 4

МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ТИПОВЫМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

4.1. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ, ОПИСЫВАЮЩИМИСЯ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ СТРУНЫ

При синтезе оптимального управляющего воздейст­ вия в первую очередь необходимо анализировать управляемость объекта или процесса. С учетом эво­ люционных уравнений для этой цели удобен язык функционального анализа. Можно считать, что рас­ сматриваемые в гл. 3.1 уравнения, описывающие дви­ жение струны, имеют первый порядок дифференциро­ вания по t

где A (f) — дифференциальный оператор, не содержа­ щий дифференцирований по t, при каждом фиксиро­ ванном t.

При каждом фиксированном управлении и и каж­ дом начальном условии у0 (xv ...» х„) это уравнение имеет решение

У(0 = У (t,x 1........... *„),

(где Xi — пространственные переменные), являющееся отображением полуоси (/ ;> 0) в пространство состоя­ ний системы состоящее из функции xv .... хп.

Дифференциальное выражение A (/) вместе с вы­ бором граничных условий, которым подчиняется ре­ шение, определяет в пространстве состояний исходной системы оператор, который обозначим А (/)•

125

Пространства состояний, рассматриваемые ниже, представим структурой гильбертовых пространств X . Это обычно прямые суммы пространств типа L2 квад- ратично-суммируемых функций или соболевских про­ странств [31]. При каждом фиксированном t возника­

ет множество Rt (г/0), совпадающее с множеством тех элементов из которые имеют вид у (t)> где г/ (/) — решение системы (4.1) с начальным у0 и некоторым допустимым управлением и (/). Замыкание в норме

пространства Ж множества Rt (у0) обозначим через Rt (Уо) и назовем множеством достижимости для систе­ мы (4.1) из точки у0 пространства состояний за время t.

Объединение [}о Rt (Уо) по всем * ^ О (очевидно, со-

держащее у0) называется множеством достижимости из уо и обозначается R (у0). Если R (yQ) = JC для любого у0, то система называется полностью управ­ ляемой.

Для исследования управляемости и описания мно­ жеств достижимости используем способ, обобщающий для систем (4.1) в гильбертовом пространстве клас­ сический ранговый критерий. Достаточный критерий управляемости при этом способе в абстрактной ситу­ ации (банахова пространства и произвольного опера­ тора Л) получен в работе [42]. Поэтому целесообразно для системы, описывающей колебания движущегося материала, исследовать область применимости ре­ зультата [42]. Если управляющие воздействия, при­ ложенные к движущемуся материалу, локализованы на некотором участке (или нескольких участках) ма­ териала, то получить критерии управляемости не­ возможно [33] и [42].

В этом случае исследование системы проведем, используя методику, аналогичную описанной в рабо­ тах [23; 24], заключающуюся в рассмотрении факторсистемы и исследовании задачи Коши для нее. В каж­

126

дом конкретном случае (например, для уравнения по­ перечных колебаний движущегося материала) для построения фактор-системы применим решения неодно­ родных начально-краевых задач для уравнения коле­ баний в виде формул д’Аламбера [151.

Введем следующие обозначения! Если G — ограни­ ченное множество точек действительной прямой R, то We - гильбертово пространство функций, задан­ ных на G со скалярным произведением

(У> = j y'xZxd x + y(x0)z(x„),

где х0 — фиксированная точка из G.

Получаемая норма эквивалентна норме Соболевско­

го пространства W\ (G) [22]. Через Ф<? обозначим мно­ жество всех бесконечно дифференцируемых функций на R , равных нулю вне G. Введем множества

= {</(■ )€ « W (- )e M < s));

|г/(‘ ) е м о ) И - ) € И М . Последнее множество совпадает с множеством

\ y { - ) t L 2(G)\y'.{-)tL2{G)l

где дифференцирование понимается в смысле обобщен­ ных функций.

Рассмотрим управляемый процесс или систему,

где и (t, •) — функция из некоторого подпространства и пространства функций на отрезке [О, Л при каждом фиксированном t

127

Рассмотрим следующие случаи:

и совпадает с множеством гладких функций на [О, /], равных нулю вне некоторого (возможно малого) интервала [а, р] cz [0, /]. Физически это означает возможность любого внешнего воздействия на дви­ жущийся материал, но локализованного на неболь­ шом участке интервала [0, /];

равная нулю вне интервала [а, р], содержащего точ­ ку а, и равная единице в некоторой окрестности точки а\ “К — произвольное действительное число. Управле­ ниями такого рода хорошо аппроксимируют 6-образные (импульсные) воздействия на движущийся материал. В этом случае правая часть уравнения (4.2) имеет вид

и (0 ф (х) е1х~ 1°)Х.

Возвращаясь к системе (4.2), рассмотрим начально­

Покажем, что из любого начального состояния системы можно как угодно близко приблизиться к любому другому заданному состоянию за конечное время. Для этого проведем редукцию системы (4.2) к эволюционному уравнению. Вводя пространство

Ж[о,ц = Wm 0 L2 [0, /],

получаем в систему эволюционных уравнений

1 Г 0 (<. * ) —

128

=u ( t , X),

которую удобно переписать в виде

Область определения оператора А состоит из функ­

ций, принадлежащих D[o./j + Dfo,/] и удовлетворя­ ющих граничным условиям (4.3), а управление и (/) принимает значения в подпространстве

Ф!«.0]<= М Ю , /])•

129

Задача Коши для уравнения (4.2) порождает груп­ пу Ut ограниченных операторов в действую­ щую по правилу

X y'oix + v)t) — ■ ?-%r г„(х + (a + v)t) +

+ ± 2 j L z(x + (a — v)t)),

где функции y„ и г0 являются продолжениями функ­ ций у„ и г„ с интервала [О, Л на всю ось R по формулам

и на полуось х ^ О а продолжается периодически с от­

130