Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

10.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 299 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

к с м атри ц ей -оп ератором
Л(/) =	°	2	\
Л(/) =

Это уравнение имеет вид

-srto* w )= A <t)(y>w) + t.

Представим матрицу	А (/) суммой двух матриц
Л (0 = Л1 » - Ь Л 2 (0,	где

Для использования метода Т-произведений по строим эволюционный оператор и (tt т) для оператора А (0 через эволюционные операторы v (t, т) и W (t, т) операторов (/) и А2 (0- Эволюционный оператор и (t, т) для оператора A (t) выражается через эволю ционные операторы W и а по формуле

и (/, т) = lim П IF

N•*0Оi=l

где ^ — точки разбиения интервала [т, (] на iV равных интервалов U*_i, /,].

Зафиксировав /V и отбросив lim, получим прибли женное решение однородной системы, отвечающее си стеме (3.30). Рассмотрим уравнения z = Atz; г' —

— А2г.

Исследование уравнения г' = Ахг. Нахождение группы W сводится к решению уравнения

а.. дЧ

dt v ~ tki~d& ~'

где kf = У Щ Щ ,

с нулевыми граничными условиями L20J. Опуская выкладки, получаем

НМ. >(«. о) -			К	-J- J (J! (/ — Т, Z) и (Z) dz +
		_ _ _		/			2 а
+ У т" I T			I° 2		—*’ xz^j a v ^				d%dadz>
__	/							__	I
V ^‘r	\|	G»(i — т> • ) “ ( * ) * +					1//^ г		J	^ —
		— «и, х, z) ^			v (т) dxdadz),					(3.31)
				о	о
где функции Gt — суммы сходящихся рядов:
О,					ял	sin ял		___ я2п‘
О,		(ft х. z) = Ssin, s in - ^ x - ^ x c o s ^ - f t
			п = \
Ga (ft х, z) =					яп	sin яп		x sin		ft
Ga (ft х, z) =			£ sin - if - г -				=	x sin		ft
			n=l
C,(ft x, г ) ------2				n2 Sin		zsin - y - x.sin X
G4 (ft x, z) =			^	ns sin - y - z sin —у					x cos	Я2Л2
G4 (ft x, z) =			^	ns sin - y - z sin —у					x cos	J2

n=l

Исследование уравнения z' — Агг. Чтобы получить решение однородной системы (3.30), рассмотрим рм р-

сто г' = А 2г систему dy/dt = W (t)

на интервале 1т, t\ с условиями у (т) = у0\ W(т) = Ц70. После редукции к задаче Коши уравнения

=	H D - g r		(3.32)
с начальными условиями у (0, х) =		у0 (х); W\ (0, х) =
= W0 (х) и нулевыми	граничными	условиями	полу

чим решение уравнения (3.32) методами характери стик в виде

У(I» х) ---- у0 (х		(о — v) \|) -j----i — у0 (х -f
	+ ( e - o ) i ) - - E -		}	* , ( « ) * +
		x+ia-vft	0
		x+ia-vft	_
	+ -W	1	W„(s)ds,
		и
где у0 и	являются продолжениями функций у0 и W0

с интервала [0, /] на более широкий интервал по фор

муле а -> а.
Преобразование а		а описывается			следующим
образом:
а (х )		п р и 0 ^ л :< 7 ;
у-\- а v — а	\	при /	+ а		*. Л.
—:— х		при /		< х ^ 0;
-J- a	) г		и — а ^		^

в ( * ) =	v + а	(<+Й<— о)
в ( * ) =	--i-- <-
		при 1 ^ х ^ / -

(3.33)

о—a l. ■

v-\-a

Если необходимо получить решение уравнения

(3.32)	на всей полуоси t	О, следует продлить функ
ции у0 и Wo с интервала		для	х в (3.33) на всю ось
— оо <	х < оо по следующим		правилам: на полуось

х0 функция а продолжается периодически с от

резка ^0, / — на полуось х ^ 0 функция а

продолжается периодически с отрезка р ,

Обозначим соответствующую группу операторов через vQ(t, т). Решение неоднородной системы

запишем через группу v0 {t, т) с помощью интеграла Дюамеля

		t
v(t, х) =	»„(*, х)(у0, W„) +	j v0(t, v)/ (v)dv,
		X
где / (v) такая	функция на отрезке		[0 /] при каждом
фиксированном v, что / (v) (х) =		/ (v, х).
Итак, приближенное решение			задачи (3.28) и

(3.29) имеет вид у (/, л), где у (it, х) — первая функция

в паре функций {у (t, х)>	W (t, *)), которая находится
по формуле
(У, W) = П	)v (th ti—j) (ф, ф),
i=\

где Wt и v определены раньше.

3.3. МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ ЛЕНТЫ

Неоднородные дифференциальные уравнения с по стоянными коэффициентами* Рассмотрим поперечные колебания движущейся ленты (мембраны). Обозначим

ширину ленты через у0. а расстояние между валками агрегата (навивки магнитных лент, целлюлозно-бу мажного производства, навивки конденсаторов и др.)

через	/.
Уравнение,		описывающее			поперечные	колебания
такой	мембраны,		имеет	вид	[13]
. о	д2и .	2	г	О	дЧ	п ,	Л
-	t ,)'§i5' +	a	э ^ +	2а"двг— д г		* ~	о .
							(3.34)

где и (х, у, t) — отклонение точки мембраны с коорди натами х и у в момент времени t от положения равно

весия (покоя)	при и =	0;	v — постоянная линейная
скорость протяжки ленты в направлении оси х; F (.х,
у, t) — распределенное		по	поверхности мембраны и
во времени внешнее воздействие.
Рассмотрим	решение однородного уравнения
дЧ	дЧ	+	дЧ
(ва — О2) a jr +			Т 1 Г - 0 . (3.35)

удовлетворяющего нулевым граничным условиям

и (х, 0, 0 «= и (X, yot t) = и (0, у, о = и (/, у, t)~ 0.

Найдем решение этой задачи в виде				(3.36)
Найдем решение этой задачи в виде
« (*, уУО =	2 Дтп [фтл ( * , </) COS		—
““ ‘фтл (х% \|/) Sill	*Ь	Ьтп [фтл (Ху У) COS		"f*
		т,л=1
+	Фтл (Ху У ) Sin Qm ntb

где ат/1, Ьт/1 — обобщенные коэффициенты Фурье (обобщенность появляется из-за использования разложений в ряды по неортогональным системам

функций).

Запишем функции q>mn и фтл

фетл =	(sin ©1т п *			+	sin ©2тл*) siП —				у \
фтл =	(COS (DimnX +				COS©2тпХ) S m - ~ - y ,
где
а2 — V2			п п	1 1		a + v		М		a -f-г ):
©Imn = 4 (а2 + v2)			Уо	\мтп		а — и		/У1тп		a -f-г ):
а2 — v2 пп						а-+-«			1	S)'
© 2тл — ■4 ( a 2 + и2)			Уо			а — v		Мтп		S)'
										(3.39)
Мт« =	^	r [	( a	a + t» 8)		\| /	\| -	^ -	+	1 +
+	1	/ " ^	+	о4) 4 -		^	- +	4 a V	] •

Определим коэффициенты йШя из формулы (3.37)

й/лл----

gy— (®1дая “Ь ®2тл)>

(3.40)

Рассмотрим решение неоднородного уравнения (3.34) с граничными условиями (3.36) через функцию влияния е (ху уу tt £, г|, т). Воспользуемся методом, изложенным в работе [30]. Искомая функция и (ху у% t) имеет вид

I Уо t

и(Ху Ууt) = Jd g J dri ^ e (•«» У* 6» Ш * — x)F(£, TbT)cfo

0 . 0 0

(эта формула совпадает с использованным ранее ин тегралом Дюамеля). :

Функция	влияния			е (х,		у,		г);	t — т) является
решением уравнения
( ф		у2\		.	ф	дН	I	nv	д2е
( ф		у2\		.	ф	о е	I	nv	° *>
'а		U '	дх*	'	а	л.,гдуъ	+	* v	д„д/дхд(
а*р			б (X-		1) б (у -			У]) 6 ( t - т), (3.41)
-----	ж	=	б (X-		1) б (у -			У]) 6 ( t - т), (3.41)

удовлетворяющим пулевым граничным и начальным условиям.

Представим		е разложением			вида
8 (я» £/»		Tj, /) =		00
				r/l,n=l jj^mn sin 2n —j“ # X
X sin я		Уо	у cos Qmnt + Bmnsin 2 n ^ x x
							»
x	sin л ~ - y s m Q mnt I +				[Cm„cosQm„* +
-\|- Dmn sin Qmnt] cos 2JI -—J - X sin n							,
где согласно уравнению (3.40)
Ь&тп —	Ф — уа			(й2тп) —	С1Л 1	Г	тг .	п*
	2 у ------\(£>\тп “ Г					/	----- 1—	- j - .
Подставляя		разложение (3.42) в				уравнение (3.41)
и используя ортогональность системы функций
(sin п — х sin п — - */Г					в прямоугольнике
I			Уо	Jm,n=l

со сторонами / и г/0, получаем систему уравнений,

решение которой дает следующие формулы:
			.		п
			— sin л;!—- п
Лга' " =			я ч Т т(1 -			(cos 2 я - г ? sin ая,п*			+
			+ а тп sin 2n			~ l	cos Qт „т);
	sin п
В,тя	л*Ыт (1 ■у° 2			'	(—<х„,„ sin 2п -у- S X
X sin йш„т +			cos 2п		1 cos Й„,„т);
			Л
	sin я ---- и
Cmtt			—-----[sin				sin Qmnt —
Cmtt	я>Ы тО -<4,п)\								(3.43)
									(3.43)
— Ctmn COS 2Л			j i COS
	— sin		n
	— sin		л — = T\|
Dmn =	~Г~.		^ 2	Г (		C ®S	~T ^	^
	n2vlm	(1 — a^ n)			\		1
X sin QmnT + sin 2л -у- 6cos QOTrtTj
(m, л =	1, 2,		. . . ) .
Искомую функцию Грина е представим в виде
суммы		е (я, у,		£, т), t — т) = е0 +				®1»
где		е (я, у,		£, т), t — т) = е0 +				®1»
где
е0 =* S		Ic nC0S^«(^ — T )-b a nsin fl„p — т)] X
	п=]		X sin л			у sin я		д;	(3.44)
			X sin л			у sin я		д;	(3.44)
					Уо		Ул

61 яаи/ S	т а —а2 ЪГ^п 2л-р(д: — ^sinQ^y, х
m=l	' 1 ^mn'	L
п=1
X (t — T) —	cos 2л -2- (x — I) cos Qm„ (<— x)J х
	X sin — - у sin п — т].		(3.45)
	Уо	#о

Определим коэффициенты Сп и а„ с учетом нуле вых граничных условий для функции влияния

л / ~ \ + J L - ! L s i n i l !

С„(Ю =	n*vy0		V	У		‘Л	т2	°
С„(Ю =	n*vy0				“ ‘ « • - “tan)
					“ ‘ « • - “tan)
X \| a mn cos		i	cos Qm„		+	Sin	2лт	,I sin Qm„	;
									(3.46)
				sin -^-Q „
« „ (g ) e	_	2	^ V	------- —		(sin * L		m \| X
X COS		Qrnn— Ot/wi COS —p- m l sin						2»m)>
			(л — I* 2, . • • )*						(3.47)
			(л — I* 2, . • • )*
где
		Q „.= a —			n;
О			f	m*	-L "* •				(3.48)
йт,п =		ал j /		-p- +		-^>			(3.48)
	лит
“ m'n =	I	T	:	4a
				4a

Рассмотрим задачу (3.34), (3.36) с начальными дан ными

(3.49)

Она решается приближенно методом 7"-произведе- ний. В качестве фазового используем гильбертово пространство пар функций

Ж = W?((0, I) х (0, у,)) X М (0 ,0 X (0, у))

(первый сомножитель соответствует мгновенным по ложениям мембраны, второй — ее мгновенным ско ростям).

Далее в пространстве УС выделим подпространство X состоящее из пар функций (и0, Н?0), таких, что

и0е w\ «о. i) х (о,	i/0)), w „e L 2 ((о, о х	(о,	</» и
и0 = 0 на границе прямоугольника (0, /) х		(0, у0).
Начально-краевая	задача (3.34), (3.36)	и	(3.49)

порождает в УС следующую задачу Коши для вектор-

функции и со значениями в пространстве УС, которая имеет в УС компоненты (w, W):

— Аи-\- Bw,

		(3.50)
	“ (0) =	«о,
где оператор А,	неограниченный в пространстве УС
с областью определения		плотной в УСо, описываемый
правилом
А («„, W,) =	(Г0, (а>	+

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 299 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги