книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

Опуская выкладки, сводящиеся к приравниванию нулю значений у (/, х) для х = 0 и х = I при всех t, получаем следующее правило продолжения функ­ ции. Обозначив п = а — и; m = с + и, получим

по такой же формуле. Если дополнительно выполня­ ется условие ф' (tt 0) = ф7 (t, t) = 0, то первая про­ изводная будет гладкой.

Нулевые граничные условия в формуле (3.2) ис­ кажают реальную картину колебаний в процессе намотки, поскольку не учитываются эффекты, свя­ занные с натяжением на направляющих роликах (т. е. в точках 0 и /)• Учет этих эффектов приводит к

M (4 -+'>4 r ) v { ^ - EF- & l j

где M t Е, F — константы.

Снова будем искать решение задачи (3.1) — (3.5) в виде (3.6), и для этого построим продолжение функций

61

Будем продолжать функции ф и яр на ось — оо <

выполнялись граничные условия с заданным а.

Из решения уравнения (3.6) следует, что значения

функции ф и яр на интервале At зависят лишь от зна­ чений этих функций на интервале £<_ь а значения

Ф и яр на интервале Bt зависят от значений ф и яр на интервале Поэтому получаем следующие две цепочки, указывающие последовательность действий

для определения ф и яр на всех интервалах:

А0—► В] —► Л2 —■*- В3—► А4—► • • *

Во Ах -*■ В2-► Л8-► Б4 -*> • • •

62

Для построения функций <р и ф при переходе от

Для этого предположим, что функции ф и ф построены на интервалах At и Bt при i ^ k.

Построение ф на интервале Вь+\. Для z 6 Дм- 1

функция ф (z) удовлетворяет обыкновенному диф­ ференциальному уравнению с постоянными коэффи­ циентами

63

С ,- ф (4 к ) - ф '(а д - § - -

Построение (р на интервале Ak+ i. Из граничного

условия при а: = / получаем для <p (z) при z 6 Ла+I соотношение

где константа С, подбираемая из условия непрерыв­

ности ф в точке afe, имеет вид

Построение ф на интервале Вк+\. Построение вы­ полняется по формуле

условия непрерывности ф в точке bk по формуле С —

= ф (&*) е ~ .

Определение ф на интервале Ак+Ь Используя граничные условия при г = /, получаем следующее

64

соотношение:

Получаемое решение можно рассматривать как предел дифференцируемых (классических) решений при малых изменениях <р и ф.

Однородные дифференциальные уравнения с пере­ менными коэффициентами. Рассмотрим уравнение, аналогичное уравнению (3.4), но с переменным коэф­ фициентом а (t), который далее предполагается диф­ ференцируемой функцией,

(4-+v4r)‘ у«’ х)=аг®-^>- ■(зла)

С уравнением (3.13) связывается начально-крае­ вая задача

у (0, х) = ф (х)\

Для решения этой задачи используется прибли­ женный метод, называемый методом ^-произведений [7; 21]. Разобьем интервал [0, 71, в котором изменя­ ется переменная t (время) на п равных частей точками Г0 = 0, 7\, Т2, ...» Тп = 7\ Длина каждого интервала А = Tin. На первом интервале [0, 7\] решаем началь­ но-краевую задачу для уравнения

бб

с начальными условиями

(Д, я) = ф2 W* Эти функции принимаем за на­

чальные условия для следующего уравнения с ну­ левыми граничными условиями:

Решая на временном интервале [О, Д] эту начально­ краевую задачу, получаем (полагая t = Д) функции

принимаем за начальные данные для следующего уравнения с постоянными коэффициентами. При этом функции % (я) и ф, (я) определим методом индукции

У{ - 1 начально-краевой задачи yt- i (0, х) = cp*_i (я);

(i- +0 4 r f »*-' <*•*>= *г

при i ^ 2. В результате получаем на интервале ГО,

Т] непрерывную функцию у (t, я), определяемую для всех / 6 ГО, Т] и я 6 [0, /] по формуле

Докажем, что указанный метод для рассматривае­ мого уравнения является приближенным. При этом

66

нужно показать, что точное решение у (/, х) можно

записать как поточечный предел последовательности функций

меним исходное уравнение (3.13) следующей систе­ мой [35—39];

Поставим для нее начально-краевую задачу

где W2\ (Ю, /]) — соболевское гильбертово простран­ ство, являющееся пополнением множества гладких (бесконечно дифференцируемых) функций на [0, /] по

67

скалярному произведению

-х г -*)и + * т < м

L2= L 2[0, /] — гильбертово пространство функций, сум­ мируемых с квадратом модуля на [0, /], снабженное

стандартным скалярным произведением [31]

/ ___

(a. P)L, = j а (х) р (х) dx.

О

Область определения оператора A (t) при каждом фиксированном t состоит из таких пар функций

(У* W) 6 Wl X L2, что оператор А (,t) замкнут [31], и. выполняются условия

W( 0) = W (/) = 0.

В пространстве Wl (0, /) рассмотрим также экви­ валентную, ранее введенную норму

где у — действительное число, большее нуля. Докажем следующую лемму. Оператор A (t) явля­

ется консервативным в норме

Напомним, что линейный оператор G в гильберто­ вом пространстве Н (со скалярным произведением (,)//) консервативен, если для любого h из области определения D (G) оператора G справедливо равенство Re (Gh, h)n = 0. В рассматриваемом случае утвержде­ ние о консервативности оператора А Ц) означает, что

где через (W2), обозначено пространство W\ (0, 0 о нормой (3.18); у = У а2 (/) — о2.

68

Действительно,

Re04 (О {У, W), (у, UP))(W^)(xLu— (W^ j У)(\у\)^ Ч*

+ (»* (0 - « ) ( - § - . w )Lt - Ъ ( 4 - w u w )Lt.

Используя интегрирование по частям, убеждаем­ ся, что

то, снова интегрируя по частям, получаем

(V. у № у ш = 0 =

=(<?(() — v)W(x) у'(X) |S —

-( a * ( t ) - v ) j w ( x ) - ? 0 L dx.

Учитывая, что W (0) = W (0 = 0, убеждаемся в справедливости равенства (3.9).

Следовательно, оператор A (f) удовлетворяет ус­ ловию Т. Kato [31; 36] в переменной по t норме, ко­ торая остается эквивалентной стандартной норме в

пространстве - W\ (0, /) х Ц (0, /).

Поэтому, используя результаты работ [37] и [39], получаем равномерную корректность в пространстве

W\ (О, I) х L2 (О, J) задачи Коши для эволюционного

уравнения (г/, W)t = A {() (у, W) (это означает суще­ ствование, единственность и непрерывную (равномер­ но по временному интервалу [О, Т\) зависимость на [О, Т] решения задачи Коши от начальных данных из области определения оператора А (/), которая пред­ полагается не зависящей от t).

Получаемая в результате решения задачи Коши функция у (/, х) непрерывна по / и по я (ввиду извест­

ного включения С (0, /) cz W\ (0, /)) и является ре­ шением уравнения (3.13).

Метод получения эволюционного оператора для

уравнения {у, W)\ = A (t) (у, W) [20; 35] представля­ ет собой описанную формулами (3.16) и (3.17) процеду­ ру приближенного решения, что показывает схо­ димость указанного приближенного метода.

Неоднородные дифференциальные уравнения с по­ стоянными коэффициентами. Для решения задачи управления колебаниями струны необходимо полу­ чить решение неоднородных уравнений. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

70