книги / Начертательная геометрия

Кривую линию можно рассматривать как непрерывное множество последовательных положении точки, движущейся в пространстве, то есть как траекторию движущейся точки. На протяжении кривой линии не должно быть прямолинейных участков. Кривая линия определяется поло­ жениями составляющих ее точек, точки кривой определяются их коорди­ натами. Если координаты любой точки кривой удовлетворяют некоторому уравнению, то такие кривые называются закономерными. Закономерные кривые линии образуются по определенному закону и могут быть заданы графически и аналитически.

Аналитически кривую линию на плоскости можно задать уравнением F (л\ у) = О

(может оказаться, что данному уравнению F (.г, у) = 0 не удовлетворяют координаты ни одной действительной точки на плоскости. Тогда условно говорят, что данные уравнения изображаются мнимой кривой), в простран­ стве - двумя уравнениями (как линию пересечения двух поверхностей)

F (.г, у, z) = 0, f(x,y,z) =0.

Существуют также незакономерные кривые, образование которых носит эмпирический характер. Незакономерные кривые линии задаются ■только графически на чертеже.

Одна и та же кривая линия может быть образована разными способами:

1)движением точки в пространстве;

2)пересечением кривой поверхности с плоскостью;

3)взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна кривая.

Кривые линии подразделяют на плоские и пространственные. У пло­ ских кривых все точки принадлежат плоскости, у пространственных кри­ вых точки не принадлежат одной плоскости. Пространственные прямые называются также линиями двоякой кривизны. Наиболее известными из плоских и пространственных кривых линий являются соответственно ок­ ружное! ь и цилиндрическая винтовая линия.

Закономерные кривые, определяемые в декартовой системе коорди­ нат алгебраическим уравнением вида Р„ = 0, где Р„ - многочлен п-й степе­ ни от одного или нескольких переменных (n > 1), называются алгебраиче­ скими.

Порядком алгебраической кривой линии называется степень ее урав­

нения. Геометрически порядок плоской алгебраической кривой линии характсрпзуе1ся наибольшим числом точек ее пересечения с прямой линией. Порядок пространственной а.пебраичеокой кривой линии определяется наибоилиим числом точ^к ее перессчени-; костью общего положе-

Соприкасающаяся плоскость - это предельное положение плоскости, проходящей через рри близкие точки кривой М, N, и Р, когда N‘и Р стре­ мятся к М. Соприкасающаяся плоскость содержит в себе касательную.

Главная нормаль п - это линия пересечения нормальной и соприка­ сающейся плоскостей (та из нормалей, которая лежит в соприкасающейся плоскости).

Бинормаль Ь- прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости. Спрямляющая плоскость-проходит через касательную и бинормаль. Длина отрезка кривой (плоской или пространственной) определяется в общем случае приближенно путем замены кривой линии вписанной в нее

ломанной линией с максимально большим числом ее сторон, достаточно хорошо передающей форму кривой.

Рис. 135

2. СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ КРИВОЙ ЛИНИИ

Из всех инвариантных свойств проецирования для кривой линии можно выделить следующие:

проекции кривой в общем случае есть кривые. В частном случае плоская кривая проецируется в прямую, если она принадлежит проеци­ рующей плоскости;

-если точка лежит на кривой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой кривой;

-если прямая касается кривой в пространстве, то проекции этой прямой касаются одноименных проекций кривой. Секущая кривой про­ ецируется как секущая проекции кривой;

кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого по­ рядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

На рис. 138 представлены некоторые особые точки кривых:

-точка перегиба (с особой касательной) (см. рис. 138 б);

-точка возврата первого рода или заострения (особаяточка)(см.рис.138в);

точка возврата второго рода, или «клюв» (особая точка с особой касательной) (см. рис. 138 г);

-точка излома А, в которой имеются две касательные (см. рис. 138 д);

-узловая точка В, в которой кривая пересекает себя и имеет две каса­ тельные (см. рис. 138 е);

-точка самоприкосновения С, в которой кривая встречает самое се­ бя, но обе касательные совпадают (см. рис. 138 ж).

На комплексном чертеже задаются проекции нескольких обыкновен­ ных и всех особых точек кривой линии. Касательные и нормали к кривым линиям строят или графически, или пользуясь специальными приборами.

На рис. 139 показано построение касательной к кривой линии, про­ ходящей через заданную вне кривой точку М. Через точку М проводят пу­

чок прямых, пересекающих кривую по хордам 11, 22, 33, Через сере­ дины хорд проводят кривую ab, которая называется кривой ошибок. Эта вспомогательная кривая пересекает данную кривую в точке С, являющейся точкой касания. Прямая СМ есть касательная к данной кривой линий.

Построение нормали к кривой линии, проходящей через заданную точку К вне кривой, показано на рис. 140. Принимая точку К за центр, про­ водят ряд окружностей, пересекающих кршзую по хордам 11, 22, 33 и т.д. Из концов хорд проводят разносторонне направленные перпендикуляры к ним, на которых откладывают отрезки, равные длинам соответствующих хорд. Концы отрезков этих перпендикуляров намечают кривую ошибок - линию ab, пересекающую данную кривую в точке С. Прямая КС задает на­ правление искомой нормали п к данной кривой.

4.ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ИИХ ПРОЕКЦИИ

Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе де­ картовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют линией второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид:

Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0.

После приведения уравнения кривой к каноническому виду кривые могут быть квалифицированы следующим образом:

1) кривые эллиптического типа. Это эллипс (в частном случае ок­ ружность, одна точка или мнимое место точек);

2)кривые гиперболического типа. Это гипербола или пара пересе­ кающихся прямых;

3)кривые линии параболического типа - парабола, пара параллель­ ных прямых (в частном случае совпадающих) или мнцмое место точек.

Кривые линии второго порядка называют кониками или линиями ко­ нических сечений, так как они могут быть получены в сечении плоскостью прямого кругового конуса. Конические сечения будут рассмотрены далее (Раздел VII. 1.). Кривую второго порядка однозначно определяют заданием пяти точек общего положения: через заданные пять точек проходит одна и только одна кривая второго порядка. Если хотя бы три точки лежат на од­ ной прямой, то получается распадающееся коническое сечение.

Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма рас­ стояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть вели­ чина постоянная. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

+= 1, где Ь2 = а2- с2

аb

Оси координат являются осями симметрии эллипса (рис. 144). Точка 0 пересечения осей симметрии называется центром эллипса, точки пересече­ ния эллипса осями симметрии - вершинами эллипса. Отрезки, соединяю­ щие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2Ь, называют соот­ ветственно большой и малой осями эллипса. Два фокуса эллипса - точки F\ и F-i расположены на расстоянии 2с друг от друга. Величину 2с называ­ ют фокусным расстоянием. Любая точка Е плоскости принадлежит эллипсу,

если соблюдается условие EF, EF, = 2а, де2а -большая ось эллипса.

Диаметры эллипса - это отрезки прямых, проходят через центр эл­ липса. Геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров эллипса, является диаметр, сопряженный заданному. На рис. 145 диаметры 2аi и 2Ь\ является сопряженными. Большая и малая оси эллипса являются сопряженными взаимно перпендикулярными диаметрами.

Другой способ построения эллипса по его сопряженным диаметрам показан на рис. 147. На полудиаметрах эллипса 0\С\ и 0\В\ строят паралле­ лограмм. Стороны параллелограмма делят соответственно на одинаковое число равных отрезков. Лучи, проведенные из точек С\ и В\ концов полудиаметров через одинаково нумерованные точки сторон параллелограмма, пересекаются в точках эллипса.

На рис. 148 показан способ построения эллипса по заданным осям. Для построения точек эллипса из центра 0 проводят две окружности, диа­ метрами которых являются большая А\В\ и малая C\D\ оси эллипса. Из центра 0 произвольно проводят луч, который пересекает окружности в точках Е и К. Из этих точек проводят прямые, параллельные соответст­ венно осям А\В\ и C\D\ эллипса. Точка К\ их пересечения является точкой эллипса. Выбирая другие лучи и помечая точки на окружностях, строят со­ ответствующие точки эллипса.

Рис. 148

В начертательной геометрии эллипсы чаще всего рассматривают как проекции окружности. При ортогональном параллельном проецировании окружность может проецироваться на плоскости проекций в виде отрезка прямой, окружности (частные случаи) или в виде эллипса (общий случай).

Окружность проецируется на плоскость проекций без искажения, ес­ ли ее плоскость параллельна плоскости проекций. Пусть окружность ле­ жит во фронтальной плоскости уровня, тогда ее фронтальная проекция есть окружность, а горизонтальная - отрезок, равный диаметру и парал­ лельный оси проекций х (рис. 149).

Если окружность принадлежит проецирующей плоскости, то одна из

еепроекций совпадает со следом плоскости и равна диаметру окружности,

адругая есть эллипс.