книги / Начертательная геометрия

III. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

1. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПРЯМОЙ и точки плоскости

Показать на чертеже точку (или прямую), принадлежащую плоско­ сти, занимающей общее положение в системе плоскостей проекций, про­ извольно, не связывая ее с другими элементами плоскости, невозможно. Поэтому точка в плоскости выбирается из условия, что она находится на прямой линии этой плоскости.

Прямая же линия принадлежит плоскости, если она проходит: через две точки этой плоскости;

через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости.

Рис. 72

Рис. 72 иллюстрирует вышеизложенные условия принадлежности прямой плоскости на чертеже.

Прямая / (см. рис. 72 а) принадлежит Е (а П Ь), так как проходит че­ рез две точки А и В, выбранные на прямых а и b этой плоскости. На рис. 726 используется другое условие: прямая I имеет общую точку А с плоско­ стью Е (а П Ь) и параллельна прямой Ь, лежащей в этой плоскости. Оба ри­ сунка демонстрируют также принадлежность точки К плоскости Е вслед­ ствие принадлежности ее прямой /.

Случай принадлежности прямой и точки плоскости, заданной следа­ ми, представлен на рис. 73. Здесь общими точками прямой и плоскости яв­ ляются следы прямой М и N, принадлежащие соответствующим следам плоскости.

Принадлежность точек и прямых линий плоскостям, занимающим частное положение, определяется собирательным свойством их проекций. Так, ниже приведены фронтально-проецирующая плоскость Р (рис. 74 а) и горизонтальная плоскость уровня Г (рис. 74 б), а также показаны точка К и линия /, лежащие в этих плоскостях.

Рис. 74

Главные линии плоскости

Главными называют следующие линии плоскости:

прямые, принадлежащие плоскости и параллельные какой-либо плоскости проекций, - линии уровня;

прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные какойнибудь из линий уровня, - линии наибольшего наклона плоскости к плос­ костям проекций.

Линии уровня в плоскости

В заданной плоскости, как и в пространстве, можно выделить три типа линий уровня:

-горизонталь плоскости, линия параллельная Пь

-фронталь плоскости, линия параллельная П2;

-профильная прямая плоскости, линия параллельная П3.

На рис.75 показаны горизонталь h, фронталь/и профильная прямая р , принадлежащие плоскости £. Из рис. 75 видно также, что каждая из линий уровня всегда параллельна соответствующему следу плоскости :

-горизонталь (И) - горизонтальному следу плоскости (L0;

-фронталь (f) - фронтальному следу плоскости (£2);

-профильная прямая (р) - профильному следу плоскости (L3).

Исходя из этого, следы плоскостей называют еще линиями нулевого

/7 0 /*0 0

уровня (h , / ,р)\.

Рис. 76 иллюстрирует задание линий уровня плоскости на чертеже. В плоскостях частного положения некоторые из линий уровня стано­

вятся проецирующими прямыми. Так (рис. 77 а), в горизонтальнопроецирующей плоскости © фронталь /и профильная прямая р займут го- ризонтально-проецирующее положение, а в горизонтальной плоскости уровня Г (рис. 77 б) фронталь / станет профильно-проецирующей прямой, а профильная прямая р - фронтально-проецирующей прямой.

Для линии наибольшего наклона плоскости к П2 характерно, что ее фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали (или фронтальному следу). И, наконец, профильная проекция линии наибольшего наклона к П3 займет положение, перпендикулярное к про­ фильной проекции профильной прямой плоскости.

Из рис. 79 видно, что линиями наибольшего наклона можно пользо­ ваться для определения угла наклона плоскости к плоскостям проекций. Здесь с помощью способа прямоугольного треугольника определена нату­ ральная величина линии наибольшего наклона I = \B\Ko\ и угол ее наклона к плоскости Пь Этот же угол определяет наклон и самой плоскости

£(АВС) к П] (см. рис.78).

2.ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется за­ дать дополнительное условие - определить прямую, принадлежащую плоскости. Так, на рис. 80 показана прямая а, которая параллельна плоско­ сти £, так как она параллельна прямой а'этой плоскости.

Условие параллельности прямой и плоскости на эпюре иллюстриру­

ет рис. 81. Здесь прямая I параллельна плоскости £ (ААВС), так как вы­ держано условие параллельности ее одной из сторон треугольника - АВ. Параллельность линии / и АВ подтверждается параллельностью их одно­ именных проекций на эпюре.

Рис. 85

На рис. 86 показан случай перпен­ дикулярности прямой к плоскости обще­ го положения при задании плоскости следами. Здесь прямая I перпендикулярна плоскости L (Li, £2)5 так как она перпен­ дикулярна следам плоскости, которые являются горизонталью и фронталью ну­ левого уровня.

Рис. 86

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Как видно из рис. 87, через перпендикуляр к плоскости можно про­ вести бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных данной. Поэтому для однозначного решения требуется задать дополнительные ус­ ловия. Так, на рис. 88 для для построения на чертеже плоскости, перпенди­ кулярной заданной L (h П Д введена прямая а, пересекающая перпендику­ ляр к плоскости L - Новая плоскость © здесь будет задана проекциями пересекающихся прямых а и I, и она перпендикулярна L, так как проходит через перпендикуляр (/) к ней.