книги / Начертательная геометрия
..pdf
h 22 32 4? 52 |
62 b |
|
12 =22 =32=^2= 5 2=62 г о р и з о н т а л ь н ы е п р о е к ц и и д и а г о н а л е й |
л N \ |
\1 |
|
^ “ 71 |
"М 1_________ |
— —- |
2 ^ 6 i |
|
>п |
|
|
3h 5; |
Г |
|
|
^ |
|
|
|
■i |
Рис. 247
Задача 2 (рис. 248). Дано: четверть тора (1/4 часть кругового кольца). Требуется: построить развертку поверхности тора способом описан
ных цилиндров. Решение:
1. Поверхность тора проецирующими меридиональными плоскостя ми Е делится на четыре части. Деление надо произвести так, чтобы у край них звеньев с торца получались окружности, к которым присоединяются трубопроводы круглого сечения. С этой целью торцевые звенья делаются равными половине средних. Торцевые звенья равняются 1/6 части отвода и их центральный угол равен 15°, а средние равны 2/6 частям, центральный
угол которых 30° 2. Все звенья кругового кольца заменяются описанными цилиндрами.
Нормальным сечением этих цилиндров является окружность /, образующая тор. Эта окружность делится на 8... 12 частей. Через точки деления 2, 3...8 проводятся параллели (на фронтальной проекции это четверти окружностей радиусами i222, /2З2, /УН)- Затем строятся образующие цилиндров, касатель ные к параллелям. У крайних звеньев точки касания расположены на торце вых окружностях, а у - средних на линии симметрии.
3. Строятся развертки описанных цилиндров способом нормального сечения. Нормальное сечение каждой части (сечение, перпендикулярное образующим цилиндров) есть окружность / заданного диаметра d, которая разворачивается в прямую линию. На рис. 248 “развертка” нормального се чения изображается отрезком 1, 2, 3, ..., 8, 1 горизонтальной прямой. Пер пендикулярно к этой линии через точки 1, 2, 3 и т.д. проводятся образую щие цилиндров, размеры которых берут с фронтальной проекции. Для тор цевых звеньев образующие IА5 I = IА2521 I ВЪ I = I В2Ъ21 Полученные точки А, В н С соединяют плавной кривой линией. Развертка звена симмет рична относительно образующей А5. На практике обычно строится шаблон половины развертки торцевого звена (на рис. 248 заштрихованная часть). Повернув его вокруг образующей Л5, очерчивается вторая половина раз вертки. На развертке среднего звена укладывается 4 таких шаблона.
Весь тор можно раскроить из листа железа без обрезков. Для этого развертки звеньев надо разместить на листе так, как показано на рис. 248. Из чертежа видно, что звенья разрезаются попеременно, то по образующей С1, то по образующей А5. Таким образом, при сборке тора швы на звеньях получаются прерывистыми.
В практике при раскрое даются припуски на швы в соответствии с типом соединения.
Рис. 248
чО
u>
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Аксонометрические проекции (аксонометрия) служат для наглядного изображения предметов. Название “аксонометрия” образовано из слов древнегреческого языка: “аксон” - ось и “метрео” - измеряю, т.е. измере ние по осям.
Аксонометрическая проекция предмета получается параллельным проецированием его вместе с осями прямоугольных координат, к которым этот предмет отнесен, на одну плоскость проекций, называемую аксоно метрической плоскостью проекций или картинной плоскостью.
Аксонометрическая проекция - это однокартинный чертеж, на кото ром получается изображение всех трех измерений предмета. Этим и объ ясняется его наглядность.
На рис. 249 схематично показано получение аксонометрической проекции точки А. Основные обозначения на рисунке следующие:
ГГ - аксонометрическая плоскость проекций; х, у, z - оси координат в пространстве;
А - точка пространства; А\ - проекция точки А на плоскость проекций Щ (можно взять про
екции точки А на плоскость проекций П2 или П3); s - направление проецирования;
[O' х'), [О' у'), [O' z) - аксонометрические оси, являющиеся проек циями осей координат на плоскость ГГ.
Рис. 249
Аксонометрической проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проведенного через заданную точку в пространстве, параллельно, направлению проецирования, с аксонометрической плоско стью проекций.
Таким образом, чтобы получить аксонометрическую проекцию точки А через нее проводят проецирующий луч параллельно направлению про ецирования s до пересечения с плоскостью проекций П' в точке А'
Это построение показывает, что при заданном направлении проеци рования каждой точке А пространства на плоскости проекций соответству ет определенная точка А' Но обратное утверждать нельзя. Проекции А' на плоскости ГГ соответствует любая точка проецирующего пучаА'А.
Для устранения этой неопределенности и обеспечения взаимной од нозначности между точками пространства и точками аксонометрической (картинной) плоскости проекций, на плоскость П' проецируют не только точку А, но и одну из ее ортогональных проекций (обычно горизонтальную проекцию Ai). А'\ есть вторичная проекция точки А.
Вторичной проекцией точки называется аксонометрическая проек ция одной из ее ортогональных проекций.
Этот термин отражает тот факт, что точка А \ получается в результа те двух последовательных проецирований точки А (первое - точка А про ецируется на П(, второе - А\ проецируется на ГГ). Аксонометрическая проекция точки и ее вторичная проекция однозначно определяют положение точки в пространстве. Они находятся на одной прямой, параллельной соответствующей оси.
Коэффициенты искажения
В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций. Искажение отрезков осей координат при их про ецировании на плоскость ГГ характеризуется коэффициентами искажения.
Для определения коэффициентов искажения по аксонометрическим осям на осях х, у, z откладываются отрезки длиной е, принимаемые за еди ницу измерения по этим осям (см. рис. 249). Величины е\, е'у, е'г являются аксонометрическими проекциями этих отрезков.
Коэффициентом искажения называется отношение длины аксоно метрической проекции отрезка, лежащего на координатной оси или парал лельного ей, к истинной длине самого отрезка.
е |
К |
е |
Кх=— , Ку=— , Kz=— - коэффициенты искажения по осям х, у и |
||
е |
е |
е |
z, соответственно.
В инженерной практике при построении аксонометрических проек ций пользуются не действительными коэффициентами искажения, а при веденными, удобными для построения. Обычно приведенные коэффициен ты искажения берут равными единице, что значительно упрощает по строение. Изображение при этом несколько увеличивается, однако это не влияет на его наглядность.
При помощи коэффициентов искажения можно перейти от прямо угольных координат к аксонометрическим и наоборот.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Аксонометрические проекции классифицируют в основном по двум признакам:
1.По направлению проецирования.
Взависимости от направления проецир^занчя все аксонометриче ские проекции делятся на две группы:
-прямоугольные, если направление проецирования перпендикулярно
аксонометрической плоскости проекций (s JLП');
- косоугольные, если направление проецирования не перпендикуляр но аксонометрической плоскости проекций (s JLП').
2.По коэффициентам искажения.
Взависимости от коэффициентов искажения все аксонометрические проекции делятся на три группы:
изометрия - коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой
(Кх = Ку = Кгу,
- диметрия - коэффициенты искажения по двум осям равны между собой, а третий им не равен
(Кх=Кг±КуУ
- триметрия - коэффициенты искажения по всем трем осям не равны между собой
(КхФКуФКг).
Между коэффициентами искажения и углом <р, образованным на правлением проецирования с плоскостью П', существует следующая зависимость:
К 2+ К 2 + К* =2 + ctg2q>.
Сумма квадратов коэффициентов искажения по аксонометрическим осям равна двум плюс квадрату котангенса угла проецирования. Котангенс прямого угла равен нулю, следовательно, для прямоугольных аксономет рических проекций справедливо следующее уравнение:
К 2 + Ку2 +К2 = 2.
Всякое изменение положения осей в пространстве и направления проецирования влечет за собой изменение положения аксонометрических осей и коэффициентов искажения по осям.
Вопрос в том, какие положения могут принимать аксонометрические оси и какие величины могут принимать коэффициенты искажения по осям, в зависимости от положения осей проекций в пространстве и направления проецирования, был разрешен в прошлом веке геометрами Польке и Шварцем. Они сформулировали основную теорему аксонометрии: любой полный четырехугольник на плоскости всегда является параллельной про екцией некоторого масштабного тетраэдра.
Если на плоскости П] (рис. 250 а) взять произвольно четыре точки 0\, А ь В\, С1 и соединить их попарйб прямыми, то получится фигура, на зываемая полным четырехугольником (0\А\В\С\). Таким образом, полным является четырехугольник с его диагоналями. Если далее через эти точки провести параллельные между собой прямые и взять на каждой из них по произвольной точке О, А, В и С так, чтобы все они не лежали в одной плоскости, то в пространстве образуется некоторый тетраэдр ОАВС (рис. 250 б). Очевидно, тетраэдров в пространстве, параллельной проекцией ко торых может служить четырехугольник 0\А\В\С\, может быть бесконечное множество. В их числе содержится и тетраэдр с прямым трехгранным уг лом при точке О и с равными ребрами ОА'= OB'- ОС = е. Такой тетраэдр можно рассматривать как масштабный, т.е. три равных и взаимно перпен дикулярных ребра этого тетраэдра служат масштабами осей координат в пространстве (рис. 250 в). Отсюда, любые три прямые, проходящие через одну из точек на плоскости и не совпадающие между собой, могут быть приняты за аксонометрические оси, т.е. за проекции осей прямоугольных координат (х, у, z).
а) |
б) |
в) |
Рис. 250
Согласно основной теореме аксонометрии аксономеричсские оси и коэффициенты искажения по ним могут выбираться произвольно. Задавая разные направления для любой натуральной системы координат можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга, как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэф фициентов искажения вдоль этих осей.
В практике построения наглядных аксонометрических изображений обычно применяют некоторые определенные комбинации направлений ак сонометрических осей и коэффициентов искажения, которые дают реаль ное восприятие предмета и удобны для построения.
4. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Согласно ГОСТ 2.317-69 рекомендуется применять пять стандарт ных аксонометрических проекций. Из прямоугольных аксонометрических проекций применяют изометрию и диметрию, из косоугольных - фрон тальную изометрию, горизонтальную изометрию и фронтальную димет рик).
Прямоугольные проекции
Название отражает способ получения аксонометрических проекций. Прямоугольная проекция получена прямоугольным проецированием, а слова «изометрия» или «диметрия» говорят о расположении пространст венных координатных осей относительно картинной плоскости.
Изометрическая проекция. В изометрии соблюдается равенство ко эффициентов искажения Кх = Ку = Кг. Для того чтобы получить искажения, равные между собой, необходимо оси координат в пространстве располо жить относительно картинной плоскости так, чтобы углы наклона их к плоскости были одинаковые, тогда проекции их изобразятся на П' под yiлом 120° друг к другу ( рис. 251).
В прямоугольной аксонометрии Кх + Ку~+ К,~ = 2, Кх = Ку - К г, ог-
Это действительные коэффициенты искажения по всем осям. ГОСТ рекомендует ивометрическую проекцию строить без сокращения по осям координат (приведенные коэффициенты искажения по всем осям равны
единице), что соответствует увеличению изображения в |
~ 1,22 раза. |
Диметрическая проекция. Эта проекция получается прямоугольным проецированием осей на одну плоскость проекций ГГ При этом оси л и располагаются относительно картинной плоскости так, чтобы утлы накло-
на их бы.’ш одинаковые а ось у iак. чтобы коэффициент искажения по нем был вдвое меньше.
|
К ^ К , \ к\ = |
к. |
|
Подставляя эти значения в формулу АУ +А\ + К,~ |
2 будем иметь |
||
2К1 + |
=2. откуда Ах = J - , |
А\ = К, « 0,94 |
/С, = 0,47 |
V 2 J |
V9 |
|
|
Это действительные коэффициенты искажения. Так как в практике такие дробные числа неудобны, то применяются приведенные коэффици енты искажения: А'х = К, = 1; Arv = 0,5.
При этом изображение получается увеличенным в —— = 1,06 раза.
При указанном выше положении осей в пространстве их проекции изображаются так: ось - вертикально, между осями х' и угол 97° 10', т.е. ось х' располагается под углом 7° 10' к горизонтальной прямой, а ось у' под углом 41°25' к ней (рис. 252).
Прямоугольные аксонометрических проекций применяются в машиностроительных чертежах.
Рис. 251
Косоугольные проекции
У косоугольных проекций обычно две оси координат (д и : или д и у) располагаются параллельно картинной плоскости, по этому они изобра жаются без искажения. Для того чтобы получилось изображение всех грех измерений предмета, связанного с осями, направление проецирования вы бирается не под прямым углом. При уголе ф равном 45°, по третьей оси искажения не возникает, получается косоугольная изометрическая проек ция. Часто направление проецирования выбирается такое, чтобы коэффи циент искажения по третьей оси был равен 0,5, тогда получаются косо угольные диметричсские проекции.
Фронтальная изометрическая проекция. Координатные оси х и г располагаются параллельно картинной плоскости. Таким образом, фрон тальная плоскость проекций П2 будет параллельна картинной плоскости ГГ, поэтому такая аксонометрическая проекция называется фронтальной. Все, что расположено в плоскости П2 или в плоскостях ей параллельной, на плоскости ГГ изобразится без искажения. Коэффициенты искажения по всем осям будут равны единице. Аксонометрические оси (рис. 253) х' и z располагаются перпендикулярно друг другу, а ось у - под углом 45° к го ризонтальной прямой. Допускается применять фронтальные изометриче ские проекции с углом наклона оси у, равным 30 и 60°. Ось у' может быть обращена влево вниз, влево вверх и т.д., что соответствует различному на правлению проецирования и расположению плоскости проекций относи тельно осей координат.
Косоугольная фронтальная изометрическая проекция применяется в сан технических чертежах при изображенииаксономеарических схемтрубопроводов.
Z'
\ К30°(45°, 60°)
у'
Рис. 253 |
Рис. 254 |
Горизонтальная изометрическая проекция. Координатные оси х и у располагаются параллельно картинной плоскости. Горизонтальная плос кость проекций П|, определяемая этими осями, будет параллельна картин ной плоскости ГГ, поэтому аксонометрическая проекция называется гори зонтальной. Все, что расположено в плоскости 111 или в плоскостях ей па раллельных, на плоскости ГГ изображается без искажения. Коэффициенты искажения по всем осям принимаются равными единице.
Аксонометрические оси х и у располагаются под прямым углом друг к другу, а ось у - под углом в 30° к горизонтальной прямой (рис. 254). Допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси у' = 45 и 60°, сохраняя угол между осями х', у = 90°. В прак тике используется горизонтальная косоугольная изометрия с осями х и у', обращенными вверх от точки СУ В этом случае предметы изображаются при направлении проецирования снизу вверх.
Этот вид аксонометрии удобен при построении наглядного изображения застройки кварталов в инженерно-строительной практике, при решении вопро сов пространственной композиции жилых районов и архитектурных ансамблей.