книги / Начертательная геометрия

Эти же рассуждения сохраняются и при построении новой проекции точки на эпюре, полученном после совмещения плоскостей П1 и П4с плос­ костью П2. Вариант совмещения Ilj с П2 уже рассматривался выше. Со­ вмещение же П4с П2 осуществляется вращением ГЦ вокруг оси в любом направлении (выбор направления никак не влияет на результаты преобра­ зования). На рис. 111 представлены эпюры точки А, полученные переме­ щением плоскости П4в разных направлениях.

б)

Рис. 111

Анализируя рис. 110, можно сделать вывод, что в нашем примере ра­ венство аппликат у новой (А4) и старой (Л2) фронтальной проекции точки А, а также использование в обеих системах прямоугольного проецирования делают построение новой проекции на эпюре чрезвычайно простым. Оно состоит в том (см. рис. 1 1 1 ), что через старую горизонтальную проекцию точки {А\) проводят линию проекционной связи, перпендикулярную новой оси (xi), и откладывают на ней, от точки пересечения с осью, отрезок А4Ахь равный исходной координате ZA(A2Ax).

При замене горизонтальной плоскости проекций на новую (рис. 112 а) для двух систем остается постоянной плоскость П2 и, следовательно, коор­ дината у. Это постоянство координаты у лежит в основе построения эпюра (рис. 112 б).

При решении задач приходится менять либо одну из заданных плос­ костей проекций, либо последовательно обе, если заменой одной плоско­ сти не удается получить необходимого расположения проецируемого г.о. по отношению к новой плоскости проекций. Механизм такой двойной за­ мены плоскостей проекций показан на примере (рис. 113 а) построения проекций точки.

Здесь сначала плоскость проекций П2 заменяют плоскостью проек­ ций П4, а затем плоскость проекций П1 - плоскостью Щ т.е. последова­ тельно переходят от системы плоскостей проекций П1П2 к системе П1П4, а затем от системы плоскостей П1П4 к системе П4П5.

На эпюре (рис. 113 б) для построения новых проекций А4 и As ис­ пользуют неизменность отрезка А2АХ (координаты z) при переходе от сис­ темы П1П2 к системе П1П4и отрезка AiAxi при переходе от системы П1П4к системе П4П5. >

Следует отметить, что при введении новой плоскости проекций (а следовательно, и новой оси на эпюре) удаление последней от заданного г.о. (проекции г.о.) вцбирается произвольно, так как не влияет на конеч­ ный результат построений. Важную роль играет лишь расположение новой плоскости (оси) относительно г.о. (проекции г.о.).

Второе преобразование (замена) позволяет перевести плоскость

I (ААВС) из проецирующего положения в положение плоскости уровня. Для этого дополнительную плоскость проекций П5 вводят параллельно за­ данной плоскости, образуя при этом с плоскостью ГЦ ещё одну ортого­ нальную систему плоскостей проекций П4П5. В этой новой системе задан­ ная плоскость станет плоскостью уровня и спроецируется на П5 в нату­ ральную величину. На эпюре (рис. 117) строятся:

1) ось проекций *2 параллельно следу L4данной плоскости на П4; 2) линии проекционной связи из Л4, В4, С4перпендикулярно JC2;

3) с использованием соответствующих отрезков строится проекция А5В5С5 плоскости в виде натуральной плоской фигуры (вариант решения задачи на нахождение н.в. плоской фигуры, занимающей проецирующее положение).

Рис. 117

Следует помнить: преобразовать прямую общего положения в про­ ецирующую прямую (или плоскость общего положения в плоскость уров­ ня) одной заменой плоскости проекций невозможно. Это следует из того, что новая дополнительная плоскость проекций, перпендикулярная прямой общего положения (или параллельной плоскости общего положения), должна быть плоскостью общего положения, что нарушает ортогональ­ ность плоскостей проекций в новой системе.

В случае задания плоскости следами (рис. 118) для перевода ее из общего положения в проецирующее необходимо, чтобы один из заданных следов на эпюре стал перпендикулярен к оси Х\ новой ортогональной сис­ темы ЩГЦ. Тогда в этой системе плоскость займет проецирующее положе­ ние относительно ВЦ.

На рис. 118 ось х\ проведена перпендикулярно следу Гь В этом слу­ чае для определения направления нового следа Е4достаточно взять произ­ вольную точку Аг на следе £2 и указать ее проекцию на новой плоскости ГЦ в соответствиями с правилами построения, изложенными ранее. В новой системе П1П4 плоскость L (£ь £4) займет проецирующее положение отно­ сительно П4.

2. СПОСОБ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Сущность способа заключается в том, что все точки геометрического образа, меняющего свое положение в пространстве, перемещаются в плос­ костях, параллельных какой-нибудь из плоскостей проекций (рис. 119 а, б), траектория перемещения - произвольные линии (/, Г, /"....).

При параллельном переносе ортогональная проекция г.о. на плос­ кость, параллельно которой происходит перемещение его точек, сохраняет свои размеры и форму, изменяя лишь положение относительно оси проек­ ций (рис. 120) (справедливость этого утверждения при необходимости мо­ жет быть легко доказана). Проекции всех точек г.о. на другой плоскости

проекций перемещают по прямым линиям, параллельным оси проекций и

являющимся следами плоскостей перемещения.

Произвольный перенос одной из проекций в новое положение позво­ ляет избежать наложения проекций.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость и в плоскость уровня

Рис. 122 дает полное представление о геометрических построениях, выполненных в результате этих преобразований. Последовательность этих построений указана индексами - штрихами, поставленными у проекций

справа вверху и стрелками. Перемещение точек плоскости L (ААВС) вна­ чале производим в плоскостях Г, Г' ,Г", параллельных Щ (перевод во фронтльно-проецирующее положение), а затем в плоскостях Ф, Ф', Ф", па­ раллельных П2 (горизонтальное положение уровня).

При первом перемещении проекцию А \, В'и С\ располагаем так, чтобы проекция горизонтали плоскости hi стала перпендикулярна оси х. При втором перемещении след сделаем параллельным оси х.

3. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

Способ вращения состоит в том, что г.о. вращается в пространстве вокруг выбранной оси до требуемого положения относительно плоскостей проекций. Точки вращаемого предмета описывают в пространстве дуги окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, а центры этих окружностей располагаются на оси вращения в точках пере­ сечения оси с плоскостями. В качестве осей вращения можно применять либо проецирующие прямые, либо линии уровня.

Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции

Такое вращение является частным случаем параллельного переме­ щения, рассмотренного выше. Отличие состоит лишь в том, что за траек­ торию перемещения точек в плоскостях, параллельных плоскости проек­ ции, берется не произвольная линия, а окружность.

Проследим, как будет изменяться положение точки А при этом спо­ собе перемещения (рис. 123).

При вращении вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плос­ кости проекции Пь точка А (см. рис. 123 а) будет перемещаться по дуге окружности / в плоскости Г, параллельной Пь Эта окружность проециру­ ется на плоскость П1 без искажения, а на плоскость П2 в отрезок прямой, параллельной оси х (см. рис. 123 б).

Вращение точки вокруг оси, перпендикулярной фронтальной плос­ кости проекций (/ _1_П2), иллюстрирует рис. 124 а.

Здесь точка А перемещается в новое положение А\ по окружности, лежащей в плоскости Ф, перпендикулярной оси вращения i и параллель­ ной П2. В этом случае вращения фронтальная проекция точки А (А2) будет перемещаться по окружности с центром на фронтальной проекции оси вра­ щения, а горизонтальная —по прямой Ф1, параллельной оси х (рис. 124 б).

Выяснив характер перемещения проекций точки при вращении ее вокруг проецирующих прямых, можно осуществить перемещение проек­

ций любой геометрической фигуры при переводе ее из заданного положе­ ния в частное.