книги / Начертательная геометрия
..pdfПлоскости проекций делят пространство на восемь частей - октан тов. Октанты условно принято нумеровать, как показано на рис. 29.
Принято, что наблюдатель всегда находится в первом октанте. Плос кости проекций считаются непрозрачными, поэтому видимы только точки (геометрические фигуры), расположенные в I октанте, а также на полу плоскостях Пь П2, П3.
Пользоваться пространственным макетом для изображения проекций оригинала неудобно ввиду его громоздкости. Поэтому его реконструируют в эпюр Монжа - чертеж, составленный из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.
Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей Щ и П3 с фронтальной плоскостью проек ций П2.
Для совмещения плоскости П1 с П2 поворачиваем П1 на 90° вокруг оси х в направлении движения часовой стрелки (см. рис. 29).
Для совмещения П3 с П2 поворачиваем П3 вокруг оси z также на угол 90° в направлении, противоположном движению часовой стрелки. При по вороте будет перемещаться и ось у, которая распадается на две оси (yi и у3).
После совмещения плоскостей проекций пространственный макет примет вид, показанный на рис. 30.
Обычно не указывают обозначение полуплоскостей проекций и от рицательное направление осей. Тогда, в окончательном варианте, эпюр принимает вид, показанный на рис. 31.
|
- у |
|
п м п ,)1 |
П,[П,<П,)1 |
|
X; -у- |
0 |
-X : Уз |
|
П,1Пг(П3)]
- 2; У,
Рис. 30 |
Рис. 31 |
2. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ
Точка - одна из основных базовых понятий геометрии. Для отобра жения этого простейшего геометрического образа на плоскости целесооб разно понимать под точкой физический объект, имеющий линейные раз меры. При этом условно за точку принимают шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проек циях.
Для построения эпюра точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: «Проекция точки есть точка». Пусть даны в пространстве точка А и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 32). В данном случае и в дальнейшем для получения эпюра будем пользоваться первым октантом системы плоскостей. Спроецируем ортогонально точку А на три плоскости проекций. Для этого в соответствии с правилом проецирования через точку А проводим последовательно прямые линии, перпендикулярные к Пь П2, П3- проецирующие лучи. В точках пересечения этих лучей с плоскостями проекций получаем ортогональные проекции точки А. Назовем их: А\ - горизонтальная проекция, А2 - фронтальная проекция, А3 - профильная проекция. Каждая пара из трех проецирующих лучей (АА i, АА2, АА3) опре деляет плоскость, перпендикулярную к двум плоскостям и к оси проекций. Эти плоскости (Е, Е', Е"), называемые проецирующими, пересекаются с плоскостями проекций по двум взаимно перпендикулярным прямым, имеющим общие точки на осях проекций (соответственно Ах, Ay, Az).
Для получения эпюра точки А преобразуем пространственный макет, изображенный на рис. 32, по схеме, предложенной выше.
На эпюре (рис. 33) проекции точки будут располагаться на прямых, перпендикулярных к осям проекций и проходящих через точки Ах, AY, Az.
Эти прямые, являющиеся проекциями соответствующих проецирующих лучей, называют линиями проекционной связи.
Горизонтальная (/Г) и фронтальная (А2) проекции будут распола гаться на общей вертикальной линии связи, а фронтальная и профильная (Аз) на общей горизонтальной линии. Для связи горизонтальной и про фильной проекций можно воспользоваться дугой окружности, проводимой из точки 0; также можно на горизонтальной линии связи отложить от оси z вправо отрезок AZA3, равный AxAi.
Прямоугольные координаты точки
Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций ана логична декартовой системе координатных плоскостей. При этом оси про екций соответствуют осям координат с началом в точке 0: ось х - оси абцисс, ось у - оси ординат, ось z - оси аппликат.
Исходя из этого, положение точки в пространстве может быть опре делено тремя координатами: х, у, z.
Координата точки - число, выражаю щее величину расстояния от точки до соответствующей плоскости проек ций.
Анализируя |
эпюр (рис. 34), |
■Уз |
можно отметить, что каждая из проек |
||
ций точки А определяется двумя коор |
|
|
динатами этой точки: А\ - х и у, А2 - х |
|
|
иг, Аз- y u z . |
|
|
Из этого следует, что положение |
|
|
точки в пространстве вполне опреде |
|
|
ляется положением |
ее двух ортого |
|
нальных проекций. |
|
|
Точка в октантах пространства
На рис. 29 было показано, что плоскости координат в своем пересе чении образуют восемь трехгранных углов - восемь октантов.
Зная положительное и отрицательное направление осей, по коорди натам точки можно также определить, в каком октанте расположена точка:
Октанты |
Знаки координат |
Октанты |
X |
Знаки координат |
Z |
|||
X |
у |
Z |
у |
|||||
I |
V |
|||||||
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
+ |
|||
II |
+ |
- |
+ |
VI |
- |
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
III |
+ |
- |
- |
VII |
- |
- |
- |
|
IV |
+ |
+ |
- |
VIII |
- |
+ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
На рис. 35а, показаны точки А, В, С, расположенные в разных октан тах, и их эпюры (рис. 35 б), соответствующие этому расположению.
Безосный чертеж
Большинство задач начертательной геометрии решают, не устанав ливая метрической связи с плоскостями проекций. Вследствие этого по
|
строения на чертенке можно выполнять в безосной системе |
||
о А г |
плоскостей проекций, т.е. без указания положения осей |
||
|
(рис. 36). Имея такой чертеж, можно, при необходимости, |
||
|
всегда ввести оси и тем самым задать расстояние от точки |
||
|
до условно выбранных плоскостей III и П* Иными словами, |
||
|
для безосного чертежа (эпюра) плоскости проекций прини |
||
|
маются неопределенными, т.е. могут перемещаться парал |
||
|
лельно самим |
себе. |
|
6 А1 |
Механизм такого пере |
||
мещения иллюстрирует |
|||
Рис. 36 |
рис. 37. |
|
|
Перенесение |
оси |
||
|
|||
на чертеже вверх или вниз соответст вует параллельному переносу в про странстве двугранного угла П1П2 в но вое положение (П^П'г) в направлении биссекторной плоскости 0. Биссекторной называют плоскость, прохо дящую через ось проекций и делящую двугранный угол пополам.
На эпюре такому параллельному переносу двугранного угла соответ ствует перемещение начала координат - точки 0 по постоянной чертежа к, которая является следом биссекторной плоскости (рис. 38).
Рис. 39 демонстрирует построение на безосном чертеже профильной проекции точки А по заданным горизонтальной и фронтальной ее проекци ям.
Построение выполнено с помощью постоянной чертежа к, проведен ной в случайном месте чертежа под углом 45° к направлению линии связи
АгА\.
Рис. 39
Конкурирующие точки
Геометрические образы могут быть взаимно расположены таким об разом, что некоторые из них (или отдельные их части) будут закрыты от наблюдателя.
Построение гранйцы видимости образов на чертеже выполняются на основании выявления и анализа конкурирующих точек.
Конкурирующими называют точки, лежащие на одном проецирую щем Луче.
Для определения видимости конкурирующих точек рассуждают сле дующим образом (рис. 40). Точки А и В лежат на общем горизонтально - проецирующем луче, т.е. их горизонтальные проекции совпадают. Точка А выше точки В и расположена ближе наблюдателю (г.о. всегда находится между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций). Следова тельно, она будет видна, а точка В закрыта ею. Из двух совпадающих про екций А\ и В\ проекцию В\ невидимой точки В заключают в скобки.
На П2 точки А и В проецируются разными лучами, поэтому фрон тальные проекции их не совпадают. Обе точки относительно П2 видны.
На эпюре (рис. 41) вопрос видимости точек А и В относительно Пь принимая во внимание вышеуказанные рассуждения, решают по удалению их фронтальных проекций (Л2 и В2) от оси х.
Фронтальная проекция точки А2 расположена от оси дальше, чем проекция В2, следовательно, горизонтальную проекцию В\ точки В заклю чаем в скобки.
Рис. 40 |
Рис. 41 |
Аналогично рассуждают, определяя видимость конкурирующих то чек и относительно других плоскостей проекций (рис. 42).
На рис. 42 показаны фронтально-конкурирующие точки С и D, а так же профильно-конкурирующие точки Е и F.
C ftth)
х ■у
Уо<
О,х>УУс
3. ПРОЕКЦИИ ПРЯМЫХ л и н и й
Наряду с точкой, прямая линия является одним из исходных понятий в геометрии. Прямая является простейшей из линий (более подробно ли нии будут рассмотрены в разделе V), которой в начертательной геометрии отводится важная роль при решении инженерных задач.
Аналитически прямую в пространстве можно задать разными спосо бами. Например, как уравнение прямой, полученной при пересечении двух
плоскостей: |
Ахх + Вху + C\Z + D\ = О |
|
|
А2Х + В2У + C2Z + Z)2= О |
|
Другим, более удобным, является уравнение прямой, проходящей |
||
через две заданные точки Mi (*i yi Zi) и M2(х2 у2Z2) |
||
|
_ |
У~Ух _ Z~Z\ |
|
* 2 - * 1 |
У2 - У 1 Z2 - Z X |
Если рассматривать прямую на плоскости, то общим уравнением ее будет: Ах + By + С = 0.
При построении эпюра прямой следует использовать третье свойство проецирования: «Проекция прямой есть прямая». Другими словами, для определения проекции прямой достаточно задать проекции двух не тожде ственных точек, принадлежащих этой прямой.
Рис. 43
Пусть прямая I проходит через две точки А и В (рис. 43 а). На эпюре этой прямой (рис. 43 б) разность расстояний точек В и А прямой до гори зонтальной плоскости проекций П] определяется величиной ZB - ZA, равной разности аппликат точек В и А. Разность расстояний точек В и А до фрон тальной плоскости проекций П2 определяется разностью ординат ув - З'а- И, наконец, разность расстояний точек А и В до профильной плоскости проекций П3определяется величиной разности абсцисс хА - *в.
Прямая линия общего положения
Такая прямая занимает в системе плоскостей проекций произвольное положение (углы наклона прямой к плоскостям Пь П2, Пз - отличные от О
и 90°). Для этой прямой: |
ZB - ZA Ф0 |
|
|
Ув -Уа ФО |
(I) |
|
*а- * в ^ 0 |
|
На эпюре прямой общего положения (см. рис.43 б) нет натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций.
Частные случаи расположения прямой
Прямая линия, кроме произвольного, может занимать следующие положения относительно плоскостей проекций:
параллельное одной из плоскостей проекций (прямые уровня); перпендикулярное какой-нибудь плоскости проекций (проецирую
щие прямые).
Прямые уровня
Прямые линии, параллельные (но не перпендикулярные) плоскостям проекций, называют линиями уровня. Таких линий три:
-горизонталь - прямая параллельная Пь
-фронталь - прямая параллельная П2,
-профильная прямая, параллельная П3.
а)
Рис. 44
Если в условии (I) будем иметь: ZB~ZA = 0, то прямая I преобразуется в горизонталь h (рис. 44 а). Особенностью эпюра горизонтали (рис. 44 б) является то, что ее фронтальная проекция (/г2) параллельна оси х, а гори зонтальная проекция (h\) составляет с осью х угол Р, равный углу наклона самой прямой к плоскости проекций П2. Горизонтальная проекция А\В\ от
резка прямой h определяет длину этого отрезка. Эта же проекция выявляет угол (у) наклона прямой к профильной плоскости проекций П3.
Если в условии (I) ув —Уа = 0, то прямая / преобразуется во фронталь /(рис. 45 а). На эпюре фронтали (рис. 45 б) ее горизонтальная проекция (/!) параллельна направлению оси проекций. Фронтальная проекция (f2) со ставляет с направлением оси х угол а, равный углу наклона самой прямой к горизонтальной плоскости проекций Пь а с направлением оси z - угол у, равный углу наклона прямой к П3. Фронтальная проекция (А2В2) отрезка прямой/определяет длину этого отрезка (см. рис. 45 б).
б)
Аналогично, если в условии (I) ха - *в = 0, то прямая I преобразуется в профильную прямую р (рис. 46 а, б). Особенность проекций профильной прямой (см. рис. 46 б): отрезок прямой проецируется без искажения на профильную плоскость проекций Л353. Здесь же видна натуральная вели чина углов его наклона а и р . Проекции р\ и р2 прямой располагаются на одной линии связи.
а)
Проецирующие прямые
Прямые линии, перпендикулярные плоскостям проекций, называют проецирующими. Различают следующие проецирующие прямые:
горизонтально-проецирующая, перпендикулярная Пь фронтально-проецирующая, перпендикулярная П2; профильно-проецирующая, перпендикулярная П3.
Проецирующие прямые в тоже время параллельны двум координат ным плоскостям проекций.
Если в условии (I) для прямой общего положения I ввести *А- *в = О и ув - Уа = 0, то она преобразуется в горизонтально-проецирующую пря мую (рис. 47). Фронтальная и профильная проекция отрезка этой прямой А2В2 определяет его натуральную длину, а горизонтальная проекция А\В\ преобразуется в точку. Эта прямая одновременно является фронтальной и профильной прямой.
12=(А2)^В2
О
h
<?В2
х
X
О*1 н.6.
h
Рис. 47 |
Рис. 4о |
Если в условии (I) примем хк - хъ = 0 и ZB - ZA = 0, то прямая I пре образуется во фронтально-проецирующую прямую (рис. 48). Здесь гори зонтальная (профильная) проек ция А\В\ определяет длину от резка АВ прямой I, а фронтальная проекция преобразуется в точку.
Эта прямая является одновре менно горизонтальной и про фильной прямой.
И, наконец, если в условии (I)
ZB - Z A = 0 и Ув - Уа = О,
то прямая I преобразуется в про- фильно-проецирующую прямую (рис. 49). Горизонтальная и