книги / Начертательная геометрия

Вращение отрезка прямой, до положения линии уровня и проецирующего положения

При выполнении вращения ось можно проводить либо в произволь­ ном месте, либо через одну из точек прямой. В последнем случае решение задачи облегчается, так как будет достаточно переместить лишь одну точ­ ку прямой, не лежащую на оси вращения.

Первое вращение. В зависимости от выбора оси вращения (_L П2 или 1 П[) прямую общего положения можно перевести соответственно в по­ ложение фронтали или горизонтали.

На рис. 125 показаны построения, выполненные при перемещении отрезка АВ общего положения, в положение, параллельное П2. Ось враще­ ния в этом случае будет перпендикулярна П]. Проведем ее через точку В. На эпюре горизонтальная проекция точки А\ перемещается по дуге в по­ ложение А'1 так, чтобы А'\В\ была параллельна оси проекций х. При этом фронтальная проекция А2 переместится по следу горизонтальной плоско­ сти уровня и займет положение в точке пересечения следа Г2 и линии свя­ зи, восстановленной из А\. Соединив А'2 и В'2, получим фронтальную проекцию фронтали АВ.

Второе вращение. Вращение фронтали {ВА') при переводе ее в поло­ жение горизонтально-проецирующей прямой осуществляется вокруг фронтально-проецирующей оси проходящей через точку А'

На эпюре (см. рис. 125) фронтальная проекция оси вращения i 2 сов­ падет с проекциями А'2 и А"2. Новое положение проекции В 2 получим, повернув В'2 вокруг /'2 до положения отрезка А"2В"2, перпендикулярного оси х. Горизонтальная проекция точки В переместится по следу Ф) и зай­ мет новое положение В"\, совпадающее с А\ и А”\.

Вращение плоскости общего положения до проецирующего и положения плоскости уровня

На рис. 126 плоскость общего положения L задана ААВС. В том случае, когда требуется определить истинную величину плоской фигуры, заданной в общем положении, необходимо осуществить два последова­ тельных вращения вокруг осей, перпендикулярных вначале одной плоско­ сти проекций, а затем другой. Предварительно в плоскости Е проводится горизонталь А, и плоскость вращается вокруг оси / ± П) до тех пор, пока горизонталь не будет перпендикулярна плоскости П2. Тогда плоскость об­ щего положения станет фронтально-проецирующей (см.раздел. II. 4). Вто­ рое вращение плоскости £ осуществляется вокруг оси i' _L П2 до положе­ ния, параллельного плоскости П). В результате этого вращения фронталь-

но-проецирующая плоскость £'(дА'В'С) станет горизонтальной плоско­

стью уровня и спроецируется на П! в натуральную величину {АА"\В"\С"\).

Рис. 126

Вращение вокруг линии уровня

Этот способ является эффективным приемом, упрощающим решение задач на определение натуральной величины плоской фигуры. Путем вра­ щения вокруг линии уровня можно повернуть плоскость до положения, параллельного плоскости проекции.

При таком повороте каждая точка г.о. перемещается по окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Центр ок­ ружности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса враще­ ния равна расстоянию от точки до оси вращения.

Если за ось вращения взята горизонталь (рис. 127 а), то окружность, по которой движется точка, будет проецироваться на П| в отрезок прямой, перпендикулярной горизонтальной проекции оси (h\). На плоскости П2 ок­ ружность проецируется в эллипс, построение которого можно не выпол­ нять.

Анализируя рис. 127 а, можно прокомментировать построения, вы­ полняемые на плоскости П(, при перемещении т. А по окружности, плос­ кость которой перпендикулярна оси вращения (/г). Здесь сначала необхо­ димо найти положение центра вращения и определить натуральную вели­ чину радиуса вращения. Проекция 0\ центра вращения находится в точке пересечения проекции оси вращения h\ с горизонтальным следом плоско-

сти Г,. Для нахождения величины радиуса вращения используется способ треугольника. Строим на плоскости П| прямоугольный треугольник, один катет которого - проекция радиуса г - 0\Аь а другой - разница аппликаты концов отрезка ОА. Гипотенуза 0\Ао будет натуральной величиной г.

Новое, после поворота, положение точки А (А'\) будет находиться на следе плоскости £| в месте, удаленном от точки 0\ на величину натурального ра­ диуса г-0\Ац.

Полный эпюр точки А, переме­ щающейся вокруг горизонтали h в поло­ жение Л', показан на рис. 127 б.

Аналогично (рис. 128), если за ось вращения выбрана фронталь, то траекто­ рия перемещения точки будет проециро­ ваться на П2 в виде отрезка прямой, пер­ пендикулярной фронтальной проекции фронтали. Эта прямая есть след плоско­ сти вращения £2- Центр вращения О(О1Д2) находится как точка пересечения £2 с фронтальной проекцией фронтали / 2.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми (рис. 131).

Заданы параллельные прямые общего положения а и Ь. Расстояние между параллельными прямыми определяется перпендикуляром, прове­ денным из произвольной точки, взятой на одной прямой, к другой прямой. Для построения проекций этого перпендикуляра следует заданные парал­ лельные прямые а и b проецированием на дополнительную плоскость про­ екций П4 преобразовать в прямые уровня. Для определения н.в. перпенди­ куляра выполняется вторая замена плоскости проекций так, чтобы перпен­ дикуляр преобразовать в линию уровня.

На рис. 131 плоскость П4 выбирается параллельно прямым а и b и перпендикулярно П|, т.е. дг| II а\\ Х\ II Ь\. Строятся проекции параллельных прямых а4 и Ь4, которые в новой системе плоскостей стали прямыми уров­ ня относительно П4и изображаются на П4в натуральную величину.

На проекции прямой а4 выбирается произвольная точка N4, из кото­ рой проводится проекция перпендикуляра N4M4 к Ь4. Строятся горизон­ тальная и фронтальная проекции перпендикуляра N\M\ и М2Л^. Для опре­ деления н.в. отрезка перпендикуляра MN вводится дополнительная плос­ кость проекций П5 параллельно NM и перпендикулярно П4. На плоскости проекций П5 проекция отрезка перпендикуляра M5N5 равна длине самого отрезка. Таким образом, расстояние между параллельными прямыми а и b равно отрезку перпендикуляра MN, натуральная величина которого изо­ бражена на П5 и равна IM5/V5I.

Задана L (ААВС) - плос­ кость общего положения.

Определить натуральную

величину а АВС м ож но при по­ вороте его вокруг горизонтали данной плоскости. Причем, ко­ гда плоскость треугольника бу­ дет параллельна Пи расстояние от каждой перемещающейся вершины до оси вращения, рав­ ное радиусу вращения данной точки, на П1 проецируется без искажения.

При повороте плоскости в новое положение вокруг гори­ зонтали h будут перемещаться только две вершины (А и В) тре­ угольника, которым и задана

плоскость L (ААВС). Вершина С Рис 132 остается неподвижной, так как

принадлежит оси вращения. Необходимые геометрические построения на эпюре выполняют в

следующей последовательности:

1)строят проекции горизонтали CD в данной плоскости;

2)находят центры вращения точек А и В, для чего проводят прямые, перпендикулярные C\D\, по которым будут перемещаться горизонтальные проекции вращающихся точек. Пересечение прямых с осью даст 0\, 0\ (в данном примере центр 0\ можно не использовать);

3)строят проекции радиуса вращения точки А - отрезки Л]0, и А202;

4)определяют натуральную величину радиуса вращения гА, вращая отрезок ОА вокруг оси, проходящей через точку 0 и перпендикулярной П2\

5)отрезок гАоткладывают от точки 0\ вдоль той прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;

6)через полученную точку A°t и неподвижную D\ проводят прямую

до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проек­ ция вершины В\

7) соединяя найденные точки A°h В°\ друг с другом и с неподвижной вершиной Ci, получают новую горизонтальную проекцию треугольника,

которая определяет натуральную величину а АВС. Фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую, совпадающую с C2D2.

Задача 4. Определить расстояние от точки до плоскости общего по­ ложения способом плоскопараллельного перемещения (рис. 133).

Плоскость общего положения необходимо преобразовать в проеци­ рующую плоскость. В этом случае искомое расстояние будет проекцией перпендикуляра, опущенного из заданной точки на след плоскости.

Заданную плоскость Е (ААВС) преобразуют во фронтальнопроецирующую плоскость, при этом перпендикуляр SD к плоскости будет фронталью (/).

При перемещении (см. рис. 133) горизонтальная проекция плоскости займет новое положение, при котором ее горизонталь станет перпендику­

точек А', В', и С (точка S' строится с помощью циркуля на пересечении дуг радиусом l^iSil = I2?'I«S'I| и |CiSil = IC'iS'il.

Положение точки S'г (как и других точек А'2, В'2, С'2) определяют по линии проекционной связи на следе Г"'2 (Г, Г', Г"), соответствующей плос­ кости уровня, в которой она перемещается.

Далее строят/2 J_ A'2B'2C'2,f\ II х и находят проекции (D'2, D\) осно­ вания перпендикуляра.

Выполняя «обратное» плоскопараллельное перемещение, строят S\Di (применяя засечки для нахождения D\) и S2D2.