книги / Начертательная геометрия
..pdf
(см. рис. 5). Любая точка пространства имеет одну вполне определенную проекцию, так как через точку можно провести параллельно вектору s один проецирующий луч, который пересекает плоскость ГГ в единственной точке А'
Параллельной проекцией какой-либо точки пространства назьщается точка пересечения проецирующего луча, параллельного направлению про ецирования, с плоскостью проекций.
Множество проецирующих лучей, проходящих через точки кривой линии к, образуют цилиндрическую поверхность, поэтому параллельное проецирование именуют цилиндрическим (рис. 6).
В
Рис. 5 |
Рис. 6 |
В зависимости от угла наклона проецирующего луча к плоскости проекций параллельные проекции делятся на косоугольные, если угол от личен от прямого (рис. 7), и прямоугольные, если проецирующий луч пер пендикулярен плоскости проекции (рис. 8).
Прямоугольные проекции называют также ортогональными (от гре ческого слова «ортос» - прямой).
б 'Ь'Ф 90°
Рис. 7 |
Рис. 8 |
Геометрические образы проецируются на плоскость проекций в об щем случае с искажением. При этом характер искажения проекции по сравнению с оригиналом зависит от аппарата проецирования и положения проецируемого предмета относительно плоскости проекций. В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристи ки.
Наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует опре деленная связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции.
Такие свойства принято называть проективными или инвариантными (независимыми) для данного способа проецирования.
Общие свойства центрального и параллельного проецирования
Свойство 1. Проекция точки есть точка.
Это свойство следует из самого способа построения проекции точки.
Свойство 2. Проекция кривой линии есть кривая линия. Действительно, проецирующие коническая (см. рис. 4) или цилинд
рическая (см. рис. 6) поверхности, проходящие через данную кривую, пе ресекаются с плоскостью проекций по кривой линии.
Свойство 3. Проекция прямой есть прямая (рир. 9). Проецирующие лучи образуют проецирующие плоскости
L (SA П SB) и 0 (АЛ'Н ВВ1). Две плоскости пересекаются по прямой линии: 1 П П ' = ,4'Л'и 0 П П' = А'В'. Следовательно, А'В'- прямая.
Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух ее точек и соединить их.
Рис. 9 |
Рис. 10 |
Свойство 6. Точка пересечения линий проецируется в точку пере сечения проекций этих линий (рис. 14).
Свойство 7. Прямая, касательная к кривой линии, проецируется в касательную к проекции данной кривой (рис. 15).
Свойства параллельного (в том числе ортогонального) проецирования
Свойство 8. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 16). Плоскости L и 0 параллельны. Линии пересечения их третьей плос
костью П' также параллельны, т.е. а' || Ь'.
Свойство 9. Отношение отрезков, принадлежащих параллельным прямым или одной прямой, равно отношению проекций этих отрезков.
Доказательство для двух параллельных прямых (см. рис. 16)
Проводятся [АЕ] II [А'В'] и [CF] II [C'D']. Из подобия LABE и LCDF
следует: |
|
|
|
|
|
М |
=И |
атак как |
= | Ащ и |СЛ = | C'D'\, T O j M |
^ i ^ |
|
[Д£] |
[CF]’ |
1 |
1 1 |
1 [А'В'] |
[CD'} |
что и требовалось доказать.
Доказательство для одной прямой (рис. 17).
Известно, что длины отрезков двух прямых АС и А'С, заключенных между параллельными прямыми АА’IIВВ' || СС, пропорциональны. Значит,
[а в ] [д с ]
[А'В] IВС]
Свойство 10. Любой отрезок прямой, параллельной плоскости про екций, проецируется на эту плоскость без искажения (рис. 18).
АВВ'А' - параллелограмм, так как (АА') || (ВВ') и \АА'\ = \ВВ'\, то и
(АВ) II (А'В') и \АВ\ = \А'В'\.
Свойство 11. При параллельном переносе плоскости проекций вели чина проекций не меняется (рис. 19).
А'В'В"А" - параллелограмм, так как [А'А"] II [В1В”] и [А'В’] || [А"Л"], то | А'В'\ = | А"В"1.
Свойства ортогонального проецирования
Свойство 12. Отрезок прямой в общем случае равен гипотенузе пря моугольного треугольника, у которого один катет равен его проекции на данную плоскость проекций, а другой - разности расстояний концов от резка от этой плоскости (рис. 20).
Из чертежа модели (см. рис. 20) видно, что длину отрезка прямой АВ можно определить из прямоугольного треугольника ABAQ, в котором катет
\АД\ = \А'В'\ (проекции отрезков АВ на плоскость П'), а катет AAQравен AZ - разности расстояний точек А и В от плоскости П\ Угол ф в том же тре угольнике определяет угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости проек ций.
Свойство 13. Любая плоская фигура, параллельная плоскости про екций, проецируется на эту плоскость без искажения (рис. 21).
Если треугольник ЛВС параллелен плоскости проекций П', то на ос новании свойства 10 проекции сторон равны самим сторонам треугольни
ка, т.е. АА'В'С = ААВС.
Рис. 20 |
Рис. 21 |
Свойство 14. Проекция любого г.о. не может быть больше самой фигуры. Это свойство вытекает из свойств 10,12,13.
Свойство 15 (известно как теорема о проецировании прямого угла). Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а
другая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 22).
Дано: Z АВС * 90°, ВС || П', АВ IT. Доказать, что Z Л'В'С = 90°. Доказательство: прямая АВ заключается в проецирующую плос
кость Г (АВВ'А'). Так как ВС _1_АВ, то ВС _L Е. Но ВС || П', значит ВС II В'С. А так как ВС -L £, то и B'C'l L, поэтому В'С перпендикулярна любой пря мой плоскости Е, в том числе и А'В'. Следовательно, угол А'В'С равен 90°.
5. ОБРАТИМОСТЬ ПРОЕКЦИОНЫХ ЧЕРТЕЖЕЙ
Выше I пиводились рисунки - модели однопроекционных чертежей, где проецирование выполнялось на одну плоскость проекций. Был сде лан важный вывод о том, что точка А пространства имеет одну вполне оп ределенную проекцию А\ (рис. 23) - прямая задача н.г.
Обратная задача - определение положения точки по заданной проек ции - однозначно не решается, так как не известно, на каком расстоянии находится искомая точка от плоско сти проекций. Проекции В\ может соответствовать любая точка В, В', ..., Вппространства (см.рис.23).
По одной проекции окружности нельзя определить, какой г.о. спрое цирован на П]. Это может быть сфера, конус, цилиндр и некоторые другие поверхности (см. рис. 23). Одна проекция не определяет форму и положе ние г.о. в пространстве. Необходима дополнительная информация, чтобы чертеж был обратимым, т.е. однозначно определял форму и размер пред мета по чертежу.
Взависимости от способа дополнения однопроекционного чертежа существуют следующие методы:
- ортогональные проекции (метод Монжа); - проекции с числовыми отметками; - аксонометрические проекции; - перспективные проекции.
Вметоде Монжа дополнением однопроекционного чертежа является проекция на вторую плоскость (рис. 24, 25). Более подробно этот метод из ложен в разделе II.
Рис. 24 |
Рис. 25 |
В проекциях с числовыми отметками одну ортогональную проек цию точки дополняет числовая отметка, указывающая расстояние от точки до плоскости проекций (рис. 26).
На чертеже обязательно приводится линейный масштаб, который вместе с числовой от меткой позволяет сделать чертеж обратимым.
Проекции с числовыми от метками применяются в инженер но-строительном деле или при изображении объектов, у которых высота невелика по сравнению с длиной и шириной.
Обратимость аксонометрических проекций (рис. 27) и перспектив ных проекций (рис. 28) достигается благодаря так называемым вторичным проекциям (А\) точек пространства. Более полные сведения об аксономет рических проекциях приведены в разделе IX.
А'< ГГ
ТГПТттттгг. Р лтгтгШТТ
Ait
Рис. 27 |
Рис. 28 |
II. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ. ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
1.МЕТОД МОНЖА. ОКТАНТЫ ПРОСТРАНСТВА
Из всех методов проецирования ортогональное нашло наиболее ши рокое применение в инженерной практике в силу ряда своих преимуществ. Наиболее важным из них является возможность при определенных услови ях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. При этом при получении ортогонального чертежа, обладающего полной обра тимостью, необходимо иметь, как было отмечено ранее, по крайней мере, две связанные между собой ортогональные проекции оригинала.
Наиболее удобной для фиксирования положения геометрического образа в пространстве и выявления его формы по ортогональным проекци ям является система из трех взаимно перпендикулярных плоскостей про екций. Такой плоскостной макет представлен на рис. 29. При этом разли чают: П1 - горизонтальная плоскость проекций; П2 - фронтальная плос кость проекций; П3- профильная плоскость проекций.
Плоскости проекций пересекаются по трем взаимно перпендикуляр ным прямым, которые называются осями проекций (дс, у, г). Оси проекций пересекаются в общей точке трех плоскостей проекций - точке 0.
В большинстве европейских стран принята система расположения плоскостей проекций, при которой положительными направлениями осей считают: для оси х - влево от точки 0, для оси у - в сторону зрителя (впе ред) от плоскости П2, для z - вверх от плоскости П»; противоположные направления осей считают отрицательными.