книги / Начертательная геометрия

Если окружность принадлежит плоскости общего положения, то ортогональными проекциями ее являются эллипсы. Большая ось эллипса равна и параллельна тому диаметру окружности, который параллелен дан­ ной плоскости проекций. Малая ось эллипса равна проекции диаметра ок­ ружности, являющегося линией наибольшего ската плоскости этой окруж­ ности.

Пусть окружность лежит в плоскости общего положения, заданной горизонталью и фронталью: Е (И П /), точка пересечения которых прини­ мается за центр окружности 0 (рис. 151). Диаметр окружности 12 совпада­ ет с горизонталью, а диаметр 34 совпадает с фронталью. На горизонталь­ ной плоскости проекций большая ось эллипса совпадает с проекцией гори­ зонтали \\2\. Малую ось эллипса 5|6| определяют с помощью дополни­ тельной плоскости проекций П4, перпендикулярной заданной плоскости Е.

На П4 окружность проецируется в отрезок, равный диаметру. В системе плоскостей П]П4 решаем ранее рассмотренную задачу построения эллипса как проекции окружности, лежащей в проецирующей плоскости. Анало­ гично можно построить большую и малую оси эллипса - фронтальной проекции Окружности. Однако здесь приведен другой способ построения эллипса. На фронтальной плоскости проекщ :й большая ось эллипса совпа­ дает с направлением фронтали плоскости и равна диаметру 34 окружности. Для построения малой оси эллипса проводят окружность с диаметром, равным большой оси эллипса. Через точку \ 2 перпендикулярно большой оси строят соответственно полухорды \2Е2 и Е2К2 эллипса и окружности. Полухорду Е2К2 вращением вокруг точки Е2 совмещают с большой осью.

На рис. 153 показано построение гиперболы по точкам, если извест­ ны величины ее полуосей а и Ь. Из точки О, как из центра, проводят ок­ ружность радиусом С. Окружность пересекает ось х в точках F\ и F2, яв­ ляющихся фокусами гиперболы. Из фокусов, как из центров, проводят ду­ ги окружностей соответственно радиусами г и 2а + г. Точки их пересече­ ния являются точками гиперболы, так как разность расстояний то каждой точки до фокусов равна 2а и есть величина постоянная. Изменяя г и повто­ ряя построения, находят новые точки гиперболы.

Парабола - это геометрическое место точек равноудаленных от фик­ сированной точки (фокуса) и от заданной прямой (директрисы).

На рис. 154 точка F есть фокус параболы, а прямая АВ, перпендику­ лярная оси х, - ее директриса. Ось х совпадает с осью симметрии парабо­ лы, точка О является вершиной параболы. Расстояние от фокуса до верши­

равна расстоянию от фокуса до директрисы или половине хорды, прохо­ дящей через фокус перпендикулярно оси х.

Каноническое уравнение параболы: у2 = 2рх, где р = FD. Любая точ­

ка М плоскости принадлежит параболе, если \MF\ = \MG\.

Касательная t и нормаль п к параболе являются биссектрисами углов между фокальным радиусом-вектором точки параболы и диаметром, про­ ходящим через эту же точку. Под диаметром d параболы понимают пря­ мую, параллельную оси параболы. На рис. 155 показан способ построения параболы, если известна ее вершина - точка О и одна из точек - точка М. Соединив вершину О с точкой М, определяют разности координат Ах и Ду между этими точками. Расстояния Ах и Ду делят на одинаковое количество равных частей, точки деления обозначают. Через точки деления с одинако­ выми номерами проводят линии построения, на пересечении которых оп­ ределяют искомые точки параболы.

На рис. 157 построена гелиса заданного радиуса г, правого направ­ ления и с шагом, равным высоте цилиндра. Для построения проекций та­ кой линии длина окружности (горизонтальная проекция цилиндра) и высо­ та прямоугольника (фронтальная проекция цилиндра) делятся на 12 рав­ ных частей. Через точки деления окружности проводят вертикальные ли­ нии связи.

На фронтальной плоскости проекций через точки деления прямо­ угольника проводят прямые, параллельные основанию. Точки пересечения линий связи с соответствующей горизонтальной прямой определяют фронтальную проекцию цилиндрической винтовой линии. На видимой части цилиндра гелиса будет видимой, на невидимой - нет. Направление винтовой линии на чертеже определяет стрелка, поставленная на горизон­ тальной проекции. Итак, горизонтальная проекция винтовой линии есть окружность, а фронтальная - синусоида.

При построении развертки цилиндрическая поверхность развертыва­ ется в прямоугольник со сторонами, равными длине окружности основа­ ния и высоте цилиндра. Винтовая линия на развертке преобразуется в пря­ мую - диагональ прямоугольника, так как для каждой точки этой прямой существует пропорциональная зависимость между отрезками длины ок­ ружности и высоты цилиндра.

VI. ПОВЕРХНОСТИ

В существующем мире нас окружает неограниченное количество разнообразных поверхностей. Некоторые могут быть математически опи­ саны, некоторые настолько сложны, что не поддаются математическому

описанию.

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное мно­ жество точек, если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=О, где F{xyy,z) - многочлен п-й степени, или в форме какой-либо трансцен­ дентной функции. В первом случае поверхности называются алгебраиче­ скими, во втором - трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением п-й сте­ пени, то поверхность считается п-ого порядка.

Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся илй мни­ мой), какой имеет сама поверхность.

Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, считая все точки (действительные й мнимые).

1.ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Вначертательной геометрии геометрические фигуры задаются гра­ фически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокуп­ ность последовательных положений линии а. перемещающейся в про­ странстве по определенному закону.

Закон перемещения линии а целесообразно задать в виде семейства линий т, п, I. Любую из ли­ ний т, п, I можно заменить описательными усло­ виями, задающими закон перемещения линии а.

Подвижная лиция а называется образующей, неподвижные линии m, п, I - направляющими (рис. 158).

Рассмотренный способ образования поверх­ ностей называется кинематическим.

Каркас поверхности - множество точек или линий, определяющих поверхность. На рис. 159 показан каркас поверхности, состоящий из двух семейств линий а\, а2, аз,... а п и Ь\, Ь2, Ь3,...ЬП.

т

Определителем поверхности называется совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. В определитель включается геометрическая часть и алгоритмическая.

Ф (Г)[Д] - форма записи определителя, где Ф - обозначение поверх­ ности; (Г) - геометрическая часть определителя - геометрические элемен­ ты, заданные на чертеже; [Л] - алгоритмическая часть определителя - по­ казывает характер изменения формы образующей а и закон ее перемеще­ ния.

На рис. 160 показана поверхность прямого кругового цилиндра Ф (а, т) [(а II т, каждая точка прямой вращается вокруг оси т]. Длинную запись алгоритмической части иногда заменяют названием поверхности. Пишут: поверхность вращения Ф (а, т).

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилинд­ рической поверхности, которая огибает заданную поверхность.

Рис. 161 дает наглядное представление о том, как получается очерк произвольной замкнутой поверхности на горизонтальной плоскости про­ екций. Здесь множество проецирующих лучей, касательных к поверхности, образуют горизонтально-проецирующую поверхность. Проекцию этой по­ верхности на П1 называют горизонтальным очерком заданной поверхно-, сти.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Большое многообразие поверхностей, различные способы их образо­ вания, сложности геометрических характеристик создают трудности в по­ пытках классифицировать поверхности, объединить их в систему.

Основой классификации поверхностей могут служить их определи­ тели или геометрические особенности, связанные с кинематическим спо­ собом их образования.

Важными признаками формообразования поверхностей являются:

-вид образующей и закон ее перемещения;

-закон изменения образующей;

-развертываемость куска поверхности.

На рис. 162 приведена ориентировочная классификация поверхностей.

3. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Торсовые поверхности

Эти поверхности относятся к группе линейчатых развертываемых поверхностей с одной направляющей.

Характерным признаком торсовых поверхностей является то, что их

прямолинейные образующие пересекаются. При этом пересечение может

оо

происходить как в собственной (5), так и в несобственной ( S ) точках. К рассматриваемой группе относятся:

-поверхность с ребром возврата;

-поверхность коническая;

-поверхность цилиндрическая.

Рис. 162

Поверхность с ребром возврата в общем случае образуется непре­ рывным перемещением прямолинейной образующей (а), касающейся про­ странственной кривой (т) - направляющей (рис. 163 а). Кривая т называ­ ется ребром возврата торса.

Торсовая поверхность состоит из двух полостей, линией раздела ко­ торых является ребро возврата. Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности. Алгоритмиче­ ской частью служит условие касания образующих к ребру возврата.

Определитель имеет вид Л (а, т)[а U т].

На эпюре Монжа любая неограниченная торсовая поверхность зада­ ется только проекциями ребра возврата (mi и т2). При этом каркас поверх­ ности можно составить из семейства прямолинейных образующих, каса­ тельных к этому ребру. Так, на рис. 163 б про^.щиями образующей (а) яв­ ляются касательные а\ и а2 к проекциям mi и т 2 ребра возврата т, прове­ денные через проекции А\ и А2 случайной точки А этого ребра.

Наиболее широкое применение в инженерной практике нашел част­ ный вид торсовой поверхности - винтовой торс, у которой ребром возврата служит цилиндрическая винтовая линия. Если ось винтовой линии распо­ ложить перпендикулярно к Пь то образованная поверхность представит собой поверхность одинакового ската (по отношению к П1), т.к. все каса­ тельные к винтовой линии пересекают плоскость П] под одним и тем же углом. Чертеж отсека такой поверхности показан на рис. 164.