книги / Начертательная геометрия

Рассмотрим применение способа вспомогательных секущих плоско­ стей для построения линии сечения цилиндра плоскостью. На рис. 208 за­ даны прямой круговой цилиндр и плоскость Е (h П /) общего положения.

Плоскость Е (h П /) пересекает цилиндр по эллипсу, горизонтальная проекция которого совпадает с горизонтальной проекцией поверхности цилиндра - окружностью. Это объясняется тем, что все образующие ци­ линдра перпендикулярны Пь а сама поверхность является горизонтальнопроецирующей. В качестве вспомогательных секущих плоскостей следует применять плоскости, параллельные или перпендикулярные образующим цилиндра. Первые будут пересекать цилиндр по образующим, вторые - по окружностям.

Построение линии пересечения начинают с опорных точек.

Высшая и низшая точки искомой кривой располагаются в общей плоскости симметрии пересекающихся геометрических образов. Такой плоскостью является горизонтально-проециру^щзя плоскость 0 , прохо­ дящая через ось вращения цилиндра и перпендикулярная секущей плоско­ сти Е. Горизонтальный след @i этой плоскости проходит через i\ и перпен­ дикулярен горизонтальной проекции горизонтали заданной плоскости, то есть 0 1 J- h\. Плоскость 0 (0j) пересекает цилиндр по образующим а и Ь, а секущую плоскость Е (h П /) по прямой ВК.

Горизонтальные проекции а\ и Ь\ образующих и В\К\ прямой совпа­ дают со следом 01 общей плоскости симметрии. По линиям связи строятся фронтальные проекции а2, Ь2 образующих цилиндра и В2К2 прямой. При пересечении построенных линий находятся общие точки 12 и 22 - фрон­ тальные проекции самой высокой 2 и самой низкой 1 точек линии пересе­ чения. Горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают с горизонтальны­ ми проекциями образующих а и Ь.

Точки изменения видимости линии пересечения всегда располагают­ ся на очерке поверхности. Фронтальный очерк цилиндра определяют обра­ зующие d и с. Для построения точек эллипса, принадлежащих этим образующим, вводится вспомогательная секущая плоскость уровня Ф (Ф0. След плоскости Ф1 проходит через горизонтальные проекции d\ и С\ обра­ зующих. В сечении плоскости Ф (Ф[) цилиндра получаются образующие d и с, в пересечении с данной плоскостью Е - фронталь/ ' Фронтальная про­ екция / '2 фронтали пересекает очерк цилиндра (образующие d2, с2) в точ­ ках Зг и 42, которые являются точками изменения видимости. Горизон­ тальные проекции точек 3 и 4 совпадают с горизонтальными проекциями Образующих Вис.

Точки изменения видимости 3 и 4 одновременно являются самой ле­ вой и самой правой точками линии пересечения.

Для определения самой дальней 5 и самой ближней 6 точек эллипса проводятся вспомогательные секущие плоскости уровня Ф' (Ф'|) и Ф" (ф["). Обе секущие плоскости являются касательными по отношению к цилиндру и пересекают его по одной образующей. Пересечение секущих плоскостей Ф' и Ф" с заданной плоскостью 2 происходит по фронтали/"и /" ' соответственно. Построение искомых точек 5 и 6 аналогично приве­ денному выше построению точек 3 и 4.

Для получения плавной кривой строятся промежуточные точки при помощи горизонтальных плоскостей уровня, которые рассекают цилиндр по окружностям, а данную плоскость по горизонталям. На рис. 208 по­ строены промежуточные точки эллипса 7 и 8, лежащие в секущей плоско­ сти Г(Г2). Плоскость уровня Г(Г2) пересекла заданную плоскость по гори­ зонтали /Г. Горизонтальная проекция горизонтали h\ пересечет окружность цилиндра в точках 1 \ и 8i, фронтальные проекции которых лежат на следе Г2 плоскости Г

Полученные точки эллипса соединяют плавной кривой с учетом ви­ димости. На фронтальной плоскости проекций видимой будет линия на передней половине цилиндра до образующих с и d. В точках на очерке 32 и 42видимость линии поменяется на противоположную.

Ранее было показано, что построение линии пересечения поверхно­ сти с проецирующей плоскостью значительно проще, чем с плоскостью общего положения. Используя методы преобразования эпюра, можно се­ кущую плоскость общего положения преобразовать в проецирующую и построить линию пересечения поверхности с плоскостью частного поло­ жения.

Пример такого преобразования приведен на рис. 209. Условие задачи соответствует задаче пересечения цилиндра с плоскостью общего положе­ ния (см. рис. 208).

Секущая плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций преобразована так, что она стала проецирующей. На новой плос­ кости проекций секущая плоскость 2 (h П /) спроецировалась в след 2д и, следовательно, проекция линии пересечения цилиндра с плоскостью 2 еовг°лает со следом секущей плоскости. На плоскости П4сразу определя- ю! см высшая 2 и низшая 1 точки линии пересечения, лежащие в общей плоскости симметрии 0 (0 |).

Если известна проекция линии пересечения на плоскости П4, то можно построить недостающие ее проекции при помощи образующих ци­ линдрической поверхности. Однако для нахождения точек изменения ви­ димости на кривой необходимо ввести вспомогательную секущую плос­ кость Ф (Ф|), как это сделано на рис. 208.

( 22 J

h 2

X

Рис. 209

В том случае, когда секущая плоскость Е (Е2) параллельна двум об­ разующим SB и SC и пересекает две полости конической поверхности, в сечении получается гипербола - кривая, имеющая две ветви. В частном случае, когда секущая плоскость Е (Е2) проходит через вершину конуса 5, гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые SB и SC.

Построение линии пересечения прямого кругового конуса с плоско­ стью частного положения аналогично рассмотренным ранее задачам. Полное решение такой задачи с нахождением натуральной фигуры сечения приведено ниже (рис. 236).

В случае, когда рассматривается пересечение конической поверхно­ сти второго порядка и секущей плоскости общего положения, также мож­ но определить вид линии пересечения. Для этого через вершину кониче­ ской поверхности проводится плоскость, параллельная заданной, и опре­ деляется вид вырожденного сечения (примеры построения не приводятся).

Нормальные сечения

Нормальным называется сечение цилиндра или призмы плоскостью, перпендикулярной образующим. Нормальное сечение конуса - это сече­ ние, перпендикулярное его оси симметрии. Любой конус или цилиндр на­ зывается всегда по нормальному сечению. Если нормальное сечение - ок­ ружность, то конус или цилиндр называются круговыми. Если нормаль­ ным сечением является эллипс, то поверхность называется эллиптической.

Пример построения нормального сечения призмы приведен на рис. 211. Ребра трехгранной призмы являются фронталями, поэтому плоскость, им перпендикулярная, будет фронтально-проецирующей Е (ЕД -L П2 Фронтальная проекция нормального сечения 122232 совпадает со следом Е2, горизонтальная проекция находится в проекционной связи, каждая точка на своем ребре. Таким образом, нормальное сечение призмы - это тре­ угольник 123, вершины которого определяются как точки пересечения ре­ бер с плоскостью Е.

Для конической поверхности (рис. 212) при построении нормального сечения необходимо определить ось конуса, как линию пересечения двух плоскостей симметрии ФиП . Плоскость Ф пересекает конус по образую­ щим AS и BS, а плоскость Q является биссекторной плоскостью, проходя­ щей через биссектрису угла A2S2£2. Нормальное сечение - плоскость Е (Е2), перпендикулярная оси конуса SN. Ось SN есть ось симметрии конической поверхности. Линия SO является центровой, то есть геометрическим ме­ стом центров семейства окружностей, расположенных в плоскостях, па­ раллельных основанию. Название изображенного на рис. 212 конуса - на­ клонный эллиптический с круговым основанием. Конус называется эллип­ тическим, т.к. нормальным сечением его является эллипс.

Рис. 211 Рис. 212

На рис. 213 показано построение нормального сечения призмы, у которой ребра занимают общее положение. Плоскость, перпендикулярная прямой общего положения, должна быть также общего положения относи­ тельно плоскостей проекций. Такую плоскость можно было бы задать го­ ризонталью и фронталью, перпендикулярным ребрам, а затем три раза ре­ шать задачу на пересечение прямой с плоскостью общего положения.

Однако, в данном случае приведено решение, которое проецирова­ нием на дополнительную плоскость сведено к частному, показанному на рис. 211. В этом случае вводится новая плоскость проекций П4, перпенди­ кулярная П1 и параллельная ребрам призмы, поэтому ребра проецируются на ГЦ в натуральную величину. Плоскость I нормального сечения, перпен­ дикулярная ребрам в системе плоскостей П1П4, будет проецирующей и изобразится в виде следа Х4.

Нормальное сечение 142434 совпадает со следом плоскости Е4, зная его проекцию на П4, строят недостающие горизонтальную и фронтальную проекции сечения. Натуральная величина сечения определена на дополни­ тельной плоскости проекций П5_1Л4 и параллельной следу 14 плоскости нормального сечения Е.

Рис. 213

Положение плоскости £, касательной к поверхности Ф в данной точ­ ке А, можно определить двумя прямыми а и Ь, каждая из которых является касательной к кривой, проведенной по поверхности через точку А. На рис. 214 прямые a n b - касательные к кривым л и т соответственно.

Плоскость может касаться поверхности либо в точке, либо по линии (прямой или плоской кривой). Касаясь поверхности в данной точке, плос­ кость может пересекать поверхность по одной или двум линиям. На по­ верхности могут быть точки, в которых нельзя провести касательную плоскость. Такие точки называются особыми. К их числу относятся точки самопересечения поверхности, точки ребра возврата, заостренные верши­ ны поверхностей вращения (когда образующая пересекает ось вращения не под прямым углом).

Точки, в которых можно провести единственную касательную плос­ кость, называют обыкновенными.

Плоскость, касательная к линейчатой поверхности в произвольной точке на данной образующей, проходит через эту образующую. Сказанное объясняется тем, что каждая образующая является своей собственной ка­ сательной.

Задача построения касательной плоскости в точке А к поверхности однополостного гиперболоида вращения приведена на рис. 215а.

Однополосный гиперболоид вращения - поверхность дважды линей­ чатая. Через каждую точку этой поверхности можно провести две прямо­ линейные образующие. Они и определят искомую плоскость.

Касаясь поверхности в данной точке, эта плоскость пересекает ги­ перболоид по двум прямым. Горизонтальные проекции прямолинейных образующих построены как касательные к горловой окружности, прове­ денные из А\. Фронтальные проекции этих прямых получены с помощью точек М и М, в которых образующие пересекают нижнее основание ги­ перболоида.