книги / Начертательная геометрия

сти основания конуса lid. Центральный угол ф сектора определяют из про­ порции

2KR _ 360°

7td (р

откуда

nd •360° (р = ----------

2KR

или

d •180°

< =

R

Отложив центральный угол ф и проведя дугу из центра S ра­ диусом R, строят точную разверт­ ку прямого кругового конуса, не считая графических погрешно­ стей.

Рис. 241

2. РАЗВЕРТКИ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Способ триангуляции

Способ триангуляции (треугольников) универсален, его можно при­ менять для построения разверток любых поверхностей, в том числе и кри­ волинейных (например, подвесные сферические своды). Однако, способ триангуляции не всегда является рациональным. Для каждой группы по­ верхностей начертательная геометрия рекомендует соответствующий гра­ фический способ построения разверток. Все линейчатые поверхности, включая и неразвертываемые (цилиндроид, коноид, косая плоскость), раз­ вертываются способом триангуляции.

Сущность способа заключается в следующем:

1. Криволинейная поверхность заменяется вписанной в нее мног гранной поверхностью. Так, на рис. 242 в наклонный эллиптический конус (нормальное сечение - эллипс) с круговым основанием вписана двенадцат тигранная пирамида. Для этого основание конуса разбивается на 12 равных частей.

Исследование точности построения разверток показало, что опти­ мально деление окружности на 12 частей. При делении на 8 и менее частей длина кривой на развертке получается значительно короче длины окруж­ ности основания. При делении на более чем на 12 частей, увеличивается величина графических неточностей. Полученные после деления дуги заме­ няются стягивающими хордами. Затем проводятся образующие 51, 52, которые являются ребрами пирамиды.

2. Определяются натуральные величины сторон каждого треуголь­

го положения. Их натуральные величины удобно определять вращением вокруг оси i ( iь /2), проходящей через вершину конуса 5 (5ь 52) перпенди­ кулярно горизонтальной плоскости проекции. Натуральные величины об­ разующих равны соответственно отрезкам 152 1= |522'2 1 |53 1= |523'2 1ит.д.

Третьей стороной у каждого треугольника являются хорды, которые на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения. На­ туральные величины хорд 112 1= 11 i2j t 123 1= 12i31 I...

3. Развертка выполняется последовательным построением всех тре­ угольников. Каждый треугольник строят по трем сторонам, натуральные величины которых известны. Если отсек поверхности симметричен, то развертку следует делать также симметричной и построение начать с оси симметрии. Допускается строить половину развертки, которая с одной стороны должна быть ограничена осевой линией. Рекомендуется поверх­ ность разрезать по самой короткой образующей, чтобы длина соедини­ тельных “швов” была наименьшей.

Осевая линия располагается на чертеже вертикально или горизон­ тально. На ней откладывается отрезок 1511= I 52121. Из точки 1 проводит­ ся дуга радиусом | 1J2I I, а из точки 5 - вторая дуга радиусом I 522'21до пересечения с первой в точке 2: соединив тонкими линиями точки 1 и 2, 5 и 2, получаем Д152. Аналогично пристраивается 253 и т.д. Точки 1, 2, 3 со­ единяются плавной кривой. Контур развертки обводится основной линией до оси симметрии (см. рис. 242).

На развертках часто приходится строить линии, расположенные на поверхностях. К ним относятся линии пересечения двух поверхностей и сечения поверхности плоскостью.

Для построения на развертке точки выполняют следующее:

1) через данную точку проводят линию, лежащую на поверхности и удобной для построения (чаще всего это прямые или окружности). На рис. 242 точка А принадлежит образующей 55;

2) определяется натуральная величина этой линии и на нее перено­ сится рассматриваемая точка. I 52521натуральная величина образующей иточкаЛ'2е 525'2;

3) на развертке строится соответствующая линия. Образующая S располагается между образующими S3 и 54. Отрезок 3В равен хорде 13|Z?i I,

а расстояние SA берется с натуральной величины и равно 152А'2 1.

Способ нормального сечения

Способ применяется для построения разверток призматических и цилиндрических поверхностей.

(рис. 243).

Кроме того, нужно знать или расстояние между ребрами h - высоты трапеций, или натуральные величины сторон основания призмы а и b - бо­ ковые стороны трапеций.

В зависимости от того, высота или боковые стороны применяются при построении разверток, различают два способа: нормального сечения и раскатки.

В первом способе расстояние между образующими определяется при помощи нормального сечения. В способе раскатки используются нату­ ральные величины сторон основания призмы. Развертка призматической поверхности строится точно, не считая графических погрешностей. При построении развертки цилиндрической поверхности необходимо сначала вписать в нее призматическую поверхность, которую затем развернуть. Следовательно, развертка цилиндрической поверхности является прибли­ женной.

Для построения разверток цилиндрических и призматических по­ верхностей применяют способ нормального сечения. При помощи нор­ мального сечения, перпендикулярного к образующим, определяют рас­ стояния между ними. Способ целесообразно применять в тех случаях, ко­ гда основания призмы или цилиндра заданы в общем положении.

Последовательность построений:

1) определяются натуральные величины образующих, если они зад ны в общем положении. Так, на рис. 244 натуральные величины ребер оп­ ределяются проецированием на дополнительную плоскость проекций П4, параллельную ребрам: ЕЦ ||АД ГЦ ± Д . Тогда |А4Д1, \ВдЕ4I, |C4F41на­ туральные величины ребер;

2) строится нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы. Так как ребра параллельны плоскости П4, то сечение £4 вырождается в прямую линию (142434 - прямая) и является проецирующим относительно П4. На плоскости П1 и П2это сечение проецируется в общем положении;

3) определяется натуральная величина нормального сечения любым способом. В данном примере она определена проецированием на плос­ кость П5. Проекция 152з35натуральная величина.

4) строится развертка следующим образом:

а) периметр нормального сечения “развертывается” в прямую динию, на которой I 12 i = I I5251; I 23 I = I 253s I; I 311= I 35151, то есть эти отрезки равны расстояниям между образующими (ребрами):

б) через точки 1, 2, 3 проводятся образующие, перпендикулярные развертке нормального сечения;

в) на этих линиях откладываются натуральные величины образую­ щих: \lA I = II4A4I I ID I = 114AI I и т.д.;

г) полученные точки соединяются ломаной линией при развертыва­ нии призматической поверхности и плавной кривой при цилиндрической.

Ш рис. 244 показано построение на развертке точки М, принадле­ жащей поверхности призмы. Точка М принадлежит образующей, параллельной ребрам.

3. РАЗВЕРТКИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Криволинейные поверхности вращения относятся к неразвертывае­ мым, их нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок, поэтому при выполнении их из листового материала строятся условные развертки.

Последовательность построений:

1) поверхность разрезается по меридианам или параллелям на ряд частей;

2)каждая такая часть заменяется вписанной или описанной развер­ тываемой поверхностью (цилиндрической или конической);

3)строятся развертки отдельных частей, из которых затем собирает­ ся заданная поверхность.

При разрезании по меридианам каждая доля заменяется описанной цилиндрической поверхности. Такой прием называется способом вспомо­ гательных цилиндров.

При разрезании по параллелям поверхность разбивается на ряд поя­ сов, которые заменяется вписанными коническими поверхностями. Этот прием называется способом вспомогательных конусов.

а) нормальным сечением доли 1 является главный меридиан, кото­ рый развертывается в отрезок I 1...7 I вертикальной прямой. На ней откла­ дывают отрезки, равные фронтальным проекциям хорд: I 12 I = I 12221, 123 I = 122321и т.д.;

б) через полученные точки 2, 3, 4, 5, 6 проводят образующие цилинд­ ра перпендикулярно “развертке” нормального сечения. Размеры образую­ щих берут с горизонтальной проекции \А21= Ы д I; |ЯЗ I = |i?|3| I; IС41= I С\А\ I. Через полученные точки 1, А, В, и С проводят плавную кривую. Развертка каждой доли имеет вертикальную и горизонтальную оси симметрии, поэто­ му, построив 1/4 часть развертки, аналогично строят остальные 3/4. Полная развертка сферы будет состоять из шести (двенадцати) таких долей. На практике подобные развертки удобно делать по шаблону. На рис. 245 такой шаблон заштрихован.

Местоположение точки М на развертке, как и любой точки на плоско­ сти, определяется двумя координатами - вертикальной и горизонтальной. Вертикальная координата - расстояние от точки соседней параллели, гори­ зонтальная - от оси симметрии. Вертикальная координата I 38 I = I 3282 I бе­ рется с фронтальной проекции, горизонтальная I MS I = I M\S\ I - с горизон­ тальной плоскости проекций.

Способ вспомогательных конусов

Построение развертки сферы этим способом показано на рис. 246:

1) поверхность сферы разрезается по параллелям горизонтальными плоскостями на ряд поясов и два сегмента;

2) в полученные шаровые пояса и сегменты вписываются поверхно­ сти вращения, оси которых совпадают с осью i сферы, а основания - с соот­ ветствующими параллелями.

В шаровой сегмент IV вписывается полный конус вращения, вершина которого совпадает с точкой S пересечения оси вращения / с главным мери­ дианом сферы.

Вшаровые пояса III и II вписываются усеченные конусы вращения. Образующими конусов являются хорды С2В2и В2А2. Вершины конусов S '2

иS "2получаются на пересечении этих образующих с осью вращения.

Вэкваториальный пояс I вписывается цилиндр вращения;

3) строятся развертки вписанных поверхностей.

Разверткой конуса является сектор, радиус которого равен образую­ щей конуса. Для пояса II - образующая IS "2А2|, для III - | S '2 В21, для IV - I S2C21. Центры секторов рекомендуется размещать на одной линии, прини­ маемой за ось симметрии разверток. Длины дуг секторов равны длинам па­ раллелей окружностей соответствующих поясов. Их размеры берутся с го­ ризонтальной плоскости проекций, для этого окружности делятся на 12 час­

тей. Так, длина дуги а на развертке равна длине горизонтальной проекции параллели а\,Ь=Ь\.

Построенные части I и II соединяются между собой по линиям а, II и III - по линиям b, III и IV - по линиям с.

Рис. 246

4. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК НЕКОТОРЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Задача 1 (рис. 247). Дано: поверхность цилиндроида, плоскостью параллелизма которой является плоскость проекций П2.

Требуется: построить развертку способом триангуляции. Решение:

1. В заданную поверхность вписывается многогранная поверхность. Окружность нижнего основания разбивается на 12 равных частей. Окруж­ ность верхнего основания лежит в профильной плоскости уровня, поэтому дополнительно строится полуокружность, соответствующая его профиль­ ной проекции. Полуокружность разбивается на 6 равных частей. Получен­ ные дуги заменяются стягивающими хордами, точки деления переносят на фронтальную проекцию верхнего основания. Затем проводятся образую­ щие (1 Г, 22',...) и диагонали (12', 23', 34',...).

В результате получается многогранная поверхность, ограниченная

треугольниками (Д11' 2', Д 12'2, Д22' 3', Д23' 3,...).

2. Определяются натуральные величины диагоналей (способом плос­ копараллельного перемещения). У образующих натуральными величинами являются их фронтальные проекции, т.к. все они параллельны П2 - плоско­ сти параллелизма данного цилиндроида.

3. Строится развертка. Заданная поверхность имеет плоскость сим­ метрии, поэтому развертка будет симметричной и достаточно построить ее половину.

Поверхность разрезается по наименьшей образующей 77', тогда об­ разующая 11' совпадает с осью симметрии развертки, которая на чертеже занимает вертикальное положение. К ней пристраивается треугольник 1Г 2' со сторонами: |l ГI = 11212' I - фронтальная проекция образующей, I 1 2' I = I 12 2'21—натуральная величина диагонали, | 1' 2' | = | 1'3 23' I - профильная проекция хорды, стягивающей 1/12 часть окружности верхне­ го основания.

На стороне! 1 2'| строится второй треугольник 12'2, у которого 12 2' I = 122 22' I - натуральная величина образующей, 11 2 | = 1112i | —гори­ зонтальная проекция хорды, стягивающей 1/12 часть нижнего основания.

Аналогично продолжается построение следующих треугольников. Полученные точки нижнего основания (1, 2, 3,..., 7) и верхнего основания (Г, 2',..., 7') соединяются по лекалу плавной линией.