книги / Начертательная геометрия

Рис. 236

Для определения вида кривой, получающейся в сечении, выполняется перемена плоскостей проекций. Плоскость П4 вводится перпендикулярно Щ и треугольнику АВС. На чертеже ось х\ перпендикулярна горизонталь­ ной проекции h\. Секущая плоскость I проецируется на ГЦ в прямую ли­ нию, которая параллельна очерковой образующей конуса. Следовательно, в сечении получаете# парабола.

Натуральная величина сечения построена проецированием на допол­ нительную плоскость П5 || I (Д АВС). На чертеже след плоскости А4В4С4 || х2.

Задача 4. Построить линию пересечения сферы и прямого кругового конуса; проанализировать характерные точки линии; показать видимость линии пересечения и очерков поверхностей (рис. 237).

Анализ заданных г.о. показывает, что общая плоскость симметрии поверхностей © (@i) является проецирующей. В общей плоскости симмет­ рии пересекающихся г.о. лежат высшая и низшая точки искомой линии пе­ ресечения. Эти точки находятся проецированием на дополнительную плос­ кость проекций П4, которая проведена параллельно общей плоскости сим­ метрии © (©,). На П4 при пересечении очерков поверхностей сферы и кону­ са определятся общие точки: 1 - самая высокая, 2 - самая низкая точки ли­ нии пересечения.

Для построения остальных точек искомой линии пересечения приме­ няют способ секущих плоскостей.

Точки, лежащие на экваторе сферы определяют с помощью секущей плоскости уровня Г (Гг). Она рассекает сферу экватору, а конус по па­ раллели. На горизонтальной плоскости проекций при пересечении экватора и параллели находят точки 3 и 4.

Точки искомой линии пересечения, лежащие на фронтальном очерке конуса определяют при помощи фронтальной плоскости уровня Ф (Ф^, проходящей через ось конуса. При пересечении фронтальной проекции очерка конуса с соответствующей параллелью сферы получают точки 5 и 6.

Для определения точек линии пересечения, принадлежащих фрон­ тальному очерку сферы вводят секущую плоскость Ф' (Ф'О, которая пере­ секает конус по гиперболе, а сферу по главному меридиану. Фронтальные проекции главного меридиана и гиперболы, точки которой обозначены звездочками (*), имеют две общие точки 7 и 8.

Промежуточные точки искомой линии пересечения строят при помо­ щи секущей плоскости Г' (Г'г), которая обе поверхности рассекает по па­ раллелям. На чертеже показано построение двух промежуточных точек 9 и 10.

Построенные точки соединяют с учетом видимости поверхностей. На плоскости проекций П1 видимость линии пересечения будет меняться на экваторе сферы в точках 3 и 4. На плоскости проекций Пг видимой будет чрсть линии пересечения 8-2-10-3-7, принадлежащая передней половине сферы. В точках 7 и 8 видимость изменится на противоположную.

Искомая линия пересечения представляет собой пространственную кривую линию, расположенную на заданных поверхностях. Ее проекции на комплексном чертеже - плавные кривые линии, при этом на П) линия сим­ метрична относительно следа @( плоскости симметрии двух поверхностей.

Задача 5. Построить линию пересечения конической поверхности и четверти торовой поверхности; проанализировать линию пересечения и ее проекции (рис. 238).

Решение задачи выполняем в следующей последовательности. Сначала строим точки, расположенные в общей плоскости симмет­

рии 0, способом вращения (аналогичное решение приведено на рис. 228 г). В рассматриваемой задаче точка А будут высшей, а точка В не является низшей точкой, но занимает экстремальное положение.

Затем находим точки изменения видимости на П1 и на П2. На П1 эти точки будут принадлежать экватору (т) тора и, следовательно, будут рас­ положены в плоскости Г. Вспомогательная плоскость Г пересекает кони­ ческую поверхность по параллели п. На пересечении линий т и п находят­ ся точки С и Д горизонтальные проекции которых являются точками из­ менения видимости на П1. Для определения точек изменения видимости на П2 проводим анализ.

Предполагаемые точки изменения видимости могут принадлежать фронтальному очерку либо конической поверхности, либо торовой. С по­ мощью плоскости Ф находим точки М и N, принадлежащие образующей SE (аналогичное посзроение см. на рис. 229 б). С помощью плоскости Г' опре­ делим точки 3 и 4, принадлежащие главной параллели тора. Рассматривая горизонтальные проекции точек М и 3, N и 4, видим, что точки М и 4 распо­ ложены ближе к наблюдателю, следовательно, эти точки и будут являться точками изменения видимости на П2.

Промежуточные точки (см. рис. 227) определяем при помощи гори­ зонтальных плоскостей уровня, рассекающих данные поверхности по па­ раллелям. На рис. 238 обозначены проекции промежуточных точек 1 и 2, найденных с помощью плоскости Г", остальные не обозначены.

Все построенные точки соединяем с учетом видимости тех частей поверхностей, которым они принадлежат. Показываем видимость проек­ ций очерков: толстой линией - видимые очерки, штриховой тонкой линией - невидимые очерки, очерки поверхностей, пропадающие друг в друге - тонкой сплошной линией. Построенная линия представляет собой симмет­ ричную замкнутую кривую линию четвертого порядка.

Проекции искомой линии являются плоскими кривыми (второго по­ рядка), при этом горизонтальная проекция линии перехода симметрична относительно следа @1 общей плоскости симметрии.

Задача 6. Построить линию пересечения трехгранной призмы и пря­ мого кругового конуса (рис. 239).

Анализ заданных геометрических образов показывает, что грани призмы пересекают коническую поверхность по кривым 2-го порядка.

Вид этих кривых определяют переменой плоскостей проекций, выби­ рая вспомогательную плоскость проекций так, чтобы грани призмы заняли проецирующее положение. Плоскость проекций П4 введена перпендику­ лярно существующей плоскости проекций П1 и перпендикулярно граням призмы. На чертеже ось х{ проведена перпендикулярно к горизонтальным

Таким образом, искомая линия пересечения данных поверхностей есть пространственная кривая, состоящая из трех плоских кривых.

Для построения искомой линии пересечения целесообразно приме­ нять способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения.

Линия пересечения грани Ьс с конуеом построена при помощи секу­ щей плоскости Г (Г|). Окружность является неполной, в результате чего получаются точки 1,2 на ребре b и 4, 3 на ребре с.

Точки 5 и 6 на ребре а определяют при помощи секущей плоскости Г' (Г'2).

Для построения точек, лежащих на фронтальном очерке конуса, вво­ дят секущую плоскость Ф (Ф|), которая занимает фронтальное положение уровня и проходит через ось конуса. Секущая плоскость пересекает конус по очерковым образующим, а призму - по треугольнику. На полученных линиях пересечения имеются две общие точки 8 и 7.

Промежуточные точки искомой линии пересечения строят при по­ мощи вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня, рассекающих конус по параллелям, а призму - по образующим. На рис. 239 обозначены проекции промежуточных точек 9, 10, 11, 12, найденных с помощью плос­ кости Г"; остальные не обозначены.

Построенные точки соединяют с учетом видимости тех частей по­ верхностей, которым они принадлежат. На плоскости проекций р ( буду видны горизонтальные проекции эллипса и параболы, на плоскости проек­ ций П? видны ветви параболы 4-12-5 и 3-11-7.

Точка 5, лежащая на ребре призмы, и точка 7, принадлежащая фрон­ тальному очерку конуса, изменяют видимость линии пересечения на фрон­ тальной плоскости проекций.

Задача 7. Построить линию пересечения многогранников: шести­ гранной горизонтально-проецирующей призмы I и трехгранной наклонной призмы II (рис. 240).

Из шести боковых ребер призмы I только ребра а и b пересекают гра­ ни призмы II (так как а\ и Ь\ находятся в пределах горизонтальной проек­ ции призмы II).

Находим точки пересечения ребер а и b призмы I с гранями призмы

II. С этой целью проводим через данные ребра вспомогательную плоскость

Ф(Ф]). Эта плоскость пересечет грань ABCD призмы II по прямой MN, а грань CDEF той же призмы - по прямой KL. Прямые MN и KL должны быть

параллельны боковым ребрам призмы II, так как плоскость Ф параллельна этим ребрам.

Точки пересечения ребер а и b с гранями ABCD и CDEF рпределяем на пересечении a n MN = 2, а п KL = 4, b п MN = 7, b о KL = 9. Фрон­ тальные проекции точек находятся как точкк пересечения одноименных проекций ребер а и b и вспомогательных прямых MN и KL. Горизонтальные проекции искомых точек совпадают с а\ и Ь\, так как призма I является про­ ецирующей.

Остальные точки (1, 3, 5, 6, 8, 10), принадлежащие линии пересечения призм, получаем непосредственно без вспомогательных построений, как точки, в которых боковые ребра АВ, CD и EF призмы II пересекаются с бо­ ковыми гранями призмы I.

По горизонтальным проекциям точек I, 3, 5, 6, 8, 10 строим их фрон­ тальные проекции при помощи линий связи.

Точки 12, 22, 32, 42, 52, а также точки 62, 72, 82, 92 и 102 на эпюре со­ единяем последовательно прямыми с учетом их видимости при проециро­ вании на плоскость П2. Соединив дважды последнюю точку с первой (52 с 12 и 102 с 62) получим два пространственных пятиугольника, по которым пересекаются призмы I и II.

Точки 22, 42, 72, 92 будут определять изменение видимости линий пересечения на фронтальной плоскости проекций.

Горизонтальные проекции линий пересечения сливаются с горизон­ тальными следами тех боковых граней призмы I, которым отрезки ломаной линии соответственно принадлежат.

Рис. 240