книги / Теория сварочных процессов

нимать четыре значения: d = 0 для точечных объектов (вакансии, межузельные атомы), d = 1 для линейных дефектов (дислокации); d = 2 для планарных дефектов (двойники, границы зерен); d = 3 для трехмерных образований в объеме образца. Евклидовы размерности могут служить характеристиками симметричных микроструктур, которые не часто образуются даже в материалах, получаемых в равновесных условиях. Формирование реальных структур, в том числе и приведенных выше, обусловлено явлениями, далекими от равновесных.

Это означает необходимость объединения подходов традиционного материаловедения и теории фракталов, поскольку диссипативные самоорганизующиеся структуры фрактальны (т.е. фрагментарны, периодичны, самоповторяемы).

Следует иметь в виду, что различные уровни структуры (нано-, микро-, мезо- и макромасштаб) можно описывать в рамках мультифрактального анализа.

Фракталы – фигуры, обладающие свойством самоподобия, или объекты с дробной (нецелой) размерностью, обладающие свойством масштабной инвариантности, т.е. при любом увеличении соотношение между масштабом и каким-либо параметром фрактала постоянно и равно фрактальной размерности.

Термин «фрактал» введен Б. Мандельбротом. Он определил понятие фрактала как структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Фрактал – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближенной.

Основные свойства фракталов:

–имеют тонкую структуру, т.е. содержат произвольно малые масштабы;

–слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке;

–имеют некоторую форму самоподобия, допуская приближенную;

–имеют дробную размерность.

Различают геометрические, или регулярные, фракталы (типа множества Кантора, фигур Коха, треугольников и ковра Серпинского и др.) и естественные, природные фракталы (коллоидные агрегаты, облака, полимеры, пористые среды, дендриты, трещины, поверхности трещин твердых тел и др.).

Отличительным признаком фрактальных объектов является присущая им дробная размерность. Существует несколько принципиально

121

разных определений размерности геометрического объекта: топологическая размерность и фрактальная размерность, или размерность Хаусдорфа (Минковского). Топологическая размерность всегда выражается целым числом; это не противоречит интуитивному представлению о том, что кривые одномерны, поверхности – двумерны, а пространственные фигуры – трехмерны. Топологическая размерность характерна для евклидовой геометрии.

Фрактальная размерность D, или Df (хаусдорфова размерность) – дробная метрическая размерность, присущая фрактальным структурам. Чаще всего определяется степенной зависимостью между каким-либо параметром объекта (длиной границы, ребром куба, числом зерен фазы)

ипараметром масштаба (например ячейка квадратной сетки 2×2, 3×3

ит.п.), на котором ведется изучение. Фрактальная размерность определяется из соотношения

L(δ) = const δ−D,

где L – параметр структуры; δ – параметр масштаба; D – фрактальная размерность.

График зависимости lg L(δ) от lg δ – прямая линия с угловым коэффициентом D.

Размерность Минковского может служить аналогом размерности Хаусдорфа, удобным для использования в прикладных задачах. Эти размерности, как правило, совпадают, но алгоритм определения размерности Минковского намного эффективнее.

4.3. Геометрические и естественные фракталы

Геометрические, или регулярные, фракталы строят методом итераций (деления, измельчения). Наиболее часто встречающийся пример построения фрактала – триадная кривая Коха (рис. 4.3). Она получается путем превращения прямой линии «затравки» (шаг или поколение n = 0) в ломаную в определенной последовательности. Например, вторая сверху фигура на рис. 4.3, так называемый образующий элемент (поколение n = 1), получена путем деления отрезка прямой (n = 0) на три части с последующим преобразованием прямой в ломаную (при это число звеньев а увеличивается до 4). Если эту операцию продолжить для каждого прямолинейного участка, то получим серию из n поколений кривых с n = 2, 3, 4, …

Первое поколение состоит из четырех прямолинейных звеньев длиной а = 1/3 первоначального отрезка каждое.

122

где D – фрактальная размерность кривой Коха, D = ln 4/ln 3 = 1,26. Другим примером фрактала могут служить фигуры типа множества

Кантора (рис. 4.4). «Затравкой» здесь служит единичный отрезок, который делится на три части, а затем средняя часть выбрасывается. Такая операция повторяется для каждого последующего отрезка.

В результате деления при бесконечно большом числе поколений получим бесконечное множество точек, рассеянное по единичному отрезку («канторовская пыль»). Для рассматриваемого множества фрактальная размерность D = ln 2/ln 3 = 0,64.

Аллен и Клуатр экспериментально и методом оптического преобразования Фурье определили фрактальную размерность фрактала Виче-

ка (рис. 4.5).

123

При анализе естественных фракталов часто используют представления о кластерах. Кластерами называют комплексные соединения, в основе молекулярной структуры которых лежит объемная ячейка из непосредственно связанных между собой атомов, которая играет роль центрального атома. С развитием теории фракталов введено понятие фрактальных кластеров, которыми принято называть структуры, образующиеся при ассоциации твердых аэрозолей в газе в случае диффузного характера их движения. Это характерно, например, для облаков, туманов, частиц, находящихся в суспензиях, коллоидных растворах и т.п.

Многие реальные физические процессы хорошо описываются моделью кластеров. Это прежде всего относится к таким процессам, как электролиз, кристаллизация жидкости на подложке, осаждение частиц при напылении твердых аэрозолей. На рис. 4.6, а представлена струк-

тура пленки NbGe2, обладающая фрактальностью. Она была получена на кварцевой подложке, которую нагревали до температуры 840 °С, сверху подложки подавали смесь гелия с парами германия, а в газовую мишень разбрызгивали ниобий. Толщина пленки была 0,2…0,5 мкм, а размер малых зерен – 0,1 мкм. Фрактальная размерность кластера была равна 1,88.

а б

Рис. 4.6. Поверхностный кластер NbGe2, образованный на кварцевой подложке (а), и фрактальный кластер, образованный при выделении цинка на поверхности в процессе электролиза (б)

На рис. 4.6, б, представлен поверхностный кластер, образованный при электролитическом осаждении цинка. Его фрактальная размерность равна 1,66.

Другим примером естественных фракталов являются пленки палладия, полученные методом электронно-лучевого испарения и конденсации в вакууме (рис. 4.7).

124

К естественным фракталам относятся также структуры, образующиеся, например, при ассоциации твердых аэрозолей в газе в случае диффузионого характера их движения (облака, туманы, частицы суспензий, коллоидных растворов и т.п.).

Фрактальные структуры наблюдаются и при таких процессах, как осаждение частиц при напылении твердых аэрозолей, синтез пористых материалов.

Наиболее интересными являются фракталы, образованные в металлах и сплавах в условиях подвода к ним энергии. В процессе обмена энергией и веществом с окружающей средой в них формируются диссипативные структуры. А.П. Ершов и др. экспериментально подтвердили образование фрактальных структур при взрыве конденсированных веществ.

Статистическая обработка электронно-микроскопических снимков показала, что фрактальностью обладают высокодисперсные дендритные частицы железа и его сплавов, мартенситоподобные структуры (чечевицеобразный, реечный мартенсит, видманштеттова структура).

4.4.Структура металла, как объект фрактального анализа

Вматериаловедении понятие «структуры» металла или сплава подразумевает систему, состоящую из элементов (фаз или структурных составляющих), упорядоченных определенным образом и связанных определенными соотношениями. Традиционно микроструктурный анализ металлов и сплавов проводят на основе анализа размеров структурных составляющих и их обьемной доли с использованием евклидовой раз-

мерности. Однако при наличии даже двух фаз (например α и β) они могут иметь различную морфологию, что требует для микроструктурного анализа дополнительных параметров. Их число растет с ростом размерности элементов. В металлах и сплавах присутствуют элементы трех измерений: точечные дефекты, линейные дефекты (в виде дислокаций),

дисперсные частицы, поры и др. Произведение плотности ρd на энергию дефекта ud дает объемную энергию микроструктуры um:

um = udρd.

Эта энергия управляет реакциями восстановления, рекристаллизации, ростом частиц и т.п., т.е. играет определенную роль в термопластической обработке металлов и сплавов. В табл. 4.1 приведены евклидовы размерности и энергии микроструктурных элементов, каждый из которых контролирует тот или иной вид упрочнения при его взаимодействии с движущимися дислокациями.

126

Таблица 4.1

Евклидовы размерности d и энергии микроструктурных элементов

Недостаток описания микроструктур на основе плотностей дефектов связан с тем, что для большинства микроструктур этот показатель еще не определяет поведение материала под нагрузкой; кроме того, в процессе изменения системы происходит и эволюция самого дефекта, сопровождающаяся изменением евклидовой размерности и энергии дефекта.

Принцип фрактального анализа применительно к структурам металлов, сформулированный в работах В.С. Ивановой, А.А. Оксогоева и др., основан на теореме Рамсея. Согласно этой теореме, любое достаточно большое множество элементов структуры обязательно содержит высокоупорядоченную структуру. Это означает, что любую структуру, содержащую достаточно большое количество элементов, можно рассматривать как мультифрактал, составленный из конечного числа вложенных друг в друга самоподобных структур. Однако фрактальный микроструктурный анализ, как составная часть количественной металлографии, методически пока остается сложной задачей. Это объясняет тот факт, что число работ, посвященных прямому изучению фрактальных структур в металлах, очень ограничено. Объектами исследования применимости фрактального анализа в металловедении становились: шероховатые поверхности и поверхности излома, пористые среды, отдельные структурные составляющие (мартенсит).

127

4.5. Фрактальные мартенситные и дендритные структуры

природных фракталов регулярными представлен на рис. 4.9. Для идентификации фрактальной структуры чечевицеобразного мартенсита применена решетка с немонотонной зависимостью масштаба М от количества самоподобных частей N.

Рис. 4.9. Схема преобразования структуры чечевицеобразного мартенсита с использованием структурных параметров М и N (в трудах Е. Хорнбогена)

Двухфазные сплавы – интересный объект для исследования фрактальности микроструктуры. Е. Хорнбоген при анализе микроструктуры чечевицеобразного мартенсита рассмотрел треугольник Серпинского (рис. 4.10) в качестве геометрического аналога фрактальности мартенситных структур (рис. 4.11). При мартенситном превращении площадь поверхности раздела α/β-фаз увеличивается с увеличением числа актов фрагментации х, при этом доля остаточного аустенита β уменьшается.

Рис. 4.10. Построение регулярного треугольного ковра Серпинского для моделирования процесса мартенситного превращения

Поэтому в качестве измеряемого параметра при определении фрактальности мартенситной структуры была выбрана длины границы раз-

дела фаз в плоскости шлифа Lх (периметр треугольника на рис. 4.10).

128

Если использовать аналог в виде треугольника Серпинского, то после соответствующего шага фрагментации Lх можно представить в виде

Lx−1 = Lx (Nn) = 3/ 2(Lx ),

где N – число элементов, определяющих фрактал (на рис. 4.10 N = 3, т.е. треугольник), а n = 1/2 – размер элемента после каждого нового шага фрагментации (сторона треугольника на каждом шаге вполовину меньше стороны треугольника на предыдущем шаге). Тогда фрактальная размерность структуры

и длины границы раздела после любого шага фрагментации Lx =

= (3/ 2) x L0 , где L0 = 3dз – начальная длина границы раздела, коррели-

рующая со средним диаметром зерна. Микроструктуры, включающие в себя мартенсит различного типа (ленточный, пластинчатый, реечный и т.д.), характеризуют различными фрактальными размерностями. Полученное значение D = 1,565 относится к сплаву Fe−34,4Ni− 4,2Al с мартенситной структурой, полученной при охлаждении этого сплава от 90 до –198 °С .

На рис. 4.11 показано схематичное изображение дискретного процесса образования мартенсита α в исходном аустенитном зерне β для стадий 1, 2 и 3.

Рис. 4.11. Схематичное изображение дискретного процесса образования мартенсита α в исходном аустенитном зерне β для стадий 1, 2 и 3

Другим интересным фрактальным объектом является дендритная структура. Традиционно для количественного описания дендритной структуры используют параметр в виде расстояния между дендритами, зависящий от скорости охлаждения. Для дендритов характерна степень ветвления вплоть до k = 4. Она отражает фрактальную природу этого типа микроструктур, формирующуюся при таких условиях, когда направление роста ветвей дендрита контролируется направленным пото-

129

сплавов. Таким образом, хотя дендритная структура и обладает фрактальностью, ее влияние на свойства сплавов неблагоприятно. Причины связаны с условиями ее формирования.

Дендритную структуру нельзя отнести к самоорганизующимся в том смысле, как это свойственно диссипативным структурам, поскольку дендритные структуры в литых сплавах формируются в условиях, близких к термодинамическому равновесию, при которых система стремится к максимуму энтропии. Диссипативные структуры самоорга-

130