книги / Теория сварочных процессов

угольников уменьшающихся размеров (нулевого, первого и более высоких порядков). Процедура ее построения состоит в следующем. Основ-

ной ствол частицы длиной L0 и площадью S0 = 0,5L02 sin α делится на некоторую совокупность более мелких масштабов. При этом формируется серия из k1 треугольных ветвей первого порядка длиной L1 = L0/k1.

Суммарная площадь частицы на этом этапе равна

S1 = S0 + 1/2k1(L0/k1)2cos α.

Аналогичная процедура проводится на n-м этапе построения. Фрактальная размерность D вычисляется из соотношения

Sn = 1/2kn2(L0/kn)Dcos α.

Таким образом, рассмотренные модели пространственной структуры частиц высокодисперсных ферромагнитных сплавов позволили получить количественные характеристики степени их разветвленности (дендритности) – параметр k и дробные фрактальные размерности D. Эти размерности использовали при изучении зависимостей физикохимических и электрических свойств этих частиц (проводимости, намагниченности) от степени их разветвления.

Сварной шов с позиций синергетики является типичной диссипативной системой, поскольку при сварке на кромки металла воздействуют высококонцентрированные источники энергии (т.е. система незамкнута, обмен энергией с внешней средой налицо), и, кроме того, кристаллизация металла шва протекает в неравновесных условиях – при большом градиенте температур и малом времени кристаллизации. Поэтому структуре шва должна быть присуща фрактальная размерность как характеристика областей локализации избыточной энергии, «закачиваемой в металл».

Сложность структуры реальных сварных швов является основным препятствием при выборе адекватных моделей для компьютерного конструирования структуры и прогнозирования их свойств. Для этих материалов основными методами изучения структуры остаются пока оптическая, электронная микроскопия, а также рентгенографические и спектрометрические методы. Однако полученные при этом данные полностью не используются в моделировании и компьютерном конструировании структуры, поскольку они либо качественно представляют структуру, либо характеризуют ее отдельные фрагменты. Например, при анализе структур швов определенная трудность заключается в корректной оценке параметров видманштеттовой структуры, к которой не всегда можно применить критерий «балл» зерна.

Таким образом, фрактальный анализ, как математический алгоритм выявления единого численного параметра для описания многоуровне-

131

вых структур, какими являются, в частности, структуры металлов, поверхности изломов, пористые структуры, зоны разрушения, структурные границы вязкохрупкого перехода, представляет значительный интерес при исследовании металла сварных швов.

Далее рассмотрим применение фрактального анализа в исследовании особенностей структурообразования сварных швов.

Исследование проводится в следующей последовательности:

– разработка алгоритма фрактального анализа и определение фрактальной размерности Df – количественного показателя степени неоднородности и фрагментарности структур сварных швов;

– выявление связи структурной характеристики – фрактальной размерности Df – с уровнем вязкопластических свойств металла шва;

– введение фрактальных размерностей, наряду с критериями хладостойкости и чистоты шва, в задачи моделирования структурообразования и оптимизации состава электродного покрытия.

4.6. Выбор меры для фрактального анализа структур металла сварных швов

В основе фрактального анализа структуры металла лежит математическое понятие меры. Фрактальная, или мультифрактальная, мера характеризует распределение исследуемой величины на соответствующем геометрическом носителе.

Геометрическим носителем чаще всего является сетка с квадратными ячейками, но иногда удобнее пользоваться более сложными носителями (круг, шар, куб).

Мера представляется взаимосвязанными фрактальными подмножествами, изменяющимися по степенному закону с показателем, равным фрактальной размерности.

Примем в качестве меры для феррито-перлитной структуры плотность распределения участков феррита или другой фазы на условной прямоугольной сетке, покрывающей поле шлифа. Плотность распределения участков феррита удобнее вычислять, подсчитывая, сколько квадратов сетки покрывают поле феррита. Для получения взаимосвязанных фрактальных подмножеств требуется не одна сетка, а набор сеток с различным размером ячейки (2×2, 4×4, 8×8 и т.д.).

Плотность распределения феррита P(Li) на каждой сетке связана с размером ячейки Li этой сетки степенным соотношением

P(Li) = const Li–D.

132

Из этого соотношения вычислим фрактальную размерность структуры D. (Более подробно метод сеток рассмотрен в примерах под-

разд. 4.7.)

Для объектов типа неметаллических включений, пор и т.п. геометрическим носителем удобнее выбирать набор концентрических окружностей различного диаметра. Тогда мерой будет являться функция, связывающая число точек пересечения окружности данного диаметра с включениями или порами с диаметром окружности. Если же фрактал представляет собой фигуру трехмерного пространства, то квадраты или окружности заменяются кубами.

ми – методом сеток и методом точек. Рассмотрим простейший способ определения фрактальной размерности клеточным методом, или методом сеток, на следующем примере. На рис. 4.14, а приведен графический аналог фрагмента феррито-перлитной структуры, характерной для сварных швов низкоуглеродистых сталей, с помощью которого поясняется суть примененного метода.

Рис. 4.14. Графический аналог феррито-перлитной структуры металла (а) и фрагмент исходной матрицы бинарного изображения (б): 1 – темный квадрат (область перлита), 0 – белый квадрат (область феррита)

Представим данную структуру как фрактал, составленный из квадратиков темного и белого цвета (рис. 4.14, б), причем на область феррита приходятся белые квадратики, а на область перлита – темные. Если записывать это изображение в виде матрицы, то белые квадраты обозначим 0, темные – 1, т.е. получим бинарную матрицу, состоящую из нулей и единиц. Матрица приведенной структуры имеет размер 32×32, т.е. фрагмент состоит из 1024 квадратиков; из них 404 – темные (1), ос-

133

тальные – светлые (0). Из-за большого размера матрицы представлена не вся матрица, а только ее фрагмент, описывающий отмеченный участок структуры.

42 19 13 35

28 13 12 30

M8 Шаг 4

2 13 17 36

57 17 37 33

Рис. 4.15. Пример наложения на изображение структуры металла набора сеток с размером ячейки l: 2×2, 4×4, 8×8, 16×16, и матриц Мi, описывающих плотность распределения 1 (темных квадратиков) на каждой сетке

134

Далее разобьем область, содержащую фрактал, на квадратные клетки нескольких размеров l×l: 2×2, 4×4, 8×8, 16×16. При этом исходная структура будет как бы разбита на клетки размером 1×1.

На рис. 4.15 показан пример наложения на изображение структуры металла набора сеток с размером ячейки l: 2×2, 4×4, 8×8, 16×16, и мат-

риц Мi, описывающих плотность распределения 1 (темных квадратиков) на каждой сетке.

Затем подсчитаем число клеток Р, необходимых для покрытия фрактала в каждом случае. Подсчет будем производить только по непустым клеткам. Результаты представлены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Реализация клеточного метода для графического аналога феррито-перлитной структуры (фрактал – см. рис. 4.14)

Далее подставим полученные значения в соотношение ln Р(l) = const – D ln l.

Для определения неизвестных параметров уравнения используем метод наименьших квадратов.

На рис. 4.16 показана аппроксимация зависимости ln Р от ln l методом наименьших квадратов. Как видно, график зависимости ln Р(l) от ln l представляет собой прямую с угловым коэффициентом, равным фрактальной размерности D. Для нашего примера фрактальная размерность структуры, представленной на рис. 4.14, составила D = 1,66.

Главный недостаток простого алгоритма метода сеток заключается в том, что подсчитанное значение Р(l) не показывает, каким образом каждая клетка покрывает фрактал: заполнена она точками фрактала целиком, на половину или на малую часть.

Точечный метод представляет собой альтернативный подход к вычислению размерности фрактала. Рассмотрим сетку, покрывающую весь фрактал. Ее узлы будем называть ячейками. Каждую ячейку, имеющую с фракталом непустое пересечение, будем считать за одну точку. Ясно,

135

что эта схема реализуется при графическом выводе фрактала на экран PC как массива пикселей. В данном методе «подсчет числа точек в клетке» означает подсчет числа пикселей (ячеек) в клетке. Точечный метод принципиально отличается от клеточного: в первом подсчитывается число точек в клетке, а во втором – число клеток, необходимых для покрытия фрактала.

7

5,5

2,5

1

ln l

Рис. 4.16. Аппроксимация зависимости ln Р от ln l методом наименьших квадратов

Для подсчета фрактальной размерности точечным методом генерируют вероятностную меру N(l, q), которую далее используют аналогично параметру P(l) в методе клеток. Вероятностная мера N(l,q) позволяет учитывать степень заполнения каждой клетки точками фрактала, а также вклад по-разному заполненных клеток в общее количество клеток, покрывающих фрактал.

Сформированная таким способом мера характеризуется целым набором показателей:

–τ(q) – показатель массы, определяет, по какому степенному закону изменяются в зависимости от размера ячейки l вероятности N(l, q);

–q – порядок момента. Выбор больших значений q способствует

повышению вклада ячеек с большими значениями вероятностей (т.е. ячеек, содержащих больше точек фрактала). Наоборот, выбор меньших q способствует повышению вклада ячеек с относительно малыми значениями меры N на ячейке.

Заметим, что выбирая q = 0, получаем N(l, q)= 1. Следовательно, N(q = 0, l) = P(l) – это просто число клеток, покрывающих фрактал,

136

а τ(0)= D есть фрактальная размерность множества. Таким образом, при q = 0 метод точек сводится к клеточному методу.

Поясним алгоритм расчета фрактальной размерности точечным методом.

Пусть фрактал содержит М пикселей. Сначала вычислим вероятность того, что клетка l×l содержит m пикселей (m = 1, 2, 3, …, M). Эта вероятность N(l, m) подсчитывается как число клеток размером l×l, содержащих m пикселей, отнесенное к общему числу пикселей, образующих фрактал:

N(l, m) = Mm/M,

где Mm – количество клеток l×l, содержащих m пикселей; M – общее количество пикселей.

Заметим, что сумма всех вероятностей равна единице:

M

∑ N(l,m) =1.

m=1

Тогда число клеток размером l×l, необходимых для покрытия фрактала,

K

P(l) = M ∑ (1/ m)N(l,m) ,

m=1

где K – возможное число пикселей в клетке размером l×l. Следовательно, число P(l) также пропорционально l–D и может

быть использовано для оценки фрактальной размерности D (минимизируя сумму квадратов отклонений зависимости ln P(l) = const – D ln l).

Применение точечного метода позволяет повысить точность результатов при анализе структур. Так, в работах Г.В. Встровского фрактальная размерность поверхностей разрушения молибдена (трехмерных фракталов) определялась с точностью до пятого десятичного знака.

Для исследования структурообразования сварных швов было решено использовать точечный метод только в том случае, если метод клеток даст нивелированные результаты, не позволяющие классифицировать однородность структуры металла сварных швов по значению фрактальной размерности Df.

Точность вычислений фрактальной размерности фрактала размером 300×300 пикселей по алгоритму, предложенному в работе Р.М. Кроновера, по оценке автора предполагает не более двух верных десятичных знаков.

137

4.7.Фрактальный анализ видманштеттовой структуры

всварных швах

4.7.1.Общая характеристика видманштеттовой структуры

При сварке малоуглеродистых сталей в металле шва и околошовной зоне очень часто образуется видманштеттова структура. Появление этой структуры связывают с составом стали, величиной зерна аустенита, скоростью охлаждения, степенью химической неоднородности и рядом других факторов. Рельеф, возникающий при образовании видманштеттовой структуры, идентичен мартенситному. Увеличение доли превращения с понижением температуры и торможение распада задолго до исчерпания аустенита – еще две особенности процесса образования видманштеттовой структуры и свидетельствующие о мартенситном характере. Некоторые исследователи склонны рассматривать видманштеттовый феррит как мартенсит, который в процессе образования претерпел значительную релаксацию, о чем свидетельствует пониженная

плотность дислокаций (109 см–2 против 1011 см–2 для мартенсита).

Однако малая скорость роста кристаллов (10–2…10–3 мм/с) позволяет полагать, что мартенситный механизм ограничивает диффузионный отвод углерода. Последнее означает, что характер превращения аустенита, приводящий к образованию видманштеттова феррита, близок к бейнитному.

Образование видманштеттова феррита сопровождается макроскопической деформацией, габитусные плоскости кристаллов видманштет-

това феррита близки к {111}γ. Данные электронно-микроскопических исследований свидетельствуют о том, что видманштеттовый феррит содержит большее количество дислокаций в отличие от феррита, образованного в результате нормального превращения. В то же время внутри видманштеттовых кристаллов феррита нет карбидных выделений. Эти сведения согласуются с представлением о мартенситном механизме γ→α-перехода при образовании видманштеттова феррита и отводе углерода в процессе распада аустенита в окружающие участки.

На рис. 4.17 показан температурный интервал формирования видманштеттова феррита в стали в зависимости от содержания в ней углерода (данные Г.В. Курдюмова).

Видманштеттов феррит располагается преимущественно внутри зерен аустенита, а феррит, полученный по нормальной схеме, – вдоль границ (доэвтектоидный феррит). При этом относительное количество того или иного феррита изменяется в зависимости от температуры аустенизации и содержания углерода в стали.

138

Вработах ранее выполненных на кафедре СПиТКМ ПГТУ подсчитана площадь шлифа, занятая видманштеттовой структурой, грубость которой оценивается баллом. Балл назначался эмпирически для конкретных условий данного эксперимента и не мог использоваться для сравнения результатов из других работ.

Вработе Н.М. Де Риссона для аналогичных материалов фиксировались следующие параметры: площадь структуры первичного феррита, феррита со вторичной фазой, соотношение зон грубого и мелкого зерна

вшве и ЗТВ. И в том и в другом случае отсутствует общеструктурный

количественный параметр структуры, способный характеризовать ее в целом, тем более уловить ее фрагментарность или скрытую периодичность.

Значительный интерес в направлении количественного описания видманштеттовой структуры представляет фрактальный анализ, позволяющий связать традиционные характеристики изучаемой структуры с обобщенными фрактальными размерностями. За основу был взят подход, описанный выше (метод сеток), а также упрощенный вариант метода В.С. Ивановой для анализа поверхностей излома металлов.

4.7.2. Алгоритм фрактального анализа видманштеттовой структуры

Для того чтобы к изображению реальной структуры металла сварного шва можно было применить алгоритм фрактального анализа, необходимо откорректировать изображение. Полицветное изображение, которое наблюдают через оптическую систему микроскопа и транслирующую видеокамеру, на экране монитора компьютера не поддается анализу, поскольку состоит из 256 тонов и оттенков цвета. Свойство фрактальности изображения проявляется в том случае, если четко (в цифровом выражении) указан объект исследования. Для фрактального анализа необходимо получить два цветовых полюса – черное и белое, соответственно в цифровом кодировании – 0 и 1. Таким образом, еще до начала выполнения алгоритма самого фрактального анализа нужно провести подготовительные действия:

1) решить, что для данной структуры будет являться мерой, обозначить ее соответственно 0, всем остальным структурным составляющим присвоить индекс 1. Например, при анализе феррито-перлитной структуры: 0 присваивали участкам феррита, все остальное – 1. При анализе пористых структур: 0 – это область, занимаемая на шлифе порой, 1 – это вся оставшаяся металлическая матрица. Варьирование границ распознавания полутонов производится параметром k, который можно задать в пределах от 0 до 256. Все светлые участки на реальном

140