книги / Упругопластические решения и предельное состояние
..pdf4.5. К расчету диска с учетом ползучести материала |
91 |
одноосном растяжении скорость деформации на установившем ся участке может быть принята в виде степенной зависимости
£ = d^/dt = Ат",
где А и п — константы, известные на основе экспериментов. Если после исходного нагружения диска во времени прояв
ляется ползучесть, то сначала происходит изменение напряжен ного состояния — это неустановившаяся стадия процесса. Затем увеличение размеров диска происходит при установившемся на пряженном состоянии, отличном от исходного. Если большая часть деформаций происходит с постоянной скоростью, то приближен но, пренебрегая начальной упругой или пластической деформаци
ей и первой стадией ползучести, можно считать ё = £ = / (о). Аналогично рассмотрению пластических свойств материала
для описания ползучести вращающегося диска с отверстием ис пользуем условие Треска—Сен-Венана. Пластическая деформа ция епл при этом условии (а, —о3 = аг) представляет собой чи стый сдвиг в плоскости главных осей 1 и 3, т. е. осей действия ст, = Oj и с. = а3. Указанный сдвиг выражается через значения соответствующих деформаций е"л = е™ и е"л = е™. В направле нии среднего по величине напряжения <тг = а2 необратимой де формации не происходит, е"л = е2,л = 0.
Тогда из условия несжимаемости материала получаем
ej" + в;л + е?л = в™ + е™ + е™ = е” + е™ = 0,
т.е. б™ = —е™.
Вслучае ползучести материала основной закон процесса свя зывает главные напряжения а, = а, и ст3 = а. = 0 со скоростями
деформаций 4i = 4/ и 4з =
4| - 4 з = /(®1-®э)-
Среднее напряжение ст2 = стг> а скорость деформации = 0. Необратимые деформации ползучести аналогичны не обратимым деформациям пластичности, поэтому справедливо ус
ловие неизменности объема, записанное в виде |
+ £з = 0 |
|
или в виде 4i + + 4з = 0, откуда £3 = -4i- |
|
|
На основании полученных соотношений |
|
|
4, = |
= |
(4.15) |
92 |
4. Расчет вращающегося диска |
Условие 4Г = dii/dr = 0 указывает, что изменение во време ни радиальных деформаций не происходит, т. е. скорость ра диальных перемещений й(г) для всех точек диска одинакова, й(г) = С = const. Однако изменение радиальных перемещений при водит к изменению окружных деформаций, и так как ^,~et = и/ /*, то
i= C /r , |
(4.16) |
Найти значение С — это значит найти скорости увеличения размера диска. С этой целью из уравнений (4.15) и (4.16) получаем
(4.17)
уравнение (4.2) представляем в виде
= о, -рш 2г2,
dr
и после интегрирования находим
r-V 'd r- рш2^ -
Для диска с отверстием граничное условие (a)r=a = 0 выпол няется тождественно, а из условия на наружном контуре опреде ляем С. Например, если (стг)гяА = 0, то
У• J r~4ndr - р со2 (Ь3 - аг)/з = 0.
Характерно, что для диска переменного профиля распределе ние тангенциального напряжения также отвечает уравнению (4.17) и не зависит от профиля диска.
5ЗНАКОПЕРЕМЕННОЕ МАЛОЦИКЛОВОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
5.1 . ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Несущая способность элементов, подвергающихся повторным нагружениям, определяется циклическими свойствами конструк ционного материала. В этих ситуациях ориентация на упругость уже лишена смысла, поскольку упругость соответствует поведе нию материала лишь при достаточно малых напряжениях и де формациях и не возникает необходимость в проведении расчетов по предельному состоянию.
Малоцикловое деформирование и малоцикловая прочность связаны с малой упругопластической деформацией, которая вы зывает упрочнение (наклеп) металла, т. е. повышение его предела текучести. Другой особенностью циклического деформирования является наличие процессов, подготавливающих разрушение ма териала.
Различные факторы (конструктивные, технологические и экс плуатационные) влияют на малоцикловые свойства. Как правило, это влияние учитывают на основе результатов эксперимента, ис пользуя соотношения, носящие эмпирический или полуэмпирический характер (использование методов аппроксимации). В то же время при разработке новых узлов элементов конструкции возникает необходимость проводить в процессе проектирования оценку малоцикловой прочности для различных вариантов вы полнения и для различных условий работы конструкционного материала. В тех случаях, когда конструирование выполняется методами САПР (системы автоматизированного проектирова ния), использование эмпирических соотношений неиелесооб-
94 |
5. Знакопеременное малоцикловое деформирование |
разно. В этом случае эффективно компьютерное моделирование поведения конструкционного материала (компьютерный анализ, численный эксперимент или компьютерный эксперимент). Рас сматриваемые варианты анализируются на основе математичес кой модели деформирования вплоть до разрушения.
Компьютерный эксперимент позволяет исследовать проявле ние логических следствий, вытекающих из представлений о де формировании конструкционного материала. Это исследование не может предсказать или описать новый физический закон, но может выявить новые связи, предсказать существование не оче видных на первый взгляд соотношений.
5 .2 . УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ С ЛИНЕЙНЫМ УПРОЧНЕНИЕМ
Диаграмма упругопластического материала с линейным уп рочнением приведена на рис. 5.1. Пластическое деформирование сопровождается линейным упрочнением, причем коэффициент к упрочнения удовлетворяет условию к <ЗСЕ. В этом случае если е, < е7, то а,- = £е„ а если е,- > а г, то а, = л^г + ке{= а* + keh где Л = 1 - к/Е.
Математическую модель упругопластического тела с линей ным упрочнением распространим на ситуации повторных знако переменных нагружений. При этом ограничимся рассмотрением одноосного напряженного состояния при растяжении и сжатии.
Математическую модель проиллюстрируем феноменологичес кой моделью, построение которой (рис. 5.2, а) основано на пред ставлении силовой деформации материала в виде суммы
е = 8е + в™,
где ее — упругая деформация, е™ — пластическая (необратимая) деформация, которая может быть определена разгрузкой матери-
Рис. 5.1. Схематизированная диаграмма
5.2. Упругопластический материал с линейным упрочнением |
95 |
ала и (или) графическим построением на диаграмме а —в на ос нове условия упругой разгрузки. Для упругопластической среды используют следующую аналогию. Действующая сила и переме щение точки ее приложения отражают напряжение и деформа цию материала. До тех пор, пока абсолютная величина напря жения а меньше значения о Т, материал деформируется упруго, епл = 0; ве = с/Е .
Затем при увеличении действующей силы, когда абсолютная величина напряжения превысит значение стг, начинается пласти ческое деформирование материала:
6™ = (a - a T)/bE = S/bE.
Усилие S пропорционально пластической деформации,
|
|
|
|
S = ЬЕгт |
|
|
|
|
(здесь параметр b |
1,0); |
|
|
|
|
|
||
Е |
JL . |
. |
Н |
. 1 |
, г |
Н |
|
оТ |
К |
— ; |
by |
ЬЕу |
- у , |
ег = |
|||
’ |
м2 ’ |
|
м2 |
|
1 |
м |
1 |
Е |
При описании исходного нагружения математическая модель имеет следующий вид:
если |в| < вг = <зт/Е> то о = Ее;
если |в| > еГ, то S = ЬЕе™, а = сгг + S.
Учитывая, что епл = е —а/£, получаем
а = а г /(1 + b) + ЬЕе/(1 + Ь) = а* + кг.
96 |
5. Знакопеременное малоцикловое деформирование |
Метод взаимного перестроения диаграмм а —е и а —епл при веден на рис. 5.2, б:
Для произвольной точки А, поскольку
аА = |
+ ЬЕ*™ = ат+ЬЕ ^ |
- Ц - j , |
||
получаем |
|
|
|
|
ол = Стг + кгА или а А = |
+ гА -— - |
|||
л |
т А |
л |
1+Ь |
А \+Ь |
и, сопоставляя множители при гА, получаем
ЬЕ = к(\ + Ь)>к .
В случае, когда происходят изменение знака (реверсирова ние) нагрузки и последующая смена упругой разгрузки и упруго го состояния упругопластическим, имеет место эффект Баушингера. Эффект заключается в отличии предела текучести Т в на правлении текущего (после реверсирования)' упругопластического деформирования от предела текучести исходной диаграммы. Для описания свойств конструкционного материала в указанной си туации, а именно для отражения величины напряжения, при ко тором упругое состояние сменяется упругопластическим, исполь зуют различные подходы (диаграмма на рис. 5.3):
•независимость предела текучести после реверсирования от исходного нагружения (точка В диаграммы);
•изотропное упрочнение (точка С диаграммы), когда значе ние предела текучести после реверсирования принимают равным
5.3. Циклически стабильный конструкционный материал |
97 |
по абсолютной величине значению напряжения аА в конце ис ходного нагружения;
• идеальный эффект Баушингера (точка D диаграммы), когда абсолютное значение предела текучести после реверсирования принимается равным |аг —»S|.
Отметим, что, поскольку реальное нагружение материала в конструкции не ограничивается разовым реверсированием, ма тематическая модель должна отражать любые виды реверсирова ния в процессе деформирования.
5.3. ЦИКЛИЧЕСКИ СТАБИЛЬНЫЙ КОНСТРУКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
Рассмотрим функционирование математической модели, от ражающей идеальный эффект Баушингера, в ситуации повтор ного реверсирования. До реверсирования имеем (рис. 5.4, а, б)
о M = °T + SM = aT + bEt’fi,
предел текучести Т сжатия после исходного растяжения и ревер сирования равен (—а т+ SM), а дальнейшая траектория соответ ствует уравнению прямой, проходящей через точку Я с коорди натами ( -а г + ‘S,A/); eJJ:
а - ( - c r + 5w) = /.£(£"■-8^).
Имеем а = —ат+ ЬЕгпл, т. е. после реверсирования из любой точки исходной диаграммы переходим на аналогичный упруго-
Рис. 5.4. Траектория при идеальном эффекте Баушингера в коор-
динатах
а — а(е); б — а(е™)
98 |
5. Знакопеременное малоцикловое деформирование |
пластический участок другой ветви исходной диаграммы. Повтор ное реверсирование вызовет переход на направление упругопла стического участка исходной диаграммы (рис. 5.4, б).
Математическая модель отражает изменение пластической деформации лишь при движении по прямым (рис. 5.5)
ст = а* + кг,
о= -а* + кг
исодержит ограничение, которое заключается в том, что траекто рия рабочей точки не может находиться вне области, ограничен ной этими прямыми. Если пластическая деформация остается не
изменной, то рабочая точка движется по прямой а =
где бр1 — значение пластической деформации на предыдущем этапе расчета.
Для определения напряжения необходимо знать в фиксиро ванный момент времени значения Е, e™, г. Предварительно вы числяют значения
cjj = £(б-е™ ), ст2 = o'sgncj! + кг.
Затем на основе указанного ранее ограничения принимают напряжение в материале а = ст15 если (с^ — а2)а] > 0. В ином случае а = ст2, причем тогда следует вычислить новое значение пластической деформации eJJone - a 2/ £ , которое используется в расчетах при следующем значении г. Рассмотренный вариант ма тематической модели отражает циклически стабильные свойства конструкционного материала, так как участки траектории рабо чей точки при повторном реверсировании повторяются.
а
a
/ |
1/ lu 2 |
"е 0 |
цикла |
/ |
! |
Знакопеременные циклы |
|
. |
|
||
е ™ / |
В А |
|
|
- a *
Пульсационные циклы
Рис. 5.5. Расчетные значения о „ сг2 и амплитуда е0 ц и к л о в :
а — расчетные значения напряжений; б — знакопеременные никлы; в — пульсационные циклы
5.4. Циклически упрочняющийся конструкционный материал |
99 |
5.4. ЦИКЛИЧЕСКИ УПРОЧНЯЮЩИЙСЯ КОНСТРУКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
Рассмотрим функционирование математической модели, от ражающей изотропное упрочнение в ситуации повторного ре версирования. До реверсирования имеем (рис. 5.6)
а л/ = а г + *$л/ = ° т +^ ел?>
предел текучести Т сжатия после исходного растяжения и ревер сирования равен ( - а Л/), а дальнейшая траектория соответствует уравнению прямой, проходящей через точку Н с координатами (-адД (4t ~ 2а Л,/£ ). Таким образом,
если (ел(. - 2аи /Е ) < е < е„, то
о = f [е - |
(ем - <%/£)], |
если е < (е„ - 2с м/Е ), то |
|
а = -сгд,(1 - А)/(1 + |
Ь) + ЬЕ(г - £,„)/( 1 + А). |
Эти уравнения могут быть записаны в общем виде, если счи тать, что значения оЛ{ и гм достигнуты не при исходном дефор
мировании, а (см. рис. 5.6) в конце j - го полуцикла (J = 0, |
1,2, |
|
3,..., N ): |
|
|
если (бу —2сту/£ ) |
< в < ву, то |
|
|
а = £ [ в - ( е у - о / £ ) ] , |
|
если в < (ву —2Оу/£), то |
|
|
a = -cr/1 |
- b)/( 1 + b) + Щ е - ву)/(1 + 6). |
(5.1) |
Рис. 5.6. Изотропное упрочнение:
а — реверсирование; б — изменение за цикл
100 |
5. Знакопеременное малоцикловое деформирование |
Характерной особенностью рассматриваемой математической модели является описание свойств циклически упрочняющегося материала. Эта особенность проявляется уже с первого цикла деформирования при различных программах испытания.
Приведем результаты сопоставления деформирования в зна копеременном симметрическом цикле и в пульсационном цик ле. В этих простейших ситуациях анализ поведения конструкци онного материала может быть выполнен без применения вычис лительной техники.
Знакопеременное симметричное деформирование. Деформация г изменяется в пределах —е0 < в < е0 (см. рис. 5.5). При исходном (у = 0) деформировании имеем
а м = ( а Т + 6£е0)/(1 + Ь) = £ е0 - (£ е0 - а г )/( 1 + Ь). |
(5.2) |
После первого реверсирования на основании уравнения (5.1) имеем
а = [ ~ а ,А Ь)(1 +- ЬЕ(е - е 0)3/(1Ь) +
и в конце полуцикла у = 1 при е = - е 0 и (е —е0) = —е0 —е0 = —2е0 получаем с учетом значения ам из (5.2)
= - т т 1 [ £ е » - Т Т а ( £ е» - СТг) ] - Т Т й 2 £ Е » =
=" h " ^ (£e° - 4
(здесь суммированы первое и последнее слагаемые). После второго реверсирования на основании (5.1)
а = -Oj (1- b)/(1 + Ь) + ЬЕ (е - ^ )/(1 + Ь),
и в конце полуцикла у = 2 при е = е0 и (е - е{) = е0 —( -е 0) = 2е0 получаем
1 -Ь
~1 + Ь £Eo' n(иT* )F (Ee° " CTr)+TT62£eo =
(5.4)
=Ее0 - о - * ) 2 (£ е ,
а+ 6 )3
(здесь также суммированы первое и последнее слагаемые).