книги / Упругопластические решения и предельное состояние

Вариационные оценки для эффективных постоянных двух­ компонентных сред получают на основе теорем о минимумах потенциальной и дополнительной энергий.

Исходя из принципа минимума потенциальной энергии и линейной зависимости поля перемещений от координат, получа­ ем, что эффективные модули не превышают значений kv и цу. Определение модулей жесткости приводит к следующим зависи­ мостям:

ky = Vf k f + VJc„\

(6.4)

Исходя из минимума дополнительной энергии при постоян­ ных напряжениях, получаем, что эффективные модули ограни­ чены снизу величинами:

Таким образом, значения эффективных модулей находятся в интервалах:

кя < к < к у, рЛ < р < р и.

Нижние границы кя> известны как оценки Рейсса, верхние ку, liy есть оценки Фойгта.

Получение оценок эффективного модуля всестороннего сжа­ тия основывается на сопоставлении энергии деформации при из­ менении упругих постоянных материала. Сравнивают два неодно­ родных тела одинаковой формы, на границах которых заданы оди­ наковые величины смещений. Оба тела локально изотропные, а модули сдвига и объемного сжатия есть функции координат.

Пусть модули упругости первого тела £,(*), pj(x) не меньше модулей упругости второго тела к2(х), р2(х):

к1(х )> к2(х), щ(*) £»!,(*)•

Тогда энергия деформации первого тела не меньше, чем энергия деформации второго.

Следовательно, если модули упругости компонент одного композита не меньше модулей упругости компонент другого, то эффективные модули упругости первого композита не ниже, чем эффективные модули второго. Если в композите увеличить мо­ дули упругости компонент, то возрастут и эффективные модули.

Получим двусторонние оценки для модуля объемного сжатия. Имеется исходный материал с модулями объемного сжатия вклю­ чений kf и матрицы кт и модулями сдвига фаз \if и р,„ (\xf > p j. Введем в рассмотрение два «новых» материала. У обоих матери­ алов модули объемного сжатия компонент и формы включений такие же, как у исходного материала. Но в каждой точке модуль сдвига первого материала р/} а второго р,„. Материалы при дей­ ствии сдвигающих нагрузок ведут себя как однородные с моду­ лями М/И р,п. Модуль объемного сжатия материала, у которого модуль сдвига постоянный, определяется формулой (6.2).

Применяя эту формулу для «новых» материалов, получим:

(6.6)

Здесь через к{+) обозначен модуль всестороннего сжатия ма­ териала, у которого модуль сдвига матрицы увеличен до уровня модуля сдвига включений, а через &(_} — модуль всестороннего сжатия материала, у которого модуль сдвига включений, наобо­ рот, уменьшен до величины модуля сдвига матрицы.

Таким образом, получены более строгие оценки для эффек­ тивного модуля, чем оценки (6.4) и (6.5). Для оценок (6.6) спра­ ведливы следующие неравенства:

£(_)<&<

Композиты с волокнистыми наполнителями

Волокнистый композит моделируется системой однонаправ­ ленных параллельных прямолинейных волокон, уложенных в матрицу (рис. 6.5). Волокна представляют собой цилиндры, и материал можно считать двумерным аналогом гранулированного

Рис. 6.5. Модель волокнистого од­ нонаправленного композита

композита. Обычно волокна располагаются в поперечной плоскости случайным образом, и поэтому композит оказывает­ ся изотропным в поперечной плоскости.

Для линейно-упругих тел справедлив закон Гука

А / - А ,

ES

где F — продольная сила; / — длина тела; S — поперечное сече­ ние; Е — модуль Юнга; А/ — удлинение тела.

Закон упругости, отнесенный к осям симметрии ортотропного материала, записывают следующим образом:

где v — коэффициенты поперечных деформаций; £ — модули нормальной упругости; G — модули упругости при сдвиге; о — нормальное или сдвиговое напряжение; е — нормальная или сдви­ говая деформация.

Известны, по крайней мере, три возможных механизма раз­ рушения при растяжении: распространение трещины в матрице, множественные разрывы волокон вследствие накопления повреж­ дений и из-за объемного растрескивания слабейшего компонен­ та. Разрушение материала при сжатии происходит из-за потери устойчивости волокон или в результате исчерпания прочности матрицы. При развитии зон неупругого поведения материала происходит сложная эволюция форм разрушений; обширные зоны множественного растрескивания порождают магистральную тре­ щину; потеря устойчивости отдельных слоев приводит к общему расслоению конструкции и т. д. Анализ прочности усложняется из-за высокой чувствительности материала к некоторым видам повреждений и несовершенств. Кроме того, адекватные матема­ тические модели физических процессов разрушения сложны и многообразны, не всегда рассматриваемые с их применением за­ дачи решаются доступными средствами.

При проектировании и оптимизации следует пользоваться до­ статочно точными и надежными, но в то же время простыми моделями. Это требование объясняется тем, что в процессе при­ нятия оптимального решения приходится неоднократно рассчи­ тывать напряженное состояние конструкции и проверять выпол­ нение критериев прочности. Они должны быть применимы при сложном напряженном состоянии и допускать возможности ва­ рьирования структуры армирования материала. Отсюда следует, что величины пределов прочности при сложном напряженном состоянии должны быть представлены как функции концентра­ ции включений и связующего материала, их пределов прочнос­ ти, ориентации волокон в монослоях. Задача эта чрезвычайно сложная. В итоге при оптимизации часто ограничиваются ис­ пользованием приближенных моделей прочности. Принимают следующие упрощения.

1. Критерий разрушения отождествляется с условием локаль­ ной прочности. Это означает, что прочность конструкции счита­ ют исчерпанной, если хотя бы в одной точке функция напряже­ ний превысит предельное значение. При этом не рассматривают распространение зоны повреждений, не изучают вопросы при­ способляемости и предельной несущей способности.

2.Задачу определения прочности, как правило, исследуют в статической постановке.

3.Композит считают сплошной средой, макроскопические ха­ рактеристики которой зависят от свойств материала на микроуров­

Прочность волокнистыхкомпозитов припродольномсжатиивдоль волокон

Оценку прочности при сжатии (рис. 6.9) определяют выраже­ ниями, аналогичными оценкам при растяжении:

Более точные значения предела прочности при сжатии полу­ чают, если учитывают потерю устойчивости волокон. Критичес­ кое напряжение в композите, при котором происходит потеря устойчивости,

оретически предсказанная величина д„ превосходит экспериментально измеренные значения примерно вдвое.

Прочностьволокнистыхкомпозитов припоперечномрастяжениии сдвиге

Для оценки прочности применяют модели (рис. 6.10), осно­ ванные на рассмотрении правильных периодических укладок волокон.

Принято, что разрушение композита определяется разруше­ нием матрицы при достижении в некоторой точке максимально допустимой концентрации напряжений. Оценку коэффициентов концентрации напряжений проводят либо на простейших моде­ лях, не учитывающих взаимное влияние волокон, либо с помо­ щью численных приближенных методов.

Простейшие формулы для оценки концентрации напряжений имеют вид:

Если в хрупкой матрице максимальные напряжения достига­ ют предельного значения:

(ст^)шхх=°»;

(СТ12)пвх = Т »>

то композит начинает разрушаться. Предельные значения сред­ них разрушающих напряжений в композите равны:

(6.18)

Приведенные зависимости описывают модели КМ, создан­ ные с целым рядом допущений и погрешностей.

6.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ИОПТИМИЗАЦИЯ КАЧЕСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ, ТЕХНОЛОГИИ ИХ ПРОИЗВОДСТВА

ИИССЛЕДОВАНИЯ НА ОСНОВЕ САПР

Вероятностно-статистическая концепция анализа и оптими­ зации инженерных решений в области материаловедения и тех­ нологии, где системный подход и многофакторное моделирова­ ние на основе алгоритмического планирования эксперимента сочетаются с физико-химической механикой и общей теорией КМ, включает в себя четыре базовых положения.

1.Создание КМ без оптимизации его структуры и свойств техни­ чески нецелесообразно и экономически неэффективно; оптимиза­ ция должна отвечать целям эксплуатации материала в конструкциях.

2.Основа оптимизации рецептурно-технологических реше­ ний заключается в системном подходе к объектам, алгоритмизи­ рованном эксперименте и математическом моделировании. Оп­ тимальными должны быть процессы как изготовления материа­ ла, так и его экспериментального исследования и моделирования.

3.Оптимизация структуры, свойств и технологии КМ базиру­ ется на физико-химической механике и должна соответствовать критериям экономии ресурсов при заданном уровне качества го­ товой продукции. Моделирование рецептурно-технологических ситуаций без учета физических закономерностей структурообра-

'зования и особенностей материалов малоэффективно, так как дает лишь локальный успех.

4. Оптимальное математическое обеспечение решения задач анализа и оптимизации КМ — автоматизированные на базе ЭВМ системы и ориентированные на работу с ними инженеры-техно- логи и материаловеды. В таких системах обязательны блоки ти­ повых инженерных решений рецептурно-технологических задач и синтеза оптимальных планов экспериментально-статистичес­ кого моделирования.

Цели оптимизации в общем случае могут быть двух взаимо­ исключающих типов. Первый — достигнуть максимума критерия оптимизации, израсходовав любую часть выделенного ресурса; второй — получить заданный уровень критерия качества объекта при минимальном расходе ресурсов.

В инженерной практике задачи второго типа встречаются зна­ чительно чаше, чем первого.

Приведем пример.