книги / Упругопластические решения и предельное состояние

3.4. Напряженно-деформированное состояние при тепловом воздействии 71

тогда на основании

получим

что после подстановки в разрешающее уравнение (3.25) дает

Полученное уравнение отличается от (3.26) лишь множите­ лем. Поэтому для диска температурные напряжения ог и а, могут быть вычислены по формулам, аналогичным (3.27) и (3.28), если вместо множителя Е/( 1 — р) ввести множитель £. В связи с этим температурные напряжения о,, а, в диске составляют лишь (1 - р) • 100 % = 70 % от соответствующих напряжений в цилин­ дре (штрихпунктирная линия на рис. 3.7).

I РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА

Напряженно-деформированное состояние в диске зависит от центробежных сил собственно диска, нагрузок на наружном и внутреннем его контурах, которые обусловлены конструктив­ ными параметрами узла диск-вал и узла диск-обод (они также имеют центробежный характер), и от неравномерного нагрева. При этом конструкционный материал должен удовлетворять тре­ бованиям коррозионной стойкости, а при эксплуатации в ус­ ловиях повышенных температур — требованиям жаропрочности и жаростойкости. Например, при температуре рабочего тела до 250°С для дисков применяются алюминиевые сплавы, при температу­ ре до 500—550 °С — конструкционные стали, выше этих темпе­ ратур — специальные стали и сплавы на никелевой основе (см. Приложение).

Рассмотрим вращающийся с постоянной угловой скоростью ш диск постоянной толщины h с внутренним радиусом а и наруж­ ным радиусом b (рис. 4.1). По внутреннему контуру диск нагру­ жен равномерно распределенной нагрузкой ра, а по наружному — нагрузкой рь. Нагрузка ра возникает в результате посадки диска на вал с натягом, а нагрузка рь отражает воздействие на диск соединенных с ним рабочих лопастей или лопаток, либо силово­ го обода. Обычно число лопаток велико, и эту нагрузку можно считать равномерно распределенной по поверхности диска. На­ гружение диска носит осесимметричный характер: напряжения, деформации и перемещение и являются функциями только ра­ диуса; касательные напряжения в радиальном и окружных се­ чениях отсутствуют; напряженное состояние во всех точках дис-

4,1. Напряженно-деформированное состояние

Рис. 4.1. Расчетная схема диска

ка двухосное, а напряжения — окружное а, и радиальное аг — суть главные напряжения; в направлении оси z диска напряже­ ние а. = 0. Такое напряженное состояние называется плоским осесимметричным напряженным состоянием.

4 .1. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ УПРУГОМ НАГРУЖЕНИИ МАТЕРИАЛА

Рассмотрим сначала случай упругого поведения конструкци­ онного материала. Из обобщенного закона Гука для силовых де­ формаций е% е?

(4.1)

следует

Кроме того, напряжения подчиняются уравнению равнове­ сия в проекциях усилий на направление г с учетом инерционной нагрузки

(4.2)

где р — плотность материала; со — угловая скорость.

Окончательно

(4.4)

тогда из (4.2.1)

(4.5)

+ -^2 j (аТ)rdr- Е(аТ) +Ct - С2\ +р(п2г2.

Постоянные интегрирования находим из граничных условий

К Ц „ = Ра И (о,)гш> = РЬ■

Радиальное перемещение и является расчетным конструктив­ ным параметром узлов диск-вал и диск-обод (например, для рас­ чета контактных напряжений «натяга») и рассчитывается из со­ отношения

Полные радиальные перемещения иаи иьконтуров диска скла­ дываются из радиального силового перемещения

"с

где а ,и а г — окружное и радиальное напряжения соответственно на внутреннем и наружном контурах, и температурного переме­ щения

ит= га .Т .

Выполним анализ напряженного состояния диска для ситуа­ ции (а Г) = 0.

1. Сплошной диск (рис. 4.2). Используем формулу (4.4)

нимает значение р = 3,42 (при р = 0,3).

Для больших значений параметра р имеет место иь > иа. Как правило, эксплуатационный режим вызывает упругое

нагружение материала диска. Вычисление возникающих при этом напряжений и деформаций является первым этапом расчета. За ним следует оценка общей и местной прочности на основе рас­ смотрения кинематически возможного предельного состояния диска, т. е. оценка предела прочности рассматриваемого элемен­ та конструкции.

4.2 . РАСЧЕТ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ НАЧАЛУ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ, И ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Найдем величину угловой скорости шг, при которой в диске начинают возникать пластические деформации. Для равномерно нагретого вращающегося диска без отверстия и без контурной нагрузки (см. рис. 4.2) наиболее опасной является центральная точка, в которой окружное и радиальное напряжения равны по величине: ст, = ог = а 0. Если воспользоваться теорией малых уп­ ругопластических деформаций, то при г = 0 эквивалентное на­

пряжение О/ = yja2r - с га ( + а ) и пластические деформации нач­

нутся, когда

а угловая скорость

(4.9)

Для диска с центральным отверстием наиболее опасным яв­ ляется окружное сечение внутреннего контура. Напряженное со­ стояние здесь одноосное, так как аг = 0; а. = 0.

Окружное напряжение

4.2. Расчет угловой скорости и предельного значения угловой скорости 79 а угловая скорость

(4.10)

При со > сог в диске возникает кольцевая область пластичес­ кого деформирования материала, примыкающая к внутреннему контуру диска. Для определения зависимости радиуса границы, разделяющей упругую и пластическую области, от угловой ско­ рости можно, в отличие от условия начала текучести а, = аТ, использовать более простое условие теории наибольших касатель­ ных напряжений (условие пластичности Треска—Сен-Венана).

Максимальное касательное напряжение возникает на площад­ ках, равнонаклоненных к площадкам наибольшего и наимень­ шего главных напряжений, и шахт = (а, - а3)/2 равно полуразности этих напряжений.

При одноосном растяжении пластические деформации нач­ нутся, если шахт > а т/2 и, кроме того, начало пластических сдвигов соответствует условию шахт = т7. Из последних двух равенств получаем тг = <тг/2. Поэтому для сложного напряжен­ ного состояния условие начала пластических деформаций име­ ет вид а, —а 3 = с т.

Для рассмотренных примеров определения угловой скорости %, соответствующей началу пластических деформаций, расчет по теории наибольших касательных напряжений дает тот же ре­ зультат (см. (4.9) и (4.10)), что и расчет по теории малых упру­ гопластических деформаций. Это происходит потому, что рас­ сматриваются вращающиеся диски, где а, > аг > 0; = а„ а3 = 0 (см. рис. 4.2 и 4.3) и условие пластичности также принимает вид

При оценке запаса прочности несущественна эпюра распре­ деления напряжений в пластической и в упругой областях, когда радиус границы, разделяющей эти две области, зависит от угло­ вой скорости. Необходимо знать лишь величину предельной уг­ ловой скорости (Dj, когда пластическая область охватывает весь диск и несущая способность диска полностью исчерпывается.

Указанное состояние называют предельным, так как становит­ ся возможным существенное возрастание деформаций без даль­ нейшего увеличения внешней нагрузки, а эта ситуация (сравни­ вая с растяжением образца) соответствует исчерпанию несущей способности конструктивного элемента.

80 4. Расчет вращающегося диска

Рассмотрим сначала сплошной диск постоянной толщины. Решение несложно получить методами теории размерностей. В случае использования расчетной схемы идеально пластичного конструкционного материала величина coj определяется парамет­ рами р, by ат.

Из величин ш„ р, by атможно образовать единственную без­ размерную комбинацию

ar/p62coJ = 1/С2.

Поэтому

0)j = CyjaT/pb2 у

где С — безразмерная константа.

Для диска с отверстием предельная угловая скорость coj зави­ сит еще от одного параметра — а. Значение oij определим, ис­ пользуя уравнение равновесия (4.2) в ситуации, когда а,(г) везде равно ат(т. е. Oj —ст3 = а, = ат):

d a г/ dr + ( а , - а ,)/г + p fflfr = 0 ,

ИЛИ

■£-(о,г) = ат- р т У ;

интегрируем

arr = aTr - p©Jr3/3 + А;

из граничного условия (аг)г-а = 0 определяем

A = -o ra + pG>ja3/3,

из граничного условия (ar)rsb = 0 получаем

атЬ - р со ?63/3 - ата + р cofа3 = 0,

откуда предельное значение угловой скорости

Принимая а - 0, получаем значение предельной угловой ско­

рости для диска без отверстия; С = >/3. Если исходить из теории малых упругопластических деформаций, то для этого случая зна­