книги / Упругопластические решения и предельное состояние

так как напряжение а по ширине сечения постоянно. Тогда dF — bdy, и получаем

где F{ и F2 — площадки участков сечения, в которых действуют соответственно растягивающие и сжимающие напряжения.

Когда М > МТ, в области поперечного сечения, наиболее уда­ ленной от нейтральной оси, имеют место пластические деформа­ ции (пластическая область), а в остальной части сечения высотой а деформации остаются упругими (упругая область), рис. 1.3, в.

На границе между упругой и пластической областями дефор­ мация er = Gt/E = а!2р, откуда 1/р = 2ат/Еа.

В упругой области а = Еу/р = 2оту/а, а в пластической — а = ог Для прямоугольного сечения имеем

По мере увеличения изгибающего момента размер а упругой

области уменьшается. При предельном значении М изгибающе­ го момента он станет настолько малым, что практически его можно принять равным нулю (см. рис. 1.3, г). Значение предельного момента для прямоугольного сечения определяется из формулы (1.3) при а = О

По этой же формуле (1.3) получим с учетом значения М вы­

ражение для размера упругой зоны при условии М т< М < М :

a = h p { \- M lM ) .

Сравнение для прямоугольного сечения значений М т= c Tbh2/6

и М = <зтЬИг14 и показывает, что после достижения в наиболее опасных точках си/предела текучести изгибающий момент мо­ жет быть увеличен в 1,5 раза до достижения предельного состоя­ ния, когда пластические деформации распространятся по всему поперечному сечению.

Если сечение несимметрично относительно оси х, предель­ ный изгибающий момент сечения вычисляют также по формуле

W/W = 1,5.

Для двутаврового сечения (профиль №10)

W = 39,7• W"6 м3;

fP = .S,+.S2 = 25, =2-23 = 46 10-6 м3;

(Г/РК = 1,16.

При заданных свойствах материала (а7) требуется, чтобы зна­ чения W для каждой из сопоставляемых форм сечения были оди­

наковы. Еще задолго до достижения значения М = a TW в круг­ лом или прямоугольном сечениях образуются пластические об­ ласти. А при использовании двутаврового профиля пластические области возникнут при изгибающем моменте М> МТ, более близ­

ком к предельному, М т= Л7/1,16 = 0,86Л7. Значит, применение двутаврового профиля более целесообразно.

1.2 . ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ И ОБРАЗОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОГО ШАРНИРА

При чистом изгибе в поперечных сечениях возникают нор­ мальные напряжения az. Статическим эквивалентом этих напря­ жений является изгибающий момент в сечении.

В случае поперечного изгиба (рис. 1.5, а) в сечениях появля­ ется не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Сле­ довательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Однако для получения приближенного решения пренебрегают влиянием ка­ сательных напряжений и считают, что напряженное состояние одноосное. В этом случае при расчете можно использовать соот­ ношения (1.3)—(1.5) упругопластического изгиба.

ший момент является переменным по z, область поперечного сече­ ния, охваченная пластическими деформациями, по мере удаления от сечения z уменьшается и на расстоянии zT от опор полностью исчезает (см. рис. 1.6). Координату zr можно вычислить, приравни­ вая изгибающий момент в этом сечении моменту МТ:

Согласно Мт= Рт1/4 (см. (1.7)) получаем

Установим зависимость между размером а упругой области и координатой z для сечений, находящихся в упругопластическом состоянии.

Для случая, когда сечение имеет прямоугольную форму и ма­ териал не обладает упрочнением, ранее была получена формула (1.3), связывающая между собой размер а упругой области сече­ ния и изгибающий момент в этом сечении:

М = а тb4h 2

Так как М = Pz/ 2 и а тЬИ2/ 4 = Рт~ , получаем

P - i - i p r i U - j p

откуда

-ЯРШ

Граница пластической области, построенная на основании формулы (1.8), показана на рис. 1.6 сплошной линией (пласти­ ческая область на чертеже затенена).

По мере увеличения нагрузки Р пластическая область будет увеличиваться как по координате z, так и по координате у. При

предельном значении нагрузки Р размер а упругой области незна­ чителен в опасном сечении (пунктир на рис. 1.6). Максимальный

16 1. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

изгибающий момент при этом достигнет предельной величи­

ны Му определяемой по формуле (1.4), и дальнейшее деформиро­ вание будет происходить при постоянном значении нагрузки (см. рис. 1.3, г), поскольку эпюра напряжений практически не изменяет­ ся. В этом случае система превратится в механизм, состоящий из звеньев, соединенных между собой шарниром (рис. 1.5, б). Момент, препятствующий повороту в шарнире, равен предельному изгиба­

ющему моменту М сечения. Следовательно, при Р = Р в опас­ ном сечении образуется так называемый пластический шарнир, уменьшающий на единицу число связей, наложенных на систему.

Предельную нагрузку Л определяющую несущую способность, вычислим, приравнивая максимальный изгибающий момент пре­ дельному моменту (1.4):

Cjbh2

“ Г " ’

откуда Р = 1,5Рт.

В сечении z*> где М = Р/2 • z* = 0,5 • 1,5 - Рг • z* = M Ti с учетом значения Мтиз (1.8) получаем z* = 1/3. К достижению предель­ ного состояния пластические деформации распространились уже на одну треть длины балки.

Вывод. Начало образования пластических деформаций в наи­ более нагруженной точке еще не означает, что система (элемент конструкции) потеряла способность сопротивляться внешней нагрузке. Нагрузка может быть значительно увеличена, прежде чем в опасном сечении изгибающий момент достигнет предель­ ной величины и образуется пластический шарнир.

Понятие «пластический шарнир» может быть расширено. На­ пример, при изгибе полосы (рис. 1.7) действие предельного по­

гонного момента /й = а гЛ2/4, Н м/м, приводит к образованию цилиндрического пластического шарнира (цилиндрического шарни­ ра текучести) в сечении АБ полосы. При нагружении предельной нагрузкой круглой шарнирно опертой пластинки, изображенной на рис. 1.8, кинематически возможным состоянием является об­ разование конуса, поверхность которого в направлениях образую­ щей сплошь заполняют цилиндрические пластические шарниры.

Аналогичное нагружение круглой пластинки, жестко защем­ ленной по наружному контуру (заделка), сопровождается обра­ зованием кругового пластического шарнира (рис. 1.9).

Рис. 1.7. Образование ци­ линдрического пластическо­ го шарнира:

а — схема нагружения; б — ли­ нейный (цилиндрический) пла­ стический шарнир в опасном се­ чении

т

Р

Рис. 1.8. Образование сово­ купности цилиндрических шарниров:

а — схема нагружения круглой пластинки; б — кинематически возможное предельное состоя­ ние; в — коническая поверх­ ность — предельное состояние плоской круглой пластинки

го пластического шарнира по контуру пластинки:

а — схема нагружения; б — круго­

вой пластический шарнир на кон­ туре при предельной нагрузке Р

18 1. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

1.3. РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ И ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Выше (см. разд. 1.2) уже рассмотрено определение предель­ ного состояния и предельной нагрузки при поперечном изгибе статически определимой балки. Характерными в этой задаче были два обстоятельства. Во-первых, не составляет трудностей опре­ деление опасного сечения, где изгибающий момент имеет наи­ большее значение. И, во-вторых, образование лишь одного пла­ стического шарнира соответствует возникновению еще одной сту­ пени свободы и превращению статически определимой балки в геометрически изменяемую систему (механизм).

Для статически неопределимых систем образование только в одном сечении пластического шарнира не означает исчерпания несущей способности системы в целом, так как потеря одной связи не превращает еше такую систему в геометрически изме­ няемую.

Так, система п раз статически неопределимая превращается при образовании шарнира в систему (я —1) раз статически нео­ пределимую. А чтобы п раз статически неопределимая система превратилась в геометрически изменяемую с одной кинемати­ ческой степенью свободы, необходимо образование (и + 1) пла­ стического шарнира.

Следует отметить, однако, что возможно и частичное превра­ щение системы в механизм, т. е. в какой-либо одной области или части, тогда как другие части могут продолжать оставаться в гео­ метрически неизменяемых условиях. Примером может служить многопролетная неразрезная балка (рис. 1.10). Несущую способ­ ность следует считать исчерпанной, если в каком-либо одном пролете образуются три пластических шарнира (например, один шарнир в средней части, в том сечении, где изгибающий момент оказывается наибольшим, т. е. предельным, и два других пласти­ ческих шарнира в опорных сечениях, где моменты также дости­ гают предельных значений для этих сечений). Образование трех пластических шарниров в одном пролете исключает его эксплуа­ тацию, тогда как другие пролеты оказываются способными к даль­ нейшему нагружению. Таким образом, частичный механизм ис-

Рис. 1.10. Частичное исчер­ пание несущей способности:

а — схема нагружения; б — воз­ никновение степени свободы при образовании пластического шарнира в сечении А

черпания несущей способности возникает при числе пластичес­ ких шарниров, меньшем (п + 1), для п раз статически неопреде­ лимой системы.

Для статически неопределимых балок и рам эффективно ис­ пользование кинематического метода определения предельного состояния и предельной нагрузки. При этом задачу решают в такой последовательности.

1.Выясняют степень статической неопределимости заданно­ го конструктивного элемента.

2.Определяют число пластических шарниров, необходимое для превращения конструктивного элемента в механизм.

3.Устанавливают расположение пластических шарниров и кинематически возможные схемы образования механизма.

4.Составляют уравнение предельного состояния с использова­ нием принципа возможных перемещений для каждой из установ­ ленных схем (если в предельном состоянии система находится в равновесии, то работа всех сил, приложенных к ней (как внешних, так и внутренних), на возможных перемещениях равна нулю).

Подчеркнем следующее:

•«возможным» называют перемещение, допускаемое связя­ ми, наложенными на систему;

•величиной работы внутренних сил на участках между сече­ ниями, в которых образуются пластические шарниры, пренебре­ гают.

5. Определяют нагрузки, соответствующие различным уста­ новленным кинематически возможным состояниям. Наименьшая из них является предельной нагрузкой, соответствующее ей со­ стояние — предельным состоянием.

6. Выражают предельную нагрузку через геометрические раз­ меры конструктивного элемента и механические свойства конст­ рукционного материала.

20 1. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

Пример 1.1

►Балка прямоугольного сечения заделана одним концом, оперта другим и нагружена равномерно распределенной нагруз­ кой q (рис. 1.11). Балка один раз статически неопределима, для превращения ее в кинематически изменяемую систему (механизм) необходимо образование двух пластических шарниров. Величина предельного изгибающего момента в сечении, где образуется пла­ стический шарнир, равна М.

Чтобы установить сечение, где могут образовываться пласти­ ческие шарниры, изображаем примерный вид упругой линии бал­ ки (пунктирная линия на рис. 1.11) и эпюры изгибающих момен­ тов (штрихпунктирная линия). Используем общий принцип: эпю­ ра изгибающих моментов строится на сжатом волокне. Устанавливаем, что значения изгибающего момента в сечениях А и С могут привести к образованию пластических шарниров.

Кинематически возможная схема образования механизма при­ ведена на рис. 1.11. Положение сечения С не установлено, коор­ динату его обозначим величиной z& в дальнейшем подлежащей определению.

Возможным является перемещение 6 = CCV Перемещения в точках А п В запрещены связями. Если угол поворота звена ВС обозначить а = 5/*с, то тогда угол р поворота звена АС равен б/(/—zc) (здесь используем условие, что для малых углов tga = a, tgP = Р)- Повороту звена ВС относительно пластического шарни-

ov N

Рис. 1.11. Статически неопре­ делимая балка:

а — характер упругой линии из­ гиба и эпюры изгибающего мо­ мента; б — кинематически воз­ можная схема образования меха­ низма