книги / Упругопластические решения и предельное состояние

Е, тогда а,- = Е е, и, таким образом, учитываем упругий участок диаграммы. Сопоставление аппроксимаций диаграмм представ­ лено на рис. 2.3, г.

При решении упругопластических задач используют различные функции, аппроксимирующие диаграмму «напряжение—деформа­ ция». Выбор той или иной функции зависит от двух обстоятельств: от характера реальной диаграммы (ее схожести с аппроксимирую­ щей функцией) и от возможности получения инженерного реше­ ния задачи на основе выбора той или иной функции. Эти два об­ стоятельства связаны между собой, так как небольшое усложнение аппроксимирующей функции дает слишком громоздкое решение.

При распространении пластических деформаций в элементе конструкции состояние тех первых областей, откуда начались пла­ стические деформации, изменяется. Если материал работает с уп­ рочнением, то в этих областях будут увеличиваться и напряжения, и деформации. Если же материал может характеризоваться идеаль­ ной упругопластической схемой (т. е. не проявляет упрочнения, а, = аг), то напряжения отвечают условию пластичности в том виде, в каком оно использовано для исходного достижения пластичнос­ ти. Интенсивность напряжения сохраняется, а изменение дефор­ мации определяют из условия совместного деформирования упру­ гой и упругопластической областей элемента конструкции.

2.3. РАЗГРУЗКА МАТЕРИАЛА

При проектировании и изготовлении некоторых элементов конструкции предусмотрены специальные технологические опе­ рации, позволяющие посредством предварительного пластичес­ кого деформирования обеспечить в дальнейшем при эксплуата­ ционных условиях нагружение материала в пределах упругости. Например, толстостенный цилиндрический сосуд давления пос­ ле изготовления подвергают воздействию внутреннего давления, вызывающего пластические деформации. Затем это давление (дав­ ление опрессовки) снимают. В результате в сосуде создается бла­ гоприятное поле остаточных напряжений, снижающих рабочие напряжения в эксплуатационных условиях.

42 2. Упругопластические свойства

Для расчета такого типа предварительных нагружений необ­ ходимо располагать сведениями о том, какие свойства проявляет материал элемента конструкции при разгрузке.

Ограничимся рассмотрением результатов одноосного испы­ тания. Пусть материал деформирован предварительно на вели­ чину еа, что соответствует появлению в нем напряжения аи, при­ чем аА> а г. Затем частично (или полностью) разгружаем матери­ ал до напряжения ов < аА. Как видно из диаграммы на рис. 2.2, зависимость разгрузки линейна и параллельна начальному учас­ тку диаграммы, а остаточная деформация гост = гл — браз. Закон упругой разгрузки позволяет использовать зависимость £раз = ау/£, где а у = аА- ов.

Таким образом, при вычислении остаточной деформации материала необходимо из приобретенной им при исходном на­ гружении деформации вычесть упругую деформацию, соответ­ ствующую значению того усилия, на величину которого умень­ шилось первоначальное усилие.

Это справедливо и в общем случае разгрузки элемента конст­ рукции, находящегося в неоднородном сложном напряженном состоянии, лишь бы разгрузка была «простой», т. е. все напряже­ ния уменьшались пропорционально одному параметру.

Остаточные напряжения а ост как результат упругой разгрузки отличаются от их исходных значений а на величины ау напряже­ ний, которые возникли бы в элементе конструкции, если бы в естественном (ненагруженном) состоянии к нему были прило­ жены внешние силы, равные разностям внешних сил, действую­ щих в указанные моменты.

Отметим, что закон упругой разгрузки перестает быть спра­ ведливым, когда при разгрузке с последующим переходом на­ грузки через нуль обобщенное напряжение (оно уже по физичес­ кому смыслу будет иметь другой знак, чем при исходном нагру­ жении) превысит значение соответствующего предела упругости.

Остановимся также на особенности, вытекающей из неодно­ значной связи между напряжением и деформацией. Неоднознач­ ность здесь понимается в том смысле, что при активном нагруже­ нии связь характеризуется нелинейным участком диаграммы, а при уменьшении нагрузки связь характеризуется прямолинейным участ­ ком упругой разгрузки. Принцип суперпозиции, т. е. независимос­ ти действия сил и возможности сложения решений от действия этих сил, уже не может быть использован при решении упругопла­ стической задачи. Для упругопластического деформирования со-

Рис. 2.4. Влияние программы нагружения

всем не безразлично, как достигнута величина напряжения, по какой траектории достигнуто положение рабочей точки. Напри­ мер, для двух программ нагружения I и II (заканчиваются эти раз­ ные программы одним значением напряжения) деформации и еп (рис. 2.4) различны, хотя напряжение ав одно и то же.

Закон упругой разгрузки позволяет определить остаточные напряжения и деформации в элементе конструкции, т. е. учесть историю нагружения (деформирования).

2.4. СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Теория малых упругопластических деформаций (деформаци­ онная теория) получила наиболее широкое распространение в инженерной практике. Это связано с относительной простотой расчетных соотношений, которые наибольшую точность расче­ тов обеспечивают для ситуаций «простого» нагружения. Поскольку напряжения в элементах конструкций, как правило, изменяются пропорционально параметру внешнего силового воздействия (инерционных усилий, изгибающей силы, распределенного дав­ ления и других), нагружение «простое», и использование этой теории оправдано и целесообразно.

Здесь не будет подробно приводиться полное обоснование соотношений этой теории, поскольку, в конце концов, для вы­ полнения конкретных расчетов достаточно уметь пользоваться

зависимостями, связывающими напряжения и деформации ма­ териала.

Следует остановиться на научных положениях, которые состав­ ляют основу теории малых упругопластических деформаций. Это необходимо, чтобы знать условия, при которых справедливо при­ менение указанной теории. Таких научных предположений несколь­ ко, они носят название гипотез пластичности. Гипотезы пластично­ сти были предложены исследователями и на основе этих гипотез создана теория малых упругопластических деформаций. Высказан­ ные гипотезы и результаты расчетов по выведенным зависимостям подверглись тщательной экспериментальной проверке и получены подтверждения их справедливости. Таким образом, теория плас­ тичности сформирована на основе опытных исследований и дан­ ных практики, она достоверна для «простого» нагружения.

Содержание одной из гипотез пластичности приведено в разд. 2.2 при распространении свойств диаграммы а —е одноосного испы­ тания на всевозможные случаи сложного напряженного состоя­ ния для различных соотношений а 1з а2, а3. Отмечена однознач­ ная связь между обобщенным напряжением а, и обобщенной де­ формацией е,. Диаграмма а,—е, совпадает с диаграммой а —е.

Итак, обобщение диаграммы носит название гипотезы плас­ тичности и формулируется следующим образом: зависимость ин­ тенсивности е, деформированного состояния от интенсивности а, напряженного состояния является для данного материала, работа­ ющего в пластической стадии, вполне определенной функцией, вид которой не зависит от характера напряженного состояния.

Экспериментальному исследованию подвергают не только зависимость а,—е„ но также направления главных напряжений и главных деформаций. На основании этих исследований прини­ мают еще одну гипотезу пластичности: направления главных нор­ мальных напряжений совпадают с направлениями главных ли­ нейных деформаций Sj, s2, е3, а главные касательные напряжения

Математически это положение может быть представлено сле­ дующим образом:

И еще одну гипотезу пластичности используют для конкрети­ зации величины коэффициента Пуассона пластически деформи­ руемого материала. Обозначим эту величину через рЛ

Экспериментальными исследованиями установлено, что из­ менение объема еу = е, + е2 + е3 материала является чисто упру­ гим, т. е.

E V = ej + е£ + ej. (А)

Действительно, например, после всестороннего сжатия в ме­ талле не появляются пластические деформации.

Величина (е,у + е 2 + е 3 ) весьма мала при рассмотрении пласти­ ческих деформаций, которые нас интересуют. Поэтому, возвращаясь к соотношению (Б), делаем вывод о том, что E V = е, + е2 + е3 = 0. Коэффициент Пуассона вводится при сравнении деформаций Ej, е2, е3 для одноосного испытания, а именно е2 = е3 = -р'е,. Тогда б, —ц 'е , —р'е, = 0 и получаем р' = 0,5.

Итак, в результате привлечения гипотезы пластичности пола­ гаем

£ ,+ 8 2 + 8 3 = 0 , (2 .11)

и это эквивалентно тому, что величина р' коэффициента Пуассо­ на пластически деформируемого материала может быть принята равной 0,5.

На диаграмме испытания материала отметим характерную точку перехода из упругого состояния в пластическое, когда о,-= аТ. Для о, < а тсправедливо а, = £ е, и соотношения (2.1). При а, > а г связь а, и Ej оказывается сложной, нелинейной и в общем виде является некоторой функцией а, =/(£,), где /(е,) представлена диаграммой (см. рис. 2 .1).

В то же время можно считать, что каждое состояние, характе­ ризуемое этой диаграммой, например точкой А на диаграмме, может быть представлено как достигнутое в процессе не по кри­ вой 0/иЛ, а по лучу 0Л. Такое предложение позволяет использо­

вать зависимость о, = Е%, где Е ' рассматривают как переменную величину Е ' = а./е,-. Например, (Е')А = \о )А/( г ) А.

Запишем зависимость с,- = Е 'е,- с учетом выражения (2.5) и значения р' = 0,5. Получим

(■Д/2)^(а, - о ,) 2 +(а, -ст3 )2 +(o3 -O i)2 =

- e 3)2 +(e3 - e i)2,

= [2(l + 0;5)]^(8l" e2)2 + (£2

разделим обе части равенства на yj( e ] - е 2) 2 и одновременно во

второе и третье слагаемые левой части введем дополнительные множители, эквивалентные единице:

На основании соотношения (2.10) вынесем в левой части ра­ венства за знак корня общий множитель

Теперь сокращаем одинаковые множители в обеих частях ра­ венства и получаем

(2. 12)

С учетом соотношений (2.10) имеем

о, - а , = - £ ’'( е ,- е 2);

ст2 -<1з = J £'(82 - E3);

а3 - а , = jf'(E 3-E,).

Умножим первое равенство на единицу, второе удвоим, а тре­ тье утроим и сложим полученные результаты. В итоге имеем

2

( - 2 а , + а 2 + а 3) = - £ ' [ - З е , + ( е , + е2 + е3)] .

Учитывая, что из соотношения (2.11) сумма 6, + £о + е3 = О, получаем

6‘ = р [ ° 1 ~ } ( а2+СТз)}

Аналогично

E 2=F b ~ 5 (ff3+a')];

(2.13)

E3 = j r [ <J3 - |( o |+ o 2)]-

Кроме того, из соотношений, аналогичных (2.12), с учетом (2.9) и (2.10) имеем

Соотношения (2.13) можно записать в виде:

Ei = ( '/ £ ‘) '[ CTi - ^ ' ( 0 2 + с з ) ] ;

Еэ = (l/£ *)-[a3- ^ ( a , + a 2)] .

Удобство такой записи заключается в том, что выражение (2.14) отражает обобщенный закон Гука (2.1), если Е* - £, р* = р, и отражает соотношения малых упругопластических деформаций (2.13), если Е* = £ ', р* = р' = 0,5.

48 2. Упругопластические свойства

Выводы

1. Зависимости теории малых упругопластических деформа­ ций, связывающие деформации и напряжения, отражают как упругую стадию работы материала, так и упругопластическую стадию. При этом необходимо использовать соответствующие значения параметров Е* и р*, входящих в эти зависимости.

2. При выполнении расчетов для состояния материала эле­ мента конструкции, соответствующего о, = ог, возникает осо­ бенность. Она связана с тем, что в этом состоянии могут исполь­ зоваться зависимости (2.1), если считать, что материал находится еще в упругом состоянии (подход снизу), или зависимости (2.13), если считать, что уже справедливы соотношения пластичности. Для этих двух видов состояния Е* = £, но значения р и р' раз­ личны.

Эта невязка не снижает преимуществ использования изложен­ ного варианта теории малых упругопластических деформаций. Для более точных расчетов можно воспользоваться вариантом теории малых упругопластических деформаций, когда учитывают, что значение коэффициента Пуассона плавно увеличивается от зна­ чения р упругого материала к значению р' = 0,5.

3. При изложении гипотезы о характере изменения объемной деформации материала было указано на соотношения е[ «се™, е 2 8з Приведенные неравенства относятся лишь к сравнению составляющих деформации между собой. Сами же силовые деформации е1} еэ гораздо меньше единицы, а прин­ цип неизменности начальных размеров элемента конструкции, который широко применяют при решении упругих задач, спра­ ведлив и при решении упругопластических задач. Этот принцип позволяет при составлении уравнений равновесия не учитывать изменения размеров и формы элемента конструкции.