книги / Упругопластические решения и предельное состояние

Рис. 1.15. Подкрепленная цилиндрическая оболочка под радиаль­ ной нагрузкой («Ш» — недеформируемый шпангоут):

а — схема нагружения; б — кинематически возможное со­ стояние

жесткие подкрепления (шпангоуты) оболочки. Определим пре­ дельное значение q нагрузки.

Предельное состояние определяется исчерпанием несущей способности на изгиб под влиянием изгибающего момента

M s =m = Gjh1/4 и окружного усилия N, = aTh.

Условие равенства нулю суммы работ внешних и внутренних сил дает

Пример 1.7

►В условии предыдущей задачи предположим отсутствие под­ крепляющих элементов в сечениях Б и В и определим предель­ ную радиальную нагрузку q (рис. 1.16).

Расстояние /, фиксированное в предыдущем примере, здесь надлежит определить из условия минимума для q. Получаем

/, = 7 Ж и, таким образом,

Если найденное здесь значение I оказывается меньше задан­ ного в предыдущем примере расстояния между шпангоутами, то

32 I. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

а

Рис. 1.16. Цилиндрическая оболочка без подкреплений:

а— схема нагружения (бандажное погонное усилие q, Н/м);

б— кинематически возможное предельное состояние

образование круговых пластических шарниров произойдет именно в пролете между подкреплениями.

Полученный результат показывает, что вовлекаемая в плас­ тическое деформирование («выламываемая») область оболочки из материала с идеальной пластичностью имеет ширину того же

порядка, что и зона краевого эффекта (Г » 2,47Ж ).

Сравним полученное значение q предельной нагрузки со зна­ чением qT, соответствующим достижению текучести.

Используем при упругом нагружении оболочки расчетные соотношения на основании метода начальных параметров. Изги­ бающий момент Ms в сечении А находим из условия равенства нулю угла поворота нормали в этом сечении:

Здесь D = £A3/l2(l - д2), р = 1,285/ТЖ. Получаем Ms = - ?/4р.

Окружное усилие N, в этом сечении выразим через прогиб оболочки

(Wm + Wq)Eh (-М ,/2Р& 2 +д/4РЦг)ЕИ qR $

здесь использовано обозначение Eh - = 4S4.

R2D

Окружное напряжение на наружной поверхности оболочки

6М,

Здесь осевое напряжение а? = 6MJh2 = 6g/4f3/i2, напряжение в направлении нормали к поверхности а. = 0 , а интенсивность напряжений при ц = 0,3 имеет значение

Из условия а, = а 7 получаем qr = a^hr/lA - Вычисляем отношение q/qT = 2• 1,4/1,285 = 2,18. ■

Вывод

Результаты расчетов в примерах 1.2—1.7 показывают, что после начала образования пластических деформаций нагрузка может быть значительно увеличена, прежде чем элемент конструкции превратится в кинематически изменяемую систему.

Следует отметить, что при рассмотрении пластинок и оболо­ чек использованы предельные характеристики — предельный

погонный изгибающий момент т = сгг/г /4 и предельное погон­

ное усилие N t = a Th. Однако в случае одновременного действия этих силовых факторов не использовалось условие пластичности для учета двухосного напряженного состояния.

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

2.1 . УСЛОВИЕ НАЧАЛА И РАЗВИТИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

В случае одноосного нагружения до предела текучести спра­ ведлив закон Гука, связывающий напряжение а и деформацию е соотношением а = £ • е, где Е — модуль упругости материала. Начальный прямолинейный участок диаграммы, где а < с т, име­ ет наклон, пропорциональный величине Е. А именно, Е — tga (рис. 2 .1).

Но одноосное нагружение — это частный случай нагружения материала в конструкции. Обычно оно носит сложный характер. Ограничимся рассмотрением случаев, когда напряженное состо­ яние характеризуется главными напряжениями a h a2, a 3. Тради­ ционно используем условие Oj > a2 > a3. При упругой работе

материала главные деформации е„ е2, е3 линейно зависят от глав­ ных напряжений, и это отражает обобщенный закон Гука:

При этом главные оси напряжений и деформаций совпадают. Выпишем также выражение для zv— упругого изменения объе­

ма материала вследствие силового воздействия:

= (1 + £ ,)(1 + е2)(1 + е, ) - 1 = [(1 - 2 ц)/£](о, + о2 + о,). (2 .2 )

Соотношения (2.1) могут быть обращены, тогда напряжения выражаются через деформации:

CTJ = £ е , (1 + ц) + E[XEV /(1 + ц) (1 - 2ц);

а, = £е2(1 + ц)+£цбк/(1 + ц)(1-2ц);

а 3 = £е3 (1 + ц) + Ецеу/(1 + ц)(1 - 2ц).

Диаграмма растяжения (см. рис. 2.1) показывает, что при од­ ноосном растяжении (ст, > 0 , сг2 = ст3 = 0 ) в материале появляются первые пластические деформации, когда единственное отличное от нуля напряжение су, = ст равно с г — напряжению, соответству­ ющему пределу текучести материала при растяжении, т. е. ст = стг.

Однако необходимо знать условие появления пластических деформаций в материале и при сложном напряженном состоя­ нии. Условие, которому должны удовлетворять напряжения в исследуемой точке тела при появлении в ней пластических де­ формаций, называется условием пластичности.

Исследователями сделаны в отношении этого условия раз­ личные предложения. Остановимся на двух из них. Принято то или иное условие пластичности называть с упоминанием об ис­ следователях, которые первые предложили его формулировку.

На основании экспериментальных исследований ученого Г. Треска (Н. Treska, 1868 г.) специалист по механике Б. СенВенан (В. S.-Venant, 1871 г.) предложил следующее условие пла­ стичности: материал переходит из упругого состояния в упруго­ пластическое, как только максимальное касательное напряжение тпих,

36 2. Упругопластические свойства

а оно равно (о, —а3)/2 , достигает некоторого определенного для данного материала значения хт. Для одноосного напряженного состояния о = сгг, а2 = <т3 = 0 , поэтому

М. Губером (М. Huber, 1904 г.), а позже Р. Мизесом (R. Misec, 1913 г.) и Г. Генки (Н. Непсу) было предложено новое условие пластичности: появление пластических деформаций связано с вполне определенным значением т, — интенсивности касательных напряжений: т, = const. Это значение выбирается таким, чтобы в частном случае одноосного растяжения удовлетворялось условие а = ат.

При отличии от нуля всех главных напряжений а,, а2, а 3 на­ пряженное состояние, вызывающее появление пластических де­

которое называют интенсивностью напряженного состояния и ко­ торое пропорционально интенсивности т,- касательных напря­ жений.

Аналогично, деформированное состояние характеризуется

называемой интенсивностью деформированного состояния.

При одноосном нагружении а, = а, е, = г.

Условие пластичности Губера—Мизеса (или условие пластич­ ности Мизеса—Генки) с использованием обобщенного напряже­ ния имеет вид

Условия пластичности (2.4) или (2.7) достаточно точно опре­ деляют появление пластических деформаций, дают близкие ре­ зультаты. Но все же условие пластичности Губера—Мизеса более точное, лучше совпадает с результатами опытов.

2.2. Активное нагружение. Частные случаи представления диаграмм 37

Так, при кручении (или при чистом сдвиге: а, = х, а2 = О, а3 = -т) по условию Треска—Сен-Венана тг = 0,5ar (cM. (2.3)), а условие (2.7) Губера—Мизеса принимает вид

а г = (л/2/2)>/(тг - О) 2 +(0 + тг ) 2 + (-тг - х Т)2 = тгл/3,

откуда получаем хт= а г/>/3 ~ 0,577а т.

Эксперименты показывают, что пластические деформации при кручении появляются, когда хтравно (0,56—0,6)а7. Таким обра­ зом, экспериментальная проверка условий пластичности свиде­ тельствует в пользу условия Губера—Мизеса.

Здесь при решении конкретных задач использованы оба рас­ смотренных условия пластичности. Причина в том, что в некото­ рых случаях решение задачи с использованием условия пластич­ ности Треска—Сен-Венана менее сложно, чем с использованием условия пластичности Губера—Мизеса. Отметим, что оба усло­ вия имеют одну и ту же особенность: наступление пластичности не зависит от наличия всестороннего равномерного растяжения или сжатия, т. е. условие пластичности не изменяется при увели­ чении или уменьшении всех трех главных напряжений а,, а2, а3 на одну и ту же величину, ибо в условия пластичности входят разности главных напряжений.

При нагружении элемента конструкции материал сначала ра­ ботает упруго. Затем условие пластичности удовлетворяется в со­ вокупности наиболее опасных точек. При последующем возраста­ нии нагрузки происходит расширение области пластических де­ формаций, поскольку условие пластичности удовлетворяется и в других сечениях.

2 .2 . АКТИВНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИАГРАММ

В разд. 2.1 рассмотрено условие начала пластических дефор­ маций. Когда они образуются и развиваются, возникает необхо­ димость пользоваться зависимостями между напряжениями и деформациями, которые носят нелинейный характер.

Но прежде чем изучать зависимости между компонентами напряжений и деформаций в упругопластической стадии, уже за

2.2. Активное нагружение. Частные случаи представления диаграмм 39

стое» (это означает, что все значения а„ а2, а3 изменяются про­ порционально одному параметру), диаграмма а,—е,- не зависит от того, при каком соотношении между о„ о2, о3 проводилось испыта­ ние, и совпадает с диаграммой а —е при одноосном испытании.

Поэтому в инженерной практике если имеется диаграмма о- s одноосного испытания, используемого для элемента конст­ рукции материала, то можно при условии «простого» нагруже­ ния этого элемента конструкции обозначать оси этой диаграммы как О/ и е, и полагать, что имеющаяся диаграмма отражает связь обобщенного напряжения а, и обобщенной деформации в, для любого соотношения главных напряжений а 1} а2, ст3.

При выполнении расчетов обычно схематизируют диаграмму испытания материала, заменяя ее на отдельных участках прямо­ линейными отрезками, что позволяет использовать для аппрок­ симации диаграммы простые аналитические зависимости. В этих случаях различия между пределом пропорциональности и преде­ лом текучести не делают.

Остановимся на тех случаях аппроксимации, которые будут использованы в примерах расчетов. Диаграммы будем рассмат­ ривать в координатах а,—е,.

2 .2 .1 . Упругопластический материал без упрочнения

Для некоторых материалов с целью упрощения решения за­ дач диаграмму а,—е, можно представить в виде двух участков:

Такая диаграмма представлена на рис. 2.3, а и характеризует идеальную упругопластическую среду (тело Прандтля).

2 .2.2. Упругопластический материал с линейным упрочнением

Диаграмма упругопластического материала с линейным уп­ рочнением приведена на рис. 2.3, б. Пластическое деформирова­ ние сопровождается упрочнением материала, которое носит ли­ нейный характер. Коэффициент упрочнения обозначим к, при­ чем к <£ Е. В этом случае если £,• < бг, то а,- = Ezt\ если е, > ет, то а, - г) • а г + kEf = а* + ке,-, где r\ = 1 - к/Е.

2. Упругопластические свойства

40

Рис. 2.3. Аппроксимация диаграммы:

а — идеальная упругопластическая среда (тело Прандтля); 6 — упругопластический материал с линейным упрочнением; в — полигональная аппроксимация; г — сопоставление ап­ проксимаций диаграмм

2 .2.3. Полигональная аппроксимация диаграммы

Весьма часто аппроксимируют диаграмму в виде ломаной (рис. 2.3, в). На каждом л-м интервале аппроксимации справед­ лива зависимость

где а„ и <J/(_ J — интенсивности напряженных состояний, опреде­ ленные по реальной диаграмме соответственно при е„ и E„_j. На первом интервале аппроксимации о* = 0 и вместо к используем