книги / Упругопластические решения и предельное состояние

pa С препятствует шарнирный момент М , такой же момент М препятствует повороту «звена» бруса АС относительно пласти­

ческого шарнира С и аналогично М препятствует повороту зве­ на А С относительно пластического шарнира А. Поворот звена ВС относительно шарнира В допускается связью (шарнирная опора) без сопротивления в шарнире В. Направление действия предель­

ного момента М противоположно направлению поворота звена относительно рассматриваемого пластического шарнира.

Работа предельных моментов (внутренних сил) равна

- М а -М $ -М $ .

Работа внутренних сил отрицательна, так как направление

действия усилия М противоположно угловому перемещению, на котором совершается работа. После подстановки значений а и р через 5 (см. рис. 1.11) имеем

Работу равномерно распределенной нагрузки (внешних сил) при рассмотрении предельного состояния получаем интегриро­ ванием работ от каждой из элементарных сил qdz на своем пере­ мещении W(z)'.

i I

lqW [z)ek = gjW(z)dz.

ОО

Значение интеграла равно площади треугольника АСВУпо­ этому работа внешних сил равна q • 6 1/2. Уравнение предельно­ го состояния имеет вид

откуда получаем

2M{l + zc)

(1-9)

(I - Zc)lZc

Важным является то, что произвольная малая неизвестная величина 5, которая является возможным перемещением, уже не участвует в решении задачи.

22 1. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

Предельная интенсивность нагрузки зависит от координаты пластического шарнира Zc• Действительной предельной нагруз­ кой будет минимальная из всех нагрузок, определяемых форму­ лой (1.9). Для вычисления ее приравняем нулю первую произ­ водную от q по zc*Тогда получаем квадратное уравнение

(Z cf + 21-Z c~ l2 = О,

решая которое, устанавливаем, что

Zc =(V2-l) / = 0,414/.

Определение знака второй производной показывает, что при

этом значении z*c функция (1.9) имеет минимум. Подстановкой z*c

в выражение (1.9) получаем q - U ,6M /l2.

Для прямоугольного сечения шириной b и высотой h имеем

М = отЫг /4 и окончательно получаем q = 2,9aTbh2/ l 2. ■

1.4. УТОЧНЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Несущая способность элемента конструкции определяется предельным значением изгибающего момента. Поэтому уточне­ ние несущей способности сечения возможно на основе уточне­ ния функции, аппроксимирующей свойства материала.

В разд. 1.1 использована диаграмма идеального упругоплас­ тического материала. Были получены простые расчетные соот­ ношения, поскольку в области пластических деформаций вели­ чина напряжений была постоянной, равной Су, и это упрощало интегрирование. Именно трудностями интегрирования ограни­ чено использование той или иной функции, аппроксимирующей диаграмму а —е. Действительно, при определении изгибающего момента приходится не просто интегрировать аппроксимирую­ щую функцию, а иметь дело с интегралом

М = J aydF = Jcyb(y)dy,

F

где у — плечо, на котором элементарная сила формирует изгибаю­ щий момент; Ь(у) — ширина сечения (см. рис. 1.1). При b = const

имеем дело с интегралом М = a ydy.

Отметим, что для оценки несущей способности при круче­ нии бруса с круглым поперечным сечением интегрируют в по­ лярных координатах /•, ф и dF = /•• </<р • dr. Имеем

Мкр = J тrdF• =2JIJх •г 2dr,

F

где х — напряжение сдвига, и сложность интегрируемой функ­ ции возрастает по сравнению с приведенным выражением для изгибающего момента.

Уточнение несущей способности сечения при изгибе прове­ дем на примере сечения прямоугольной формы. Изгибающий момент Му воспринимаемый прямоугольным сечением балки,

Используем метод, который позволяет получить решение при различных аппроксимирующих функциях.

Изменение напряжений по сечению определяется величиной деформации, которая линейно связана с кривизной 1/р соотно­ шением £ = у/р. Наибольшая деформация при у = А/2 составляет А/2р. С учетом dy = рdz получаем

оо

Вправой части интегральное выражение интегрируем по час­ тям дважды: первый раз — по частям:

}а (е )е< /Е = И Е) ^ ( у ] Л = ° ( Е) е7 2 - |

затем — еще раз:

г da е2 , da е3 f е3 d2a ,

* а т л ' ^/ае 76 - | т * ? - л -

Выражение для расчета изгибающего момента принимает вид

Полученное выражение позволяет уточнить значение момен­ та, воспринимаемого сечением, за счет использования более слож­ ной, чем идеальная пластичность, схемы аппроксимации диаг­ раммы а —е. Для исходного нагружения до предела текучести (при этом £ = 1 и в = ег) получаем

При увеличении деформации е = £ег, значение М изменяется нелинейно, но при £ > 2,58 с точностью до 5 % уже можно считать зависимость момента от деформации в крайнем волокне линейной

М = 1 ц М Т + Ц \-ц )М Т.

Покажем, что полученная расчетная формула (1.13) отражает ситуации, рассмотренные для идеального упругопластического материала (л = 1)

(114)

Для 4 = 1 (при этом в = гт) достижение предела текучести соответствует моменту

При последующем увеличении деформации (росте £) получа­ ем предельное значение

Выражение (1.14) запишем с учетом £ = И/2ргти значения е = ет на границе (у = а/2) упругой и пластической областей, ег = а/2р. Тогда получаем

Соотношения для идеального упругопластического материа­ ла уже приводились ранее, но здесь они получены из более об­ щего соотношения (1.10).

26 I. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

1.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

►Определим предельную нагрузку Р для круглой пластинки радиусом R, загруженной в центральной области и шарнирно опер­ той по контуру (см. рис. 1.8).

Решение этой задачи удобно получить предельным перехо­ дом от решения, получаемого для пластинки в виде правильно­ го многоугольника (рис. 1.12). Кинематически возможное со­ стояние при достижении предельной нагрузки — это пирамида высотой б с вершиной в точке (?,ис ребрами, которые обуслов­ лены образованием линейных (цилиндрических) пластических шарниров.

Обозначим через (2тг —2а) угол между образующимися гра­ нями пирамиды. Возможное угловое перемещение «а», на кото­ ром совершают работу внутренние силы, равно (5/Л) tg(2ir/2«), где п — число сторон многоугольника.

i

Рис. 1.12. Полиго­ нальная шарнирно опертая по контуру пластинка:

а — кинематически

возможное состояние; б — угловые переме­

щения а граней пира­ миды

Работа внешней силы составляет величину Р- 6, работа внут­ ренних сил m-R, приходящихся на каждое ребро, на п ребрах составляет величину 2nmRa, а из условия равенства суммы работ

нулю Р8 - 2nmRa = 0 имеем Р = т2п tg(2тс/2л). Предельным пе­ реходом к круглой пластине (п -> °о)

Р = lim [/и2л tg(2тг/2я)] = 2пт

с учетом значения т = получаем Р = 0,5поТИ2. Отметим, что работа внутренних сил, обусловленная возмож­

ным образованием конической поверхности, равна (-2п/Т?8). ■

Пример 1.3

►Оценим влияние граничных условий для круглой загру­ женной в центре пластинки.

Примем для пластинки, рассмотренной в предыдущем при­ мере, граничное условие на контуре в виде жесткого защемления (заделки). В предельном состоянии образуется круговой пласти­ ческий шарнир — см. рис. 1.9, б. Дополнительная (по сравнению с пластиной в предыдущем примере) работа внутренних пре­ дельных погонных моментов т по контуру заделки на возмож­ ном угловом перемещении р = tgp = 8/R составит 2nRm8/R, и

тогда из условия равенства работ нулю Р8 -4тш 5 = 0 получаем

Р = 4пт, т. е. вдвое больше, чем в случае шарнирного опирания по контуру. ■

Пример 1.4

►Определим д л я круглой пластинки предельное значение постоянной равномерно распределенной по поверхности нагруз­ ки (рис. 1.13).

Работа внешних сил определяется как произведение предель­ ной нагрузки на объем конуса, ограниченного поверхностью ки­

нематически возможного состояния системы, т. е. pnR28/3.

Рис. 1.13. Круглая пластинка при действии распределенной нагрузки

28 1. Анализ упругопластического состояния при простом изгибе

При шарнирном опирании контура сумма работ имеет вид

- 2 тш5 = О,

откуда

_ _ бгп _ 3а тИ2

Сравним полученные значения предельной нагрузки р со значением рг, соответствующим достижению предела текучести в «опасной» точке. Используем для упругого нагружения плас­ тинки расчетные соотношения на основании метода начальных параметров:

М, = М 0 - / * 2ч/„(0) = М0 - 0,2063р х \ М, = М 0 - р х \„ { 0 ) = М , —0,1188/ис2;

Dq>= М о Х ч \-р х гу , я(0) = 0,7692хМ„-0 ,0 6 2 5 р х\

Из граничного условия (Mr)x=R = 0 для шарнирной опоры по­

ау = 0, а, = 1,2378pR2/h 2.

Из условия о, = а г имеем рт= а т А2/1,2378Л2. Вычисляем отношение pfpT = 3 1,2378/2 = 1,86.

Из граничного условия (ср)Л=Л = Одля жесткого защемления по контуру следует

М 0 = 0,0625/»Л2/0,7692 = 0,08125/>Л2.

Наиболее нагруженное сечение х = R, здесь

М г = (0 ,0 8 1 2 5 -0 ,2 0 6 3 ) pR2 = - 0 , 125pR2; М, = (0 ,0 8 1 2 5 -0 ,1 1 8 8 ) рЛ2 = -0 ,0 3 7 5 р Д 2;

6М,

ст2 = ст,т “ = ц а “ х = 0 ,3 0 ,7 5 - ^ - = 0 , 2 2 5 - ^ ; h2 П

, P R2

Ст3 = 0 ; ст,- = 0 , 6 6 7 ^ - . h 2

Из условия а, = а г получаем рТ = aTh2/0,667R2. Вычисляем отношение р /р т= 3 • 0,667 = 2. ■

Пример 1.5

►Определим предельное значение давления для шарнир­ но опертой по торцевому контуру цилиндрической оболочки (рис. 1.14, а), кинематически возможное состояние которой при превращении в механизм изображено на рис. 1.14, б. При этом опирание торцов не препятствует их сближению, и мери­ диональные усилия в оболочке при исчерпании ее несущей способности не рассматриваются.

Рис. 1.14. Цилиндрическая оболочка под давлением:

а — схема нагружения; б — кинематически возможное со­ стояние