книги / Упругопластические решения и предельное состояние

3.4 . НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Когда стенка цилиндра нагрета неравномерно, ее отдельные области расширяются неодинаково и из-за взаимодействия меж­ ду ними возникают температурные напряжения. Температурные напряжения играют большую роль, поскольку суммируются с напряжениями от давления. Например, при внешнем нагреве цилиндра давление, соответствующее началу пластических дефор­ маций, оказывается меньше, чем

Приведем здесь решение задачи о напряжениях в неравномер­ но нагретом по толщине цилиндре при осесимметричном относи­ тельно оси распределении температуры Т = Т(г). Будем считать, что материал работает в упругой стадии и его упругие свойства — модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р — несуществен­ но зависят от изменения температуры. Выражения для деформа­ ций будем записывать в виде суммы силовых и температурных деформаций:

ег = гс +аТ; г ,= г с( +а Г; ez =ecz + a T i

где а — коэффициент температурного расширения материала. Силовые деформации выразим через напряжения

Если подставить значение е, в уравнение совместности де­ формаций, записанное в виде

dz, _ -(1 + р) dor

3.4. Напряженно-деформированное состояние при тепловом воздействии 67

и учесть, что cz = Ezz + p(af + а,) - ЕаТ, то получаем

2 -у-j aTrdr.

> 2 -

При заданном законе распределения температуры по толщи­ не стенки можем вычислить значения определенных интегралов и затем найти напряжения.

Установившееся (стационарное) распределение температуры по толщине цилиндра при отсутствии внутренних источников тепла в материале цилиндра отвечает дифференциальному урав­ нению теплопроводности

Интегрирование дает Т = Al In г + Л2. Если отсчитывать изменение температуры от ее значения на наружном контуре, т. е. положить, что Ть = 0, то граничные условия принимают вид

(Т)г=ь = 0, (Т)г=а = Та и получаем Т = (Ta/\xv$)\n{b/r). При вы­ числении напряжений считают, что величина а постоянна в рас­ сматриваемом интервале температур. Тогда

ЕаТа

2(1-ц)1пр

■Е а Т -

'2(1-ц)1пр

Наиболее напряженными являются точки внутреннего и на­ ружного контуров. Интенсивность напряжений здесь с учетом того, что о ,= аг и о ,= 0, равна

а / = >/ст? ~ a ia z + a l ’ а / = а /*

По абсолютной величине наибольшее значение температур­ ные напряжения имеют на внутреннем контуре.

3.4. Напряженно-деформированное состояние при тепловом воздействии 69

Пример 3 .2

►Найдем условие температурного нагружения свободного стального цилиндра

3 = 2; £ = 2 105 МПа; а = 18 ИГ6 1/град; ц = 0,3;

5 = 2 (Г ^ ) = 2’571 МШ/ град; аТ = 200 МПа,

при котором температурные напряжения в сечении г = а дости­ гают предела текучести о т.

Характер распределения напряжений приведен на рис. 3.7,

2(1 -й) 1п(3

Рис. 3.7. Температурные напряжения в толстостенном цилиндре

Если (о,)г-< = (а ,),., = с т, то

Растягивающие напряжения имеют место на внутреннем кон­ туре. ■

Примечание к примеру. Условие осевого закрепления (величина £,) влияет на напряженное состояние, но лишь на величину ст.. Дей­ ствительно, разрешающее уравнение (3.25) и для этого случая имеет вид (3.26) и решение (3.27). Не изменяется поэтому и зна­ чение <т„ как это следует из (3.28). А вот напряжение а. вычисля­ ют из соотношения а. = Ег. + р(стг + а,) —ЕаТ.

Например, при в. = 0

а

Характерным является

£

°*=»*e* » °za = l1° ,c - £ <*L=oa - j — ^aT',.

Тогда в рамках используемых значений Е, а и р получаем:

(Jjj = ца,4 = 0,598 • Тс = -38 МПа;

== 288 МПа;

ам = -3,147-Г, =200 МПа;

= Va « _ a '«<I» +cri = 256 МПа.

Эпюра напряжения az при ег = 0 изображена на рис. 3.7 пун­ ктиром. При Та = —63,5е получаем aia = 256 МПа, что указывает на необходимость использования другого конструкционного ма­ териала.

Здесь отметим также, что для диска (oz = 0)

£г = ~ ( а г +а,) + аТ,