книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

Выбор закона изменения совместной деформации пакета, таким образом, является одним из определяющих для формирования остаточного напряженно-деформированного состояния. Будем считать, что общая деформация меняется синхронно с температурной деформацией слоев, т.е.

(2.44) при соответствующем выборе координаты в первом приближении описывает совместную деформацию свободного от внешних

H

нагрузок пакета стержней, для которого σ(x,t)dx = 0 .

0

После подстановки (2.44) в (2.43) решение принимает вид

σ(x,t ) = α(T1 − T0 )[E1 + E2 N (x,t)][e− a( x)t − e− a( x )t ] −

Напряженное состояние системы по окончании процесса охлаждения получим после подстановки в (2.45) t = ∞ с учетом того, что

N (x,∞) = 1:

91

На рис. 2.17 показано распределение технологических напряжений в различные моменты времени при следующих значениях пара-

Рис. 2.17, а соответствует деформации пакета ε(t) , совпадающей с температурной деформацией последнего слоя εT (H ) , т.е.

92

x = H. Так как при этом скорость деформации максимальна, в сравнении с другими значениями x из интервала [0, H ], все слои пакета находятся до перехода через температуру стеклования в состоянии сжатия (см. рис. 2.17, а, график 1). Для более детального анализа поведения различных слоев материала при переходе через температуру стеклования на рис. 2.18 приведены графики деформаций ε(x,t ) = ε(t ) − εT (x,t ) (рис. 2.18, а) и напряжений (рис. 2.18, б)

в среднем слое достигает максимума при T ≈ Tg , а затем начинает

уменьшаться. В результате при переходе через температуру стеклования напряжение (тонкая линия на рис. 2.18, б) начинает расти с большей скоростью, чем оно снижалось до этого, так как модуль увеличился в 30 раз. Скачок на кривой напряжения отсутствует, т.к. история деформирования дополнительных связей, возникших при стекловании, начинается с момента их появления.

Рис. 2.18. Зависимость деформаций ε от температуры (а) и напряжений от деформаций ε (б) при деформировании пакета, соответствующем рис. 2.17, а. Тонкая линия – x = 0,5H , жирная – x = 0

93

В первом слое x = 0 (жирные линии на рис. 2.18) переход через Tg происходит после достижения максимума сжимающей

активной деформации (см. рис. 2.18, а). Кроме того, уровень деформации ε(0,t ) при стекловании значительно выше, чем в слое x = 0,5H (см. рис. 2.18). В результате к моменту обнуления ε на конечной стадии процесса охлаждения пакета напряжения в этих слоях будут различаться более чем в 2 раза. Аналогичные процессы в остальных слоях приводят к появлению поля остаточных напряжений (жирные линии на рис. 2.17).

Для получения картины остаточных напряжений σ* (x) необходимо изотермически сдеформировать пакет на дополнительную величину ε* , такую, чтобы удовлетворить условию самоуравновешенности системы

К сожалению, данный интеграл не вычисляется аналитически, но можно исследовать остаточное напряженное состояние, определенное с точностью до слагаемого σ* . Покажем, что функция (2.46) не имеет экстремумов в исследуемом диапазоне, и, следовательно, уровень остаточного напряженного состояния можно оценивать по разности напряжений в крайних слоях. Для этого найдем ее первую производную по координате и приравняем к нулю:

Анализ показывает, что первая производная обращается в ноль в случае a(x) = ±∞ , что невозможно из-за конечности коэффициен-

тов a1, a2 и ограниченного диапазона аргумента.

94

Оценим уровень остаточных напряжений по разности напряжений в крайних слоях. Из (2.46) получаем

Разность конечной и начальной температуры отрицательна, основания показательных функций в скобках положительны и по модулю меньше единицы. Если коэффициенты a1 и a2 также положительны, то значение функции отрицательно, т.е. остаточные напряжения в слое, остывающем наиболее интенсивно (х = Н), всегда сжимающие, а на противоположном конце (х = 0) – растягивающие.

Появление остаточных напряжений в конструкции объясняется тем, что разные слои пакета переходят в стеклообразное состояние при различных значениях деформаций ε(x,tg ) = ε(tg ) − εT (x,tg ) . Это

приводит к неоднородности поля «замороженных» деформаций и, как следствие, напряжений в пакете после снятия внешней нагрузки (см. рис. 2.17, а–в). Уровень остаточных напряжений в первую очередь зависит от неоднородности поля температур. Как видно из формулы (2.47), если все слои пакета охлаждаются одинаково (a(0) = a(H ) ), то остаточные напряжения отсутствуют. В противном

случае на величину остаточных напряжений будет влиять закон деформирования пакета ε(t) через функцию a(x) (см. (2.44), (2.47)).

Функция (2.47) имеет экстремум, определяемый из условия

95

Уровень остаточных напряжений в соответствии с (2.48) достигает максимума по абсолютной величине при

что соответствует значению x max = amax − a1 . a2

На рис. 2.19 представлен график зависимости уровня остаточных напряжений σ* = σ* (H ) − σ* (0) от x для приведенных выше параметров системы. В исследуемом диапазоне скоростей деформирования, как видно из рисунка, уровень напряжений меняется в 1,6 раза.

В соотношении (2.8) предусмотрена зависимость температуры стеклования Tg от скорости изменения температуры на интервале

стеклования, обозначенной как T . Исследуем на примере модельной задачи влияние данного фактора на напряженно-деформированное состояние. Закон Tg (T ) для конкретного материала определяется

Рис. 2.19. Зависимостьуровняостаточныхнапряжений отхарактеристикискоростидеформированияпакета

96

в экспериментах с постоянной скоростью охлаждения и нагрева (см. разд. 2.5.3). В то же время при охлаждении изделий из полимеров скорость изменения температуры в отдельных точках материала непрерывно меняется. В качестве аргумента функции Tg (T ) следует

использовать среднюю на интервале стеклования температуру T . Для рассматриваемой задачи интервал вырожден в точку (см. (2.41)), поэтому в качестве температуры, на которой фиксируется скорость стеклования, примем постоянную Tg . Обозначим через Tgv (T ) пере-

менную температуру стеклования. В соответствии с формулой (2.39) скорость охлаждения при T (x) = Tg можно определить следующим

образом:

Из эксперимента известно, что температура стеклования растет при увеличении скорости охлаждения или нагрева, причем данную зависимость можно приближенно аппроксимировать логарифмической функцией (см. (2.18), (2.19)). Для получения аналитического решения примем упрощенный, линеаризованный вид скоростной зависимости температуры стеклования

Tgv (T ) = k1 + k2 T .

Коэффициенты k1 , k2 определим из предположения, что на имею-

97

При этом распределение температуры стеклования по толщине пакета приобретает вид

а поле напряжений вычисляется по формуле

Рис. 2.20 иллюстрирует процесс формирования напряжений в пакете стержней с переменной температурой стеклования по

(2.50) при Tg = 20 °C .

Из сравнения с рис. 2.17, а, на котором построены аналогичные графики для случая Tg = const , видно, что уровень как техно-

логических, так и остаточных напряжений в пакете с переменной температурой стеклования (см. рис. 2.20) ниже, чем при фиксированной Tg (см. рис. 2.17, а). Объяснение можно найти

из сравнения рис. 2.18 и 2.21. Разница между деформациями «замораживания» в различных слоях, которые соответствуют изломам на кривых рис. 2.18, 2.21 при переменной температуре стеклования (см. рис. 2.18), оказывается меньше, чем при Tg = const (см. рис. 2.21).

Меньше и сами деформации замораживания. В результате как в процессе охлаждения, так и к моменту обнуления ε на его конечной стадии напряжения на рис. 2.20 имеют примерно в 1,5 раза меньшие значения, чем на рис. 2.17, а.

98

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СТЕКЛУЮЩЕГОСЯ ПОЛИМЕРА ДЛЯ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

В главе дано обобщение феноменологических определяющих соотношений термомеханического поведения полимерных материалов в условиях релаксационного перехода на случай сложного напряженного состояния. Рассмотрено два варианта вывода: на основе записи свободной энергии стеклующегося полимера и на основе последовательного рассмотрения приращения жесткости материала в процессе стеклования. Приведен также вывод соотношений в случае учета вязкоупругих свойств стеклообразного состояния. Предлагаемые физические соотношения проанализированы с точки зрения непротиворечия основным законам термодинамики. Получены термодинамические ограничения на материальные функции и константы.

3.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО

ПОВЕДЕНИЯ СТЕКЛУЮЩЕГОСЯ ПОЛИМЕРА ДЛЯ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. ВЫВОД ЧЕРЕЗ СВОБОДНУЮ

ЭНЕРГИЮ В «УПРУГОМ» ПРИБЛИЖЕНИИ

Для изотропного упругого полимерного материала удельная свободная энергия в высокоэластическом и стеклообразном состояниях может быть представлена в виде

100