книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

Решая нелинейную систему (2.15) с учетом данного допущения, получим формулы для нахождения параметров стеклования:

Если для аппроксимации температурной зависимости степени стеклования использовать асимметричное распределение вида Вейбулла (2.9), получение аналитических формул, аналогичных (2.16), затруднительно. В этом случае для поиска TgW , γW можно применить числен-

ные методы нелинейной оптимизации, например, метод Нелдера– Мида. Результатом обработки экспериментальных кривых для формул (2.8), (2.9) сталиследующиезначения термофизических параметров:

На рис. 2.11 построен (кривая 4) график опытной температурной зависимости приведенной деформации

ε(T ) = (ε(T ) − ε2 ) / (ε1 − ε2 ),

T (t )

где ε1 = σ / E1 (T ); ε2 = σ / (E1 (T ) + E2 (T )); ε = ε − εT ; εT = αT (T )dT.

T (0)

71

После определения всех неизвестных параметров проводилась проверка модели путем сравнения с проверочным экспериментом. Как видно из рис. 2.8, а, б, расхождение опытных данных и результатов расчета не превышает величины доверительного интервала, что подтверждает адекватность построенной модели.

2.6. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СТЕКЛУЮЩЕГОСЯ ПОЛИМЕРА С УЧЕТОМ

ВЯЗКОУПРУГИХ СВОЙСТВ СТЕКЛООБРАЗНОГО СОСТОЯНИЯ

Построение определяющих соотношений будем производить

впредположении, что изотропный однородный полимер в высокоэластическом состоянии имеет характерные времена релаксации намного меньше характерных времен внешних воздействий, сопровождающих процесс охлаждения, что позволяет использовать для описания упругую модель с заменой модуля упругости на длительный модуль в высокоэластическом состоянии. В полностью застеклованном состоянии поведение полимера описывается в рамках линейной вязкоупругости. Предполагается также малость деформаций. Известно [38], что стеклование на структурном уровне связано с возникновением между соседними полимерными цепями поперечных связей нехимического характера, что приводит к возрастанию энергии межмолекулярного взаимодействия и снижению сегментальной подвижности макромолекул, в макропроявлениях выражающегося

вувеличении жесткости стеклующейся системы. Относительное увеличение жесткости полимера в процессе стеклования, как и ранее, будем характеризовать степенью стеклования 0 ≤ N ≤ 1. Одноосное напряженное состояние полимера в процессе стеклования, происходящего в интервале температур Tg2 ≤ T ≤ Tg1 , где Tg1 – темпе-

ратура начала стеклования, Tg2 – температура конца стеклования,

представим следующим образом.

Пусть в момент времени t1 в некотором объеме материала за счет снижения температуры произошло образование новых связей

73

пропорционально N1 (t1 ). Согласно принципу суперпозиции Больц-

мана [77], напряжения, возникающие в этой части полимера в момент времени tk > t1 , являются суммой напряжений, возникших

в ней в моменты времени t1, t2 , ..., tk от соответствующих приращений деформаций ε(t1 ), ε(t2 ), ..., ε(tk ):

где R(t, τ) = R11 (t, τ) − E1 , E1 – модуль упругости полимера в высокоэластическом состоянии, R11 (t, τ) – функция релаксации [77] пол-

ностью застеклованного материала.

Пусть в момент t2 произошло изменение степени стеклования на величину N2 (t2 ), причем возникшие в момент t2 связи являются

ненапряженными, тогда для этих связей можно записать следующее выражение для напряжения в момент времени tk :

σ2 (tk )= N2[R(tk − t2 ,t2 − t2 ) ε(t2 )+ R(tk − t2 ,t3 − t2 ) ε(t3 )+

Осуществляя предельный переход в выражениях (2.20)–(2.22), для момента времени t > tk можно записать

σ1 (t ) = N1 t R(t − t1, τ− t1 )dε(τ),

t1

74

С учетом (2.23) выражение для напряжений, возникающих в системе новых связей, образовавшихся при стекловании полимера, в момент времени t примет вид

Осуществляя в выражении (2.24) предельный переход, получим

Предполагая совместность деформаций старых и вновь образовавшихся связей, запишем выражение для напряжений, возникающих в стеклующейся системе:

С учетом температурных деформаций выражение (2.26) можно записать следующим образом:

75

Т(t )

где в общем случае εТ = α(T (τ))dT (τ), α – коэффициент линей-

T0

ного температурного расширения полимера; T (t ) – температура полимера; T0 – начальная температура.

Релаксационные свойства полимеров сильно зависят от температуры, поэтому в соотношениях (2.27) необходимо учесть это влияние. Если материал при T < Tg2 является термореологически простым, то

возможно использование принципа температурно-временной аналогии [77], согласно которому можно записать

временного сдвига материала в стеклообразном состоянии. Соотношения (2.28) в предположении непрерывности деформа-

ций по времени приводятся к более компактной форме, если вычислить внешний интеграл по частям.

=− N (0) t R(t* − ω* )dε(ω) + N (t) t R(t* − ω* )dε(ω) +

ττ

где ε = ε− εT .

76

Первое и второе слагаемые обращаются в 0, так как охлаждение начинается с температуры, значительно превышающей температуру стеклования, т.е. N (0) = 0, а во втором слагаемом производится ин-

тегрирование на нулевом интервале. Производную в подынтегральном выражении третьего слагаемого можно преобразовать следующим образом:

После всех преобразований определяющие соотношения для стеклующегося материала при охлаждении примут вид

Модель (2.29) сводится к своему частному случаю – полученным ранее в разделе соотношениям в упругом приближении (2.5) путем замены функции релаксации R(t* − τ* ) на модуль E2' = E2 − E1 , где E2 – упругий модуль материала в стеклообразном состоянии.

Рассуждая аналогичным образом, можно получить модель поведения стеклующегося материала при нагреве:

При выводе (2.30) полагалось, что к моменту начала нагрева деформационная история «забыта» (напряжения полностью отрелаксировали). Объединяя (2.29) и (2.30), получим

77

где N1(t,t1) = {1, t < t1; N(t), t ≥ t1}; N2 (t,t1) = {N(t), t < t1; N(t1), t ≥ t1}; t1 – время окончания охлаждения и начала нагрева. Соотношения

(2.31) допускают обобщение на случай многократного повторения циклов охлаждения–нагрева.

2.7. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ

2.7.1. Гипоупругая модель В.В. Болотина

Модель В.В. Болотина [52] представляет собой связь между напряжениями и деформациями в дифференциальной форме. При одноосном нагружении гипоупругие соотношения записываются в виде

Для сравнения продифференцируем физические соотношения в упругом приближении (2.5) по времени и, выполнив простые преобразования, приведем их к виду

Если не учитывать второе и третье слагаемые в правой части (2.33), то по форме получаем гипоупругую модель В.В. Болотина со специфическим способом построения гипоупругого оператора

E (t ) = E1 (T (t )) + E2 (T (t ))N (t ) на основе представления степени за-

стеклованности в виде (2.8). То есть модель (2.5) совпадает по форме с гипоупругой при слабой зависимости модулей E1 и E2 от тем-

пературы. У эпоксидных смол изменение модуля Юнга застеклованного полимера от комнатной температуры до интервала стеклования

78

составляет приблизительно 50 % [34]. Оценим погрешность, вносимую в вычисление напряжений в охлаждаемом защемленном образце из ЭДТ-10 на интервале 0 < T < Tg2 третьим слагаемым в (2.33).

При этом влиянием второго слагаемого пренебрегаем, так как E2 >> E1 . Будем считать, что до температуры Tg2 материал охлажда-

ется свободно (напряжения равны нулю). При T = Tg2 образец за-

щемляется и дальнейшее остывание приводит к возникновению температурных напряжений. Учитывая, что для T < Tg2 , N = 0, пе-

репишем (2.32), (2.33):

σБ (t ) = −E2 (T (t ))εT (T );

σэ (t ) = −E2 (T (t ))εT (t ) − E2 (T (t ))ε(t ),

T (t )

где εT (t ) = α(T (τ))dT (τ). После интегрирования полученных

TH

выражений и приведения подобных получаем зависимость напряжений от времени в конечной форме:

Зависимости модуля Юнга и коэффициента температурного расширения от температуры для ЭДТ-10 аппроксимированы линейными полиномами (см. разд. 2.4): α = Aα + BαT; E2 = AE + BET . Подставляя

данные зависимости в выражение для температурной деформации, определим значения напряжений при температуре Т = 0 °С:

79

Относительную невязку вычисления напряжений определяем по формуле

σ(T ) = 2(σБ (0) − σ (0))(σБ (0) + σ (0))−1

или в относительных величинах после подстановки соответствующих констант:

Bα = 1,23 10−6 °C−2 ; AE = 323 107 Па; BE = –1,82 Па/°С.

По результатам расчета температурных напряжений в защемленном образце из ЭДТ-10 максимальная относительная невязка между двумя моделям достигает 21 %. Если защемление произведено при более высокой температуре, величина невязки возрастает. Это, в частности, может привести к значительным погрешностям расчета напряженно-деформированного состояния при использовании в гипоупругих соотношениях экспериментальных констант, найденных для предложенной в данной работе модели (2.5).

Существенным преимуществом модели (2.5) является возможность адекватного описания термомеханических эффектов при размягчении отвержденного полимера или композита на его основе, в то время как гипоупругая модель не различает знака производной температуры по времени. Это особенно важно при исследовании технологических процессов, связанных с повторным подогревом готового изделия для снятия остаточных напряжений.

2.7.2. Модель мгновенного стеклования И.И. Бугакова

Исходным в соотношениях [59] И.И. Бугакова является, как и для модели (2.5), единое для всего процесса неизотермического деформирования уравнение связи. Такой подход позволяет устано-

80