книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

вить, для какой из фаз следует применять уравнение в дифференциальной форме, для какой в конечной. Считается, что вещество в каждом из релаксационных состояний (высокоэластическом либо стеклообразном) идеально упруго, его физико-механические характеристики неизменны, а переход происходит скачком. Модель основана на чисто феноменологическом подходе и позволяет добиться качественно верного описания эффектов стеклования и размягчения при предельно упрощенном наборе материальных констант. Определяющие соотношения в этом случае принимают вид

где Eg , E1 – модули Юнга материала в стеклообразном и высокоэластическом состояниях соответственно. Основную погрешность при расчетах по данной модели будет вносить допущение о скачкообразности перехода из мягкой в твердую фазу.

На рис. 2.12 показаны кривые напряжений в защемленном образце из эпоксидной смолы ЭДТ-10 (одноосный образец с равными нулю перемещениями на обоих концах). Режим изменения температуры включает нагрев от 60 до 105 °С с последующим охлаждением до исходной точки. Экспериментальные кривые для двух значений скорости изменения температуры построены по данным работы [135]. При расчете по формулам (2.35) принималось, что E g = E1 (100 °С) + E2 (60 °C). Для сравнения приведен расчет по со-

отношениям (2.5). Значения входящих в (2.5) констант взяты из эксперимента разд. 2.5; полагалось, что стеклование образца до начала охлаждения было свободным (без нагрузки), поэтому интеграл в правой части (2.5) обнуляется и напряжение в образце на стадии повышения температуры описывается следующей формулой:

При охлаждении материала физические уравнения (2.5) принимают вид

81

σС = − E1 (T (t )) + E2 (T (t ))N (T (t )) εT (T (t )) −

Сравнение результатов анализа по (2.35)–(2.37) с результатами эксперимента (см. рис. 2.12) показывает, что неучет плавности релаксационного перехода приводит к погрешности по напряжениям порядка 70 % на кривой разогрева. Это накладывает определенные ограничения на использование упрощенной модели И.И. Бугакова

Рис. 2.12. Напряжения в защемленном образце из ЭДТ-10: 1 – нагрев со скоростью T = 1,5 °С/мин; 2 – 0,5 °С/мин; 3 – охлаждение с T = –1,5 °С/мин; 4 – повторный нагрев;

– модельИ.И. Бугакова, - - - - – упругое приближение(2.5), - - - - – модель Дж. Максвелла, – эксперимент [36],

____ – вязкоупругая модель (2.31)

82

в расчетах технологического напряженно-деформированного состояния изделий из стеклующихся материалов.

В качестве примера проведем расчет остаточных технологических напряжений в пакете из n эпоксидных стержней единичного поперечного сечения (рис. 2.13). Охлаждение пакета происходит от T = TП за счет конвективного теплообмена с окружающей средой

с температурой Tc (t ), в результате чего в стержнях возникают про-

n

дольные напряжения σi , а общее усилие равно нулю σi = 0.

i=1

Деформирование происходит совместно, поэтому εi = ε. Пусть тем-

пература среды меняется скачкообразно, в соответствии с этим процесс разбивается на три стадии (рис. 2.14):

1)до момента t = t1 :Tc (t ) = Tc1 =const;

2)при t1 < t < t2 :Tc (t ) = TП = const;

3)начиная с t = t2 до полного охлаждения пакета Tc (t ) = Tc1 = const.

Для указанных температур должно соблюдаться неравенство Tc1 < Tg2 < Tg1 < TП , т.е. Tc1 и TП должны находиться за пределами ин-

тервала стеклования. Данная задача описывает образование остаточных напряжений в изделиях из стеклующихся материалов при их остывании с последующим подогревом на временном промежутке t1 < t < t2 .

83

Решение тепловой задачи велось методом конечных разностей в предположении, что теплообмен с окружающей средой по боковым граням отсутствует. Постановка задачи имеет вид

где λ, c, ρ – теплопроводность, теплоемкость и плотность материала соответственно; H = nh, h – толщина одного стержня; αT – коэф-

фициент теплоотдачи.

Напряжения определялись по известному полю температур. Временной интервал разбивался на Nt шагов по времени. В каждый из этих моментов решалась система уравнений, содержащая физические соотношения в виде интегральной суммы и уравнение равновесия:

σi (t j ) = E1 (Ti (t j ))+ E2 (Ti (t j ))N (Ti (t j − 1 )) ×

i = 1

Индекс «С» обозначает «замороженные» при стекловании деформации.

Степень стеклования описывается формулой (2.8). В расчетах

принимались следующие значения констант: λ = 0,19 Вт/м/К;

С= 1000 Дж/кг/К; ρ = 1600 кг/м3; αT = 500 Вт/м2/К; n = 15; H = 0,1 м;

TП = 170 °C; Tc1 = 20 °C. Механические характеристики ЭДТ-10 и па-

раметры кинетики взяты из разд. 2.5. Переход к модели И.И. Бугакова осуществлялся путем сужения интервала стеклования до нуля

84

дает хорошее качественное совпадение результатов расчета и допустимо в случаях, когда необходимо исследовать общие закономерности и эффекты при стекловании. Для прочностных расчетов, требующих точного количественного описания, модель (2.35) следует применять с осторожностью.

2.7.3. Реологическая модель А.П. Александрова – Ю.С. Лазуркина – Г.И. Гуревича

Наиболее подробный анализ данной модели [114] (называемой также обобщенным нелинейным уравнением Дж. Максвелла) применительно к эпоксидным смолам и простейшим конструкциям из них приведен в работах Р.А. Турусова [135] и В.Ф. Бабича [34]. Главной физической идеей, положенной в основу вывода уравнения связи, является постулат о направленности процесса перегруппировок молекул и перемещений их разнообразных комплексов в сторону стабильного расположения, при котором энергия совокупности молекул, образующих тело, имеет минимальное значение. Данное уравнение считается наиболее универсальным для описания поведения конденсированных сред, к которым относятся жидкости и твердые тела, и позволяет с высокой точностью описывать термомеханические свойства полимерных стеклующихся материалов. В одномерном варианте обобщенное нелинейное уравнение Дж. Максвелла имеет вид [72, 135]

σ = Eε,

где

nm

ε= ε− εT − εBS − εΠS ;

εΠS = 32σηΠS .

86

Здесь ε – текущая деформация; εT – температурная деформация; εBS , εΠS – составляющая высокоэластической и пластической деформации для времени tS из спектра времен релаксации; ηBS , ηΠS –

соответствующие значения коэффициента релаксационной вязкости, являющиеся функциями давления, деформации объемного сжатия и температуры. Полная расшифровка функций, входящих в (2.38), не приводится в данной работе из-за громоздкости. Для полного количественного описания (2.38) требуется большое число экспериментов для определения неизотермической ползучести и релаксации [135]. Расчет напряженно-деформированного состояния конструкций с использованием (2.38) затруднен из-за нелинейности. На рис. 2.12 показаны теоретические кривые изменения напряжения в защемленном стержне, рассчитанные по (2.38) для ЭДТ-10 с учетом двух членов спектра времен высокоэластической деформации – старшего и младшего. Графики построены по данным работы [135] для различных скоростей изменения температуры. Соотношения (2.5), как видно из рисунка, не позволяют достаточно адекватно описывать экспериментально наблюдаемый гистерезис напряжений при повторных циклах нагрева–охлаждения образца, улавливаемый с помощью уравнения А.П. Александрова – Ю.С. Лазуркина – Г.И. Гуревича. В то же время модель (2.5) правильно отслеживает количественные и качественные эффекты, обусловленные изменением скорости охлаждения и нагрева. Наибольшие расхождения в расчетах по сравниваемым моделям должны наблюдаться при термостатировании в интервале стеклования из-за неучета релаксационных свойств полимера соотношениями (2.5). В переходных процессах (т.е. при непрерывном изменении температуры) в рассмотренном диапазоне скоростей нагрева–охлаждения соотношения (2.5) дают адекватное количественное описание термомеханического поведения стеклующихся полимеров. Для сравнения на том же рисунке приведен результат расчета напряжений в стержне по вязкоупругим соотношениям (2.31) (тонкая сплошная кривая). Как видно из рисунка, при этом наблюдается хорошее качественное и количественное совпадение с экспериментом.

87

2.8. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА. АНАЛИЗ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

ФОРМИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ И ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПАКЕТЕ СТЕРЖНЕЙ

Предлагаемое аналитическое решение является хорошей иллюстрацией для понимания механизма формирования полей технологических и остаточных напряжений в изделиях из стеклующихся полимеров при неравномерном охлаждении с использованием описанной физической модели.

охлаждаемых, совместно деформирующихся стержней из одного материала и одинакового поперечного сечения. Предпо-

лагается, что механическое взаимодействие между ними в направлении x (см. рис. 2.16) отсутствует, в то время как нестационарная температура меняется именно по этой координате. Представленная схема может служить модельным представлением сплошной полосы без поперечных связей, стеклующейся в неоднородном температурном поле.

Для получения аналитического решения используются следующие упрощающие гипотезы.

1. Деформация всех стержней ε(t) одинакова и известна. В начальный момент времени конструкция находится в естественном состоянии, т.е. ε(0) = 0 .

2. Координатно-временная функция температуры задается выражением

88

является линейной координатной функцией скорости охлаждения. Положительность коэффициентов a1, a2 означает, например, что

медленнее остальных охлаждается слой с координатой x = 0 .

3. Модули материала стержней в высокоэластическом E1 и стеклообразном E2 состояниях, температура стеклования Tg и коэффици-

ент температурного расширения α не зависят от температуры.

4. Стеклование происходит мгновенно при T (x,t) = Tg , следова-

тельно, температурная зависимость степени стеклования может быть описана функцией Хевисайда

Формула (2.41) является частным случаем распределения Лап-

ласа (2.8) при γL → 0, Tg = const .

С учетом введенных предположений напряжения в пакете стержней (см. модель (2.6)) будут изменяться по закону

σ(x,t ) = (E1 + E2 N (x,t))(ε(t) − εT (x,t)) −

T ( x,t )

−E2 (ε(τ) − εT (x, τ)) dN (T (x, τ)),

T0

где εT (x,t) – температурная деформация, εT (x,t) = α(T (x,t) − T0 ) . Интегрирование с учетом гипотезы 4 (формула (2.41)) дает

89

где tg (x) – время достижения температуры стеклования в слое с координатой x. Его можно определить по формуле (2.39)

В соответствии с гипотезой 3 температурная деформация в момент достижения температуры стеклования во всех слоях одинакова и равна

εT (x,tg (x)) ≡ εTg = α(Tg − T0 ) .

После приведения подобных соотношение (2.42) преобразуется к виду

В формуле (2.43) остается неопределенной зависимость деформации пакета от времени ε(t) . Анализ выражения (2.43) показывает, что при заданном законе изменения температуры (2.39), (2.40) и принятой гипотезе о постоянстве температуры стеклования для образования остаточных напряжений необходимо, чтобы ε(t) ≠ 0 . В самом деле, наличие остаточных напряжений возможно лишь в случае, когда напряженное состояние при полном охлаждении до температуры T1 всех слоев пакета неравномерно. При нулевой деформации, с учетом того что N (x,∞) = 1, напряжения во всех стержнях по (2.43) будут равны между собой

σ(x,∞ ) = −α(T1 − T0 )[E1 + E2 ] + εTg E2 ,

следовательно, остаточные напряжения будут отсутствовать.

90