книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов

измерить (т. к. в каждой ячейке находится только одно наблюдение), дисперсионный анализ этого экс­ перимента тривиален. Схема такого анализа приве­ дена в таблице 44.

Если закодировать данные, приведенные на фиг. 10 вычитанием из каждого показания 61, то получим таб­ лицу 45, похожую на латинский квадрат. Если под­ считать суммы квадратов по данным этой таблицы, то получим те же самые величины, которые приве­ дены выше.

2 x 2 x 2 = 2 3, который также проводится но полностью рандомизированному плану. Здесь вариантами испы­ таний являются (1 ), а, Ь, аЬ, с, ас, be, abc и их можно считать вершинами куба (фиг. 1 1 ) [1 ].

Имея эти 23 наблюдений или 8 г в случае г наблю­ дений в каждом варианте испытаний, можно выразить главные эффекты и взаимодействия, используя коэф­ фициенты ( —1 или -f-1 )' при этих восьми откликах. Для главного эффекта фактора А берутся все отклики

в правой грани со знаком (-[-) и все отклики в левой грани со знаком (7-). Для фактора В берутся все отклики в нижней грани минус, а верхней грани — плюс. Для фактора С все отклики в задней грани берутся плюс, а отклики передней грани—минус.

Таким образом получается:

отражать эффект, обусловленный возрастанием уровней факторов А, В и- С, т. е.

4-Л — — (1) + а —b-\~ ab— c-{-ac—bc-{-abc;

4С = —(1 ) -f- с—а + ас—bЦ- bc—ab + abc.

Теперь определим эффекты взаимодействия сле­ дующим образом. Взаимодействие А В определяется разностью между эффектом фактора А при нулевом уровне В и эффектом А при единичном уровне В не­

Отсюда 4АВ — Вл— В0= [ab + abc — b — Ьс] —

— [а-\-ас—(1 ) —с] = abc-f a b ^b —be—a—ac+c-Y'fi).

Взаимодействие А.С определяется разностью между эффектом фактора А при нулевом уровне С и эффек­ том А при единичном уровне С, независимо от В.

Отсюда 4АС — Сг— С0= [ас -{- abc — с — Ьс] —

— \a~\-ab—b—(1)] — ас-\-аЪс—с—Ьс—а—аЬ-\-Ь-\- (1).

Взаимодействие ВС определяется разностью между

— [-—(l)—a-\-b-[-ab]= —c—ac+bc-{-abc-\-(l)A-a—b—ab.

Д ля определения взаимодействия АВС сравнива­ ется взаимодействие ВС при А0 с взаимодействием ВС при Av Разность между ними и будет взаимодейст­ вием АВС.

при Л0:2(эффект взаимолрйгтвия ВС) = (1)— Ь—с-\-Ьс

при At:2 (эффект взаимодействия B C )= a -ab —ac-\-abc (56)

Составим таблицу 46 коэффициентов для эффек­ тов в факторном эксперименте типа 23. Имея эти коэффициенты, можно вычесть сумму квадратов:

В этой главе подробно разработана задача изу­ чения силы резания при обработке стали 45 резцами Т15К6 и Т5К10. Нетрудно видеть, что этот пример дей­ ствительно факторный эксперимент типа 2 x 2 x 2 — 23 с четырьмя повторениями в каждой ячейке. Можно подсчитать сумму квадратов по специальному просто­ му методу, называемому методом Йетса [1]. Для этого таблицу 38 запишем в следующем, удобном для под­ счета, виде (таблица 47).

С целью применения метода Йетса значения от­ кликов таблицы 47 запишем так, как представлены в таблице 48.

Количество столбцов зависит от факторов иссле­ дования. Если четыре фактора, то будет четыре столб­ ца. В нашем случае п = 3, значит имеем три столбца: (1 ): (2 ); (3). Значения последнего столбца равны конт­ растам. При этом первый элемент (3) столбца равен сумме всех наблюдений, умноженной на г*2n~J. Для данного примера г-2п~1= 4*23~ 1 = 16. Таким образом, элементы, соответствующие a, b, ab... и т. д., равны 16Л, 16Д, Х6АВ, и т. д.

Если значения (3) столбца возвести в квадрат и разделить на г*2П= 32, то получим, суммы квадратов для всех вариантов. Первая сумма квадратов,'т. е.

]Сумма)2----(от всех наблюдений отклика [1] равна по-

г-8

правочному члену для всех эффектов.

Изложим сущность метода Йетса. В первом столб­ це табл. 48 записаны все варианты испытаний, во втором столбце—суммарный отклик для каждого ва­ рианта (т. е. значения откликов для всех вариантов), в третьем столбце, обозначенном (1 ), записаны суммы пар откликов для первой половины этого столбца, а именно.

пением уровней количественного фактора [1]. Напри­ мер, существует ли линейная зависимость между ско­ ростью резания (подачи или глубиной резания) и силой резания? Или, как изменяется количество тепла с изменением режимного поля? Имеются ли в этих случаях зависимости второй степени, или существуют только квадратические зависимости?

Всем этим вопросам и посвящен данный параграф. Чтобы понять, каким образом можно выделить линей­ ные и квадратические эффекты, рассмотрим количест­ венный фактор с тремя уровнями. Например, рассмот­ рим факторы скорость резания или подача с тремя уровнями соответственно: 3, 8 , 13 лг/мин и 0,25, 0,5Г 0,75 мм/об. Как видно, эти уровни отделены друг от друга равными интервалами. При таких равных интер­ валах между уровнями анализ значительно упрощается.

Обозначим суммарные значения откликов для факторов через P.lt Р.2 и Р.j. Результаты можно изо­

рости резания изменяется линейно, результат этого

равна

(А, —А 2) “ (А 2 - А ,)« Я' - 2Аа - А , - Скв«

= 150—240—130— 220.

Здесь Сл называется линейным контрастом, а С*,,—квадратическим контрастом, причем Сл ортого­ нален Скв.

Если бы скорость резания^ менялась на четырех уровнях, то можно было бы выделить линейный, квад­ ратический и кубический эффекты, подбирая особым образом коэффициенты для суммарных эффектов.

Для быстрого решения этой задачи имеется таб­ лица ортогональных полиномов, приведенная в конце книги (таблица Ж) [1]. Таблица содержит еще две величины: F и К, где F—сумма квадратов коэффи­ циентов, используемая для любого контраста, К — масштабный множитель, который можно использовать для получения уравнения кривой после того, как станет ясно, что соответствующие эффекты значи­ мы [1 ].

Способ пользования этой таблицей заключается в том, что, применяя коэффициенты к суммам, полу­ ченным из отклика, можно легко выделить линей­ ные, квадратические и кубические суммы квадратов из общей суммы квадратов для исследуемого коли­ чественного фактора.

А. Единственный фактор

сколичественными уровнями

3jo тип однофакторного эксперимента, план кото­ рого полностью рандомизирован и его модель такова:

где / = 1 , 2 ...Л у = 1 , 2...k.

Приведем пример. Допустим, что резец марки Т5КЮ подвергается стойкостным испытаниям. Стало известно, что через 20, 40, 60, 80 мин. (конечно, это

условное распределение времени) износ инструментов (на каждом уровне использовались 8 отобранных рез­ цов) начинает увеличиваться.

Результаты эксперимента приведены в табл. 49. Следует отметить, что критерием износа (размерный износ) принимается равным 0,25 мм. Исходя из этого, простая процедура кодирования данных состояла в том, что из всех значений износа вычиталось .250. Ввиду того, что план полностью рандомизирован, моделью будет уравнение (58), а индексы соответст­ венно будут равны г = 1 , 2 ...8 , j — 1 , 2...4. Анализ та­ кого плана здесь не приводится в подробностях, так как он подробно изучен в главе 4.

Использование метода этого анализа дает:

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 50.