книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов
..pdfВ теории вероятностей известна следующая тео рема. Если А”—случайная величина с дисперсией с2, а 6’- -некоторое число, то
°VbС“ |
°2.Чi |
а.Ч+С==3Х |
|
/13^ |
|
з2с.х = |
^ о \ ; |
асч = |
| ОI X |
- |
} |
Допустим, известна таблица вероятностей слу |
|||||
чайной величины Л' (табл. |
12). |
|
|
||
|
|
|
Таблица |
12 |
|
Вероятность, |
/ (х) |
0,4 |
0,3 |
0,7 |
|
Значение А', .г |
725 |
750 |
775' |
||
Необходимо найти дисперсию о 2.
Для решения задачи необходимо вычесть из каж дого значения X среднее значение суммы 725, 750 и 775, а затем результат разделить на 25(750—725 или 775—750). Получается новая величина:
Г = |
--X —750 |
таблица вероятностей которой проще: |
||||
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
13 |
|
|
Вероятность / г (у) |
0,4 |
0,3 |
0,7 |
||
|
Значение V, у |
-1 |
0 |
-! 1 |
||
|
После вычисления математических ожиданий |
|||||
|
Н-Y= Е (Y) = - 1 Х0.4 +0X0,3 + 1 Х0,7= 0,3 |
|||||
|
р.2у= |
£ ( К2) = (—1)80,4 4- 020,3+12ХО,7—1,1 |
||||
дисперсия |
Y равна: |
|
|
|
||
|
о?Y= Е (Y f - |
=1.1—0,09 =1,01. |
||||
|
Вследствие |
того, что 2^= 25^ + 750, то |
||||
Л |
= °W |
, » - |
°a25Y- : 25s *4 = 625X1.01=631.25. |
|||
Как в предыдущих параграфах данной главы, так и в этом параграфе мы изучили понятия случайной величины, случайной функции, среднего значения и дисперсии. Указанные понятия применяются для ана лиза теоретических исходов эксперимента. Хотя с по мощью этих понятий можно предсказать, что произой дет при выполнении опыта, тем не менее в исклю чительных случаях возможно сказать заранее, каков будет исход.
Окончательный ответ об исходе эксперимента мо жет диктовать выборочное среднее значение и дис персия. С этой целью необходимо основывать анализ на рассмотрении некоторой выборки. Приведем при мер. Допустим, ящик содержит 60 штук режущих пластин из корунда: красного и белого цвета. Выни мается из ящика 5 пластин и отмечается число крас
ных пластин |
в этой группе. |
После этого |
пластинки |
|
смешиваются |
и эксперимент |
повторяется еще 29 раз. |
||
Итак, повторяется эксперимент 30 раз. |
|
|
||
Ниже, в таблице 14, приведено соответствующее |
||||
количество красных пластин |
в группе |
и |
количество |
|
групп. |
|
|
|
|
|
|
Таблица |
14 |
|
Число красных пластин Число групп |
|
|||
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
2 |
10 |
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
Необходимо определить среднее число красных пластин в одной группе. Оно определяется:
__ 0*1 Ч~ tXQ—Н2 1 0 —3 ^7 -j- 4x5 -f- 5х 1 |
п |
л |
30 |
’ |
' |
Теперь можно вычислить „выборочную диспер
сию**, т. е. среднее квадрата отклонения от х для данной выборки. С этой целью составляется табли ца 15, где вычисляются дисперсии по> данным таб лицы 14.
32
Число |
Число |
Отклонение |
Квадрат |
Произведение: |
красных |
групп |
отклонения |
||
пластин |
«1 |
Х \ — Х |
(л-i — х)2 |
(*i — х)2 щ |
х\ |
||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
- 2 ,4 |
5,76 |
5,76 |
1 |
0 |
- 1 ,4 |
1,96 |
11,76 |
2 |
10 |
- 0 ,4 |
0,16 |
1,6 |
3 |
7 |
+ 0 ,6 |
0,36 |
2,52 |
4 |
5 |
+ 1 ,6 |
2,56 |
12,8 |
5 |
I |
+ 2 ,6 |
6,76 |
6,76 |
Всего |
30 |
|
|
41,2 |
Число 41,2 является суммой, квадратов отклонений для всех 30 групп. Выборочной дисперсией называется среднее квадратов отклонений и обозначается S2. В
41 2
данном примере S2 = — ’—= 1,37, -а арифметический
квадратный корень из дисперсии представляет собой выборочное стандартное отклонение. Для приведен ного примера
S = J / 1,37 = 1,17.
Следовательно, получается, что среднее число
красных пластин в одной группе равно jt = 2,4, а стант дартное отклонение числа красных пластин в одной группе — 5 — 1,17.
Таким образом, если дано множество наблюдений, в которых значение хл встречается пг раз, х2 встре чается п2 раз и т. д., то выборочная дисперсия Sx2 равна:
(*1—■x)2' h + ( * a —х ) гп2-\----- Kjct—х)Ьц |
1 t |
|
= — ХСЧ—х)2п{. |
||
ni "Ь пг“Ь пз4" ■— 1~ nt |
|
п |
|
|
(14) |
Выборочное стандартное |
отклонение, которое |
|
равно арифметическому квадратному корню из дис персии, равно: .
Для вычисления выборочной дисперсии, или сред него квадратичного отклонения, часто удобно поль зоваться следующей формулой:
S x2 = -fl |
i - |
(л*)й или |
(16) |
S* = x" — (х)", |
где |
|
|
Р = —
п
Из вышеизложенного ясно, что выборочное сред
нее в выборке х, выборочную дисперсию Sx2 и выбо рочное стандартное отклонение S надо отличать от среднего значения, дисперсии и стандартного откло нения во всей совокупности.
§ 5. Распределение вероятностей и теорема Чебышева
В предыдущих параграфах не было показано, как молено использовать стандартное отклонение для по лучения информации относительно расположения ве роятности в интервале, центром которого является среднее значение jx, и относительно ширины этого
интервала.
Это можно показать с помощью теоремы Чебы шева. Она формулируется так: суммарная вероятность всех значений, удаленных от среднего значения р не более чем на h стандартных отклонений, не меньше 1—1[h. Приведем пример. Допустим, рассматривается случайная величина X со следующей таблицей ве роятности:
|
|
Т а б л и ц а |
16 |
|
Вероятность, f (jt) |
10/27 |
10/27 |
6/27 |
1/27 |
Значение X , х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Необходимо найти вероятность значений X, уда-, ленных от среднего значения на расстояние:
JO iO
2? 27
6
27
I 12?
J___
3
/*'ЪЪ ju-75
Ji*26 JU*^6
Фиг. 2.
1)не превышающее одного стандартного откло
нения;
2)не превышающее .двух стандартных отклоне
ний;
3)не превышающее трех стандартных отклоне
ний.
После вычисления среднего значения |х и стан дартного отклонения о получается:
1х= ОХ10/27+1X 10/27+ 2Х6/27+ ЗХ1/27 = 25/27
о2= Е(Х2) — jx2= [02ХЮ/27+12Х 10/27+ 22Хб/27+
+ 32Х 1/27] - (25/27)2 = 536/729; о 23/27.
На фигуре 2 представлен график функции вероят ностей. На этом графике |х отмечено черным кругом. Стрелками изображены концы интервалов длины 2а, 4а и 6з с центром в точке р.
Теперь можно определить .вероятности-значений, удаленных от jx соответственно не более чем на ве личину + 1о, + 2а й + За:
10/27+10/27= 20/27
10/27+10/27+ 6/27= 26/27
10/27+10/27 + 6/27+1/27=1.
*
Этот пример утверждает, что для любой случай
ной величины вероятность отклонения от среднего значения не более чем на 2з не меньше 25/27.
Отметим, что теорему Чебышева можно приме нять для доказательства того, что некоторые данные, обнаруженные в значительно большей выборке из какой-нибудь совокупности, достаточно хорошо ха рактеризуют истинное положение вещей, связанное со свойствами всей совокупности.
Г л а в а III
НЕКОТОРЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Прежде чем приступить к изложению основного содержания данной главы, необходимо ввести неко торые пояснения.
' Известно, что при проведении экспериментов по вторные наблюдения над одним и тем же или над сходными событиями (параметрами) в точности не согласуются друг с другом. Подобная картина наблю дается даже тогда, когда сохраняются разумные меры предосторожности с целью сохранения условий на блюдения постоянными. Например, в производстве, при обработке на станке партии однотипных деталей при соблюдении одного и того же технологического процесса все полученные готовые детали отличаются друг от друга и от расчетного „идеального" прото типа по всем характеристикам качества.
С другой стороны, хотя абсолютная характери стика (значение, размер) меняется неустойчиво, от носительная характеристика двух способов обработки (или процессов) оказывается довольно устойчивой. К примеру, изменение температуры резания в зависи мости от скорости резания при обработке, допустим, стали 45. В связи с вышеизложенным здесь нельзя говорить об абсолютно точном значении каждой тем пературы резания в зависимости от скорости резания. Однако при обработке другой марки стали, при иден тичных условиях эксперимента, полученные значения температуры резания могут значительно отличаться от тех, которые были зафиксированы при обработке
за
стали 45. Следовательно, эксперименты, по-видимому, должны быть сравнительными, а абсолютные значе ния представляют лишь второстепенный характер.
Вданной книге рассматриваются в основном срав нительные эксперименты. Иначе говоря, они будут относиться к таким положениям, как сравнение влия ния различных условий на величину составляющих силы резания, показателей упрочнения поверхности или температуру резания, чем к определению физи ческих каких-то констант.
Идея сравнительного эксперимента, данной Анскомбом [3], остается удобной и полезной.
Вэтой главе рассматриваются следующие воп
росы:
1.Терминология и основные понятия эксперимен тирования,
2.Понятие плана экспериментирования,
3.Рандомизация экспериментирования,
4.Понятие статистического вывода,
5.Дисперсионный анализ,
6.Общин регрессионный критерий значимости.
§ t. Терминология и основные понятия экспериментирования
Для каждого экспериментатора необходимо знать стандартную терминологию, принятую у статистиков, так как без знания этих терминов в дальнейшем за трудняется анализ из выборочных наблюдении.
В частности, единицу материала, подвергаемую обработке, можно называть участком. Любая коли чественная мера, полученная с участка, может быть названа урожаем. Группа участков в структуре плана, имеющих некоторые присущие им общие черты, на зывается блоком. В данном плане независимые пере менные называются факторами. Некоторые количест венные или .качественные состояния фактора назы ваются. уровнями..
Приведем пример. Определить величину состав ляющих силы резания в зависимости от режимов ре зания V, S и t при обработке стали 45 резцом Т5К10. Скорость резания, подача и глубина резания изме
няются соответственно в пределах: ^=10—100 л/мин, 5 = 0,15 —0,47 мм/об, t = 0,5—1,5 мм.
В этом примере участком является материал сталь 45, урожаем—значения составляющих силы ре зания Рг, Ру и Рх. Факторами здесь являются скорость резания'; подача и глубина резания. Уровнями можно считать пределы изменения указанных факторов.
Отметим еще следующее. Выше было сказано, что точное определение исхода эксперимента невоз можно. В связи с этим область возможных исходов можно определить, используя данные предыдущих исследований, или наблюденные выборочные данные. На основе предположения, что исходы эксперимента изменяются в некоторой области, можно принять то или иное решение в зависимости от того, могут ли наблюденные данные быть отнесены к совокупности, имеющей предполагаемую модель изменчивости. Ввиду того, что во всех измерениях имеют место случай ные изменения, истинно,е изменение в эксперименте должно быть выявлено при наличии этого случайного изменения.
Обычно совокупность характеризуется одним пли несколькими параметрами. Параметр совокупности обозначается буквой 0. Буквой ц обозначается сред нее значение совокупности, а2— дисперсия совокуп ности, о —среднее квадратическое отклонение сово купности.
Величина, вычисленная по выборочным значениям, взятым из совокупности, называется выборочная ста тистика или просто статистика, соответствующая па раметру совокупности. Она обозначается буквой U.
Как было обозначено во второй главе, выбороч ное среднее и выборочная дисперсия соответственно равны:
//
х = Yix \!n,
i-l
<17)
52= £ (*, - я)'/я - 1 , 1=1
где п— число наблюдений 6 выборке, л*!—значение случайной величины данной выборки-
38
§ 2. Понятие плана экспериментиррванйя
Под планом эксперимента, понимают:
а) множество способов обработки, выбираемых для сравнения,
б) спецификацию обрабатываемых участков, в) правила, по которым способы обработки сле
дует размещать на участках, г) спецификацию измерений, которые должны
быть получены на каждом участке [3].
Конечно, все пункты до некоторой степени ка саются статистики. Однако здесь рассматриваются только (а) и (в), так как они наиболее важны в тео ретических исследованиях. Обычно окончательное ре шение но пункту (а) принимает сам экспериментатор, несмотря на то, что часто оптимальный выбор спо собов обработки выбирается исходя из статистиче ской теории.
С другой стороны, хотя статистик может умело применять методы статистики в планировании экспе риментов, однако каждый экспериментатор должен сам выбрать те участки или факторы, которые ока зываются полезными для получения окончательного результата.
Например, в опытах но определению составляю щих силы резания (при обработке различных мате риалов) в зависимости от режимов резания можно с уверенностью предсказать, что полученные результа ты, при изменении этих режимов в некоторых разум ных пределах, оказываются пригодными для срав нения с результатами, полученными традиционным методом ведения опытов. С другой стороны, план может оказаться неверным, если пределы изменения режимов резания будут такими, что для каждого фак тора попадает один уровень.
Приведем еще один пример. Допустим, модель управления научно-исследовательскими работами ка кого-нибудь учреждения оправдывает себя с точки зрения нормального протекания работ. Однако неиз вестно, будут ли небольшие части этой модели, рас сматриваемые как участки, пригодны для определения иаилучших условий для текущих производственных нужд. Очевидно, бесполезно иметь участки, непри годные для опытного использования из-за их разме-
ров или продолжительности во времени, несмотря на то, что они пригодны для данной рассматриваемой задачи.
При составлении плана эксперимента важным эта пом является, ка£ сказано выше, определение коли чества наблюдений и размер выборки. Вообще целе сообразно брать по возможности самую большую выборку, особенно, если отсутствует информация о том, сколько вариантов имеется в наличии, насколько большие различия должны быть оценены и т. п. Не смотря на это, практически размер выборки в боль шинстве случаев бывает совершенно произволен. Кроме сказанного, важно также, чтобы порядок, в котором будет производиться эксперимент, был рандо мизирован.
§ 3. Рандомизация
Экспериментаторы часто думают, что для плани рования эксперимента достаточно определить способ обработки каждого участка. Однако это не так. В
ряде случаев |
два или более плана могут приводить |
к идентичным |
расположениям способов обработки в |
блоках, как, например любой эксперимент, который приводится по схеме латинского квадрата (т. е. план,
когда каждый вариант испытаний появляется |
один |
|
раз в строке и один |
раз в каждом столбце). |
Здесь |
мог бы иметь точно |
такое же расположение спосо |
|
бов обработки по участкам, как если бы был выбран рандомизированный блок или даже полностью рандо мизированный план (о рандомизированном блоке в по следующей главе).
План полностью определяется только с помощью множества -всех допустимых расположений, из кото рых был выбран один действительно принятый план. Более того, необходимым условием для получения несмещенных оценок разностей и их дисперсий явля ется то, что принятое частное расположение выбрано случайным образом из множества всех возможных [3].
Конечно, нельзя всякое беспорядочное располо жение способов обработки или любое использова ние личного суждения при построении „случайных на вид" расположений смешивать с точными процессами рандомизации. Планирование называется полностью
40