книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов

б) Факторный эксперимент типа Зл

Если экспериментатор имеет три фактора, каждый из которых может устанавливаться на трех уровнях, т. е. рассматривается факторный эксперимент типа 3X3X3 = 27, то имеется несколько путей разбиения эффектов факторов А, В и С и соответствующих взаимодействий. Модель для полностью рандомизи­ рованного плана такова [1]:

где i, j, k = 1, 2, 3.

Здесь получается 27 комбинаций условий, кото­ рые можно представить в таблице 66. Составим для эксперимента типа З3 следующую простую задачу. Допустим, что необходимо исследовать силу резания при одновременном изменении скорости резания, по­ дачи и глубины резания. Обозначая соответственно уровни для всех переменных:

нижний уровень —О основной уровень —Г верхний уровень —2,

комбинации условий можно представить для дальней­ шего анализа в более удобном виде. Отметим, что тройные взаимодействия (допустим, 175^) бывают труд­ но объяснимыми. Однако довольно часто эти взаимо­ действия с восемью степенями свободы можно исполь­ зовать в качестве члена ошибки для проверки основ­ ных эффектов V S, f и парных взаимодействий.

Анализ факторного эксперимента типа За для ли­ нейных и квадратических эффектов можно предста­ вить в таблице 67.

Учитывая тот факт, что для буквы V допускается наличие единственного показателя степени 1, полу­

разбить на четыре компоненты с двумя степенями сво­ боды в каждой.

В таблице 68 можно представить такое разбие­ ние вместо того, что показано в таблице 67.

Фиг. 15.

де случаев ограничения становятся необходимостью вследствие невозможности провести факторный экспе­ римент за одни'день, за одно время и т. д.

Вообще, если на эксперимент налагаются такие ограничения, в первую очередь надо решать вопрос о том, какой информацией можно пожертвовать и, в связи с этим, какие эффекты следует смешивать.

Приведем пример. Допустим, что имеем дело с факторным экспериментом типа 2“ (т. е. два фактора на двух уровнях), причем один фактор—эта подача, а другим фактором является глубина резания. Полу­ чается четыре комбинации условий (фиг. 15.).

Здесь точка (1) является нижним уровнем как для подачи, так и глубины резания. Верхними уров­ нями считаются точки а и b соответственно для по­ дачи и глубины резания. Точка ab является верхним для обоих параметров. Разумно считать, что невоз­ можно провести эксперимент соответственно двумя значениями подачи и глубины резания одновременно. Из этого следует, что на этот факторный экспери­ мент налагаются ограничения. Теперь необходимо ре­ шить, какие комбинации условий должны быть, взяты при первом опыте.

Для этого составляется таблица 69, где представ­ лены три возможных варианта для каждого опыта.

С целью составления плана эксперимента, в кото­ ром число условий испытаний, объединяемых в блок, меньше общего числа комбинаций условий, экспери­ ментатор в первую очередь должен решить, какие эффекты должен смешивать. Если, как в данном при­ мере, в эксперименте имеется лишь одно взаимо­ действие и экспериментатор решает, что он может смешать это взаимодействие с межблоковым эффек­ том, то придется лишь определить, какие комбинации условий поместить в каждый блок [1].

Можно привести один из способов решения этой задачи: помещать в один блок условий испытаний, имеющих в* выражении для смешиваемого эффекта

AB = ~Y [(Г) —a—b-[-ab] знак плюс, а в другой блок—

В случае, если число блоков и число условий испытаний увеличивается, необходимо в первую оче­ редь устанавливать определенный контраст. Послед­ ний показывает, какие эффекты должны смешиваться с межблоковым эффектом. Для того чтобы в данном примере смешать взаимодействие АВ, записывается АВ как определяющий контраст. После того, как та­ кой контраст установлен, нужно определить, какие комбинации условий помещать в каждый блок. Для этого существует несколько методов. Один из мето­

Распределение комбинаций условий но блокам

Выражение L для более сложного определяющего контраста, например, такого, как АВС-, имеет вид (!gK «lgA i-lgB4-2lgC) [I]:

где lg/( = I , lg А = A'j, \gB = X s, lgC = X Jf l, A = l, A, = 2.

Блок, который содержит комбинацию условий (I), называется основным. Комбинаций условий, входя­ щие в этот блок, являются элементами группы, над которыми производится умножение по модулю 2. Эле­ менты другого блока можно образовать путем умно­ жения одного из элементов нового блока на каждый элемент основного блока. Взаимно перемножая эле­ менты основного блока, снова получаем элементы, входящие в основной блок [I]. Покажем это на при­ мере факторного, эксперимента типа 23. В этом экспе­ рименте определяющим контрастом является взаимо­ действие АВС, где

Условиями испытаний являются

c = 0 + 0 - f 1=>1

йс — \ —}—О —f—1 s= 2=> О

6с = 0 + 1 + 1 = 2 = > 0 аЬс= 1 -f 1 - f 1 = 3 = > 1.

Если полный эксперимент можно повторить, на­ пример, в три раза, то получаем следующий план эксперимента (смотри таблицу 71).

Как видно, схема смешивания одинакова для всех трех реплик, однако внутри каждого блока порядок проведения эксперимента рандомизирован. Кроме то­ го, в каждом повторении выбор первого блока про­ изводится случайным образом.

В вышерассмотренном примере нас могут инте­ ресовать некоторые критерии для проверки взаимо­ действия ЛВС. Эти критерии можно найти путем смешивания в некоторой реплике вместо АВС какоголибо другого взаимодействия. Здесь можно исполь­ зовать четыре реплики и в первой из них смешать взаимодействие АВС, во второй—взаимодействие АВ, в третьей—взаимодействие ЛС, а в четвертой—ВС (сущность частичного смешивания). Таким образом, эти четыре реплики дадут полную информацию отно­ сительно факторов А, В и С и лишь три четверти информации относительно АВ, АС, ВС и ЛВС, по­ скольку можем вычислить несмешиваемое взаимодей­ ствие, например АВ, лишь в трех из четвертых реп­ лик. Такое смешивание называется частичным сме­ шиванием.