книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов
..pdfПосле того, как подсчитывается для каждого числа экстремальных точек его частота, получается таблица вероятностей этого числа (табл. 7).
|
Т а б л и ц а |
7 |
|
Вероятность, f ( x ) |
2/24 |
12/24 |
10/24 |
Число экстремальных |
|
|
|
точек, х |
0 |
1 |
2 |
Как показывает таблица |
7, экстремальные точки |
||
отсутствуют только в 1/12 всех перестановок, одну экстремальную точку имеет половина всех переста новок, а две экстремальные точки — около половины всех перестановок.
Данный пример показывает этапы составления таблицы вероятностей случайной величины.
§ 2. Математическое ожидание случайной величины: среднее значение
Здесь дано объяснение понятию среднего значе ния случайной величины. Оно, как известно, связано- с понятием среднего арифметического. Приведем при мер. В ящике находится 30 штук пластин одного
размера |
различных |
марок |
твердых сплавов. На 15 |
из них |
проставлено |
число |
1 (Т15К6), на 10— число |
2 (Т5К10), на остальных 5—число 3 (Т30К4). Случай ным образом из ящика вынимается .одна пластинка и отмечается написанное на ней число х. После этого,, возвращая пластинку в ящик, перемешиваются все пластинки. Описанный процесс повторяется 50 раз. Требуется определить среднее арифметическое выпи санных значений случайной величины X. Обозначая соответственно через тг, тй, т3 числа выбранных пластинок, на которых соответственно отмечены чис ла 1, 2, 3, можно определить среднее арифметиче
ское х:
— _ lX /Яд Ч- 2 x ^ 3 + |
3х»»э |
/g v |
тг -f т3 + |
т3 |
|
где т1-{-т2 + т 3 = т = 30.
Выражение (3) можно представить также в виде
5 = 1 х — |
+ 2 х — + 3 х |
(4) |
т |
т |
пг |
Здесь невозможно сразу определить среднее ариф метическое х. Это связано с тем, что неизвестны
значения отношений |
т |
и |
Но поскольку |
|||
вероятность |
выборов |
т |
т |
на |
||
пластинок с |
отмеченными |
|||||
них цифрами |
1, 2, 3 соответственно равны/ ( 1)=1/2, |
|||||
/(2) = 1/3, /(3 ) = 1/6, |
то |
можно |
предположить, |
что |
||
отношения |
т |
т |
и |
приблизительно равны |
||
|
|
т |
|
|
||
/(1), /(2), /(3). В результате искомое среднее ариф метическое будет близко, к числу
1Х /(1) + 2Х /(2) + З х /(3 ) =
^ х т + ^ т + ^ - Н т -
Среднее арифметическое всех чисел в ящике равно 5/3:
1x15 |
, 2 х ю |
I |
3 x 5 |
__ 5 |
|
30 |
' |
30 |
‘ |
30 ” |
Т * |
Следует отметить, |
что |
для больших значений м |
|||
среднее арифметическое чисел на выбранных пласти нах будет обязательно близко к среднему арифме тическому по всей совокупности пластинок. Осно вываясь на приведенном примере, можно прийти к следующим определениям.
Допустим х 2, x2,...xt значения случайной величи ны X, причем в определенной выборке из п наблю дений эта величина пг раз принимает значение хл%п2 раз значение х 2.., п{ раз значение х t. Тогда
X] /tj + х 2 п2 -1----[~Xt Щ = — 2 X |W£ |
(5) |
п х -t- п2 -j------ 1- |
|
называется средним значением X случайной величины данной выборки. Математическое ожидание (среднее
значение) случайной величины X, обозначаемое че рез Е(Х), равно:
Е ( Х ) = |
(6) |
|
1=1 |
Здесь случайная величина А' представлена со сле дующей таблицей вероятностей:
Таблица 8
Вероятность, f ( x ) |
/ М |
Я-',.) л |
« f i x t) |
Значение X , х |
Д1 |
• |
• |
Е (X) также называется средним значением в со вокупности X. Часто среднее значение случайной ве личины обозначают буквой t*.
Ь = £ ( А ) . р.у = £-(К), v^ E (Z ). |
(7) |
Выражение (6) показывает, что для вычисления среднего значения случайной величины каждое значе ние случайной величины умножается на вероятность этого значения, после чего необходимо сложить все произведения.
Несмотря на то, что выражения (5) и (6) похо жи, они не идентичны. Отношение ti\jn в (5) не по стоянно и зависит от принятой выборки. В случае, когда для всех i отношение njn равно вероятности /(Xj), имеет место полное совпадение. С другой сто
роны, справедливо, что |
и тогда |
|
п |
|
х — |х. |
Конечно, это приближение полностью соответст вует действительности, когда выборка и вся сово купность равны, т. е. совпадают.
Приведем еще один пример [2]. Бросается играль ная .кость. Каково математическое ожидание числа выпавших очков?
Через X обозначают случайную величину, равную числу выпавших очков при бросании кости, Возмож-
нЫе значения этой величины равны 1, 2,... 6, а их вероятность все равны 1/6. Следовательно, формула
(6) в этом случае дает:
lx = £ (j» 0 = lX l/6 + 2xl/6 + 3xl/6 +
+ 4X 1/6 + 5X 1/6 + 6.Х1/6 — 3,5.
Как видно, в этом* примере математическое ожи дание |а равно нецелому числу. На это обращается внимание в связи с тем, что термин „математическое ожидание" часто заменяется словом „ожидание", или „ожидаемая величина". Приведенные примеры пока зывают, что „ожидаемая величина" не та величина, которую следует ожидать в результате выполнения •эксперимента в обычном смысле „ожидается". Мате матическое ожидание примерно равно среднему зна чению случайной величины при достаточно большом числе выполнений эксперимента.
§ 3. Математическое ожидание функции случайной величины
Допустим, X случайная величина, значение кото рой, конечно, определяется исходом какого-то экспе римента. При увеличении каждого значения X на некоторую величину, например, на 3, получаются числа, также определяемые исходами эксперимента:
X± 3.
Вслучае возведения значения X в квадрат по
лучаются значения случайной величины X 2. Приведем пример. Допустим, что случайная ве
личина X имеет следующую таблицу вероятностей:
|
|
|
|
Т а б л и ц а 9 |
|
Вероятность, / (л:) |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
Значение X, х |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
Необходимо вычислить следующие математиче ские ожидания:
Е (X) = (—2)-0,2-|- (—1)*0,1-(-О-0,3+1 -0,3 -j-2*0,1 = 0
24
Я ( 2 А ’) != ( —4 ) . 0 , 2 — 2 . 0 , 1 + 2 - 0 - 0 , 3 + 2 - 0 , 3 + 4 - О Д =
=— 0,8 —0,2 —{—0 +• 0,6 —^0,4 = 0
Е(Л+1) = (—2+1) - 0,2 -f (— 1 -Ь-1) -0,1+ (0+1) -0,3 +
+(1+1)*0,3+- (2-f-l)-0,l = —0 ,2 + 0 + 0,3+
+0,6 + 0,3=1
Е (2ЛГ+1) = ( - 4 +1)0,2+ ( -2 + 1 ) 0,1+ (0+1) 0,3+
+ (2 + 1)0,3 + (4+1) 0,1 = 1
Е (Xs) = (- 2 ) 2 0,2 + (-1)2 0,1+ (О)2 0,3 + (1)2 0,3+
+ (2)20,1 = 1,6.
Здесь заметим, что Е (Xs) Ф[Е (X)]2. Таким обра зом, если X есть случайная величина, таблица ве роятностей которой равна:
|
|
Т а б л и ц а |
10 |
||
Вероятность, f { x ) |
/ м |
f ( x 2) • |
* |
/ ( * 0 |
|
Значение X , х |
х г |
■*2 |
« |
■ |
|
|
|
|
|
||
и если И есть некоторая функция величины X, то среднее значение (или математическое ожидание) но вой случайной величины Н (Л') определяется выра жен ием
£ [tf(JQ ]= 2 */(*,)/(*,). |
(8) |
i=l |
|
Выражение (8) разрешает использовать случай ную функцию величины X для получения того же самого результата, который можно было получить, используя случайную функцию величины У (2).
Теперь приведем доказательство следующей тео ремы [2]. Если дано математическое ожидание в виде Е(аХ-\-Ь), то можно доказать, что
Е (аХ + Ь) = аЕ (*) + Ь, |
(9) |
где X — случайная величина, а, Ь — любые числа.
Согласно (8), можно написать:
Е {aX - } - b)^(ax1 + b ) f ( x 1)-{-(ax&-\-b)f(x2}^...
..,-\-(axt -{-b) /(Jtt).
Вынеся за скобки а и Ь, получается, что
Е {аХ -{- Ь) ==а [хг/ (JCj) -j-x2 f (л:2) -{-...-}-A:t f (л;4)] +
+ |
b [/(*,) + /(*,) + ...+ /<**)] - aE (X) + b, |
|
||||||
потому |
что |
|
|
|
|
|
|
|
E ( X ) = y ix if ( x i)>a |
/(* ,) + /( * ,) + ... |
+ |
/<*) = |
!. |
||||
Легко также доказать, |
что если |
|
|
|
|
|||
|
Е (X) =(х, |
то |
Е (X — и.) —0. |
|
|
|
||
Если положить |
в (9) |
а — 1, |
b = — JA, |
можно |
по |
|||
лучить, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я (А' — р) = |
Е (X) —[х = |
(л — р = |
0. |
|
|||
§ 4. Изменчивость. Выборочное среднее значение и дисперсия
Как сказано, выше, таблица вероятностей случай ной величины А"—это совокупность возможных зна чений X и вероятностей этих значений. На практике часто удобно иметь не полную информацию, полу ченную таблицей вероятностей, а информацию в бо лее концентрированном виде. Частично это может заменить математическое ожидание пли среднее зна чение Е (АТ). Однако средним значением молено поль зоваться тогда, когда исследователя интересуют ре зультаты „в средиеми, т. е. результаты, которые по лучаются при многократном выполнении некоторого эксперимента. С другой стороны, среднее значение ничего не говорит о том, насколько могут расходить ся друг с другом разные исходы однократного выпол нения некоторого эксперимента.
Здесь рассматриваются различные способы изме рения изменчивости, которые связаны с понятием стандартного отклонения и дисперсии.
26
Приведем пример [2]. Допустим, что нам известны графики двух функций вероятностей, которые в по рядке а и Ь представлены на фиг. 1.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
|
-1 |
0 |
_______ 1______ |
|
|
|
1 |
|
|||
Is |
1 |
1 |
J |
» |
' . А |
*5 |
р |
5 |
; $ |
||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
I |
|
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
• |
1 |
I |
- 1 |
|
|
- 2 |
|
0 |
/ |
|
2 |
Фиг. 1.
Попробуем сравнить а и b. Для случайной вели чины а. исходы опыта равны либо +1, либо —1. Из этого следует, что они расположены па расстоянии 1 от среднего значения 0. С другой стороны, случай ная величина b принимает среднее значение 0 при близительно в 1/5 всех случаев: значение, удаленное от среднего значения на расстояние 1, оно принимает приблизительно в 2/5 всех случаев; значение, удален ное от среднего значения на расстояние. 2,—в остав шихся 2/5 всех случаев. Следовательно, математиче ское ожидание „расстояния от среднего значения* равно:
Для Ь\ ОХ 1/5 + 1X2/5 + 2Х2/5 = 6/5
Для а: 0 X 0 + 1Х1/2Х2 = 1!
Из полученного вытекает, что величина b более изменчива, чем величина а. Это приводит к мысли, что в качестве меры изменчивости можно принять
27
математическое ожидание |
расстояния X от |
ее сред |
||
него значения. |
(8) |
к |
функции |
H(X)=t |
Применяя выражение |
||||
= 1^— р.|, получится, что |
|
|
|
|
Я ( |* ь- 1г|) = |_ 2 - 0 |
|х 1 / 5 |
+ |
|1 -0 |Х 1 /5 + |
|
Ч-1о — ОI х 1/5 -Ы 1— ОI х 1/5 + |
12 — ОI х 1/5 = 6/5, |
|||
Е( | * a - H ) = l - 1 - 0 I X 1 / 2 - Н О - 0 | Х О +
-Ы 1 —0| X l/2 = 1 .
Теперь можно ввести понятие о среднем абсолютном
отклонении. |
|
|
Если |
X случайная величина со средним значе |
|
нием (A; |
Е(Х) = р, то Х = Е ( \Х — р |) |
называется |
средним |
математическим отклонением |
величины X |
от (а. Несмотря на то, что среднее абсолютное от клонение может быть удачной мерой изменчивости, тем не менее, неудобно его применять. Дело в том, что очень часто, при алгебраических выкладках, знак абсолютной величины сильно осложняет подсчеты. И по этой причине желательно выбрать другую меру разброса значений случайной величины. Такой мерой
считается |
квадрат отклонения (X — |а )2, пользоваться |
которым |
математически значительно удобно. |
В дальнейшем будет видно, что дисперсию, пред ставляющую собой математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее среднего зна чения, следует предпочесть любой другой мере измен чивости. Последнее обстоятельство можно объяснить двумя основными причинами:
аддитивностью, означающей, что дисперсия сум мы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Причем даже тогда, когда эти две ве личины зависимы. '
Это означает, что предельное поведение некото рой случайной величины, являющейся суммой боль шого количества независимых случайных величин, зависит от дисперсий этих случайных величин.
С другой стороны, дисперсия, конечно, не явля ется квадратом самого большого отклонения. Диспер сия — это взвешенное среднее квадратов всех откло нений с весами, соответствующими вероятностям. Обычно в статистике дисперсию называют также сред-'
ним квадратичным отклонением Е [(А-— р)2]. Диспер сия случайной величины X обозначается D(X).
Д ля приведенного выше примера можно вычис лить значение дисперсии D ( X ).
Для случая „а“
Вероятность, f ( x ) |
-1-1/2 |
0 |
1/2 |
|
|
||
Значение А, |
х |
- 1 |
0 |
+ 1 |
|А= |
( |
|
Значение А" — JJ. |
- 1 |
0 |
+1 |
|
|
||
Значение (А"— ц)а |
1 |
0 |
1 |
|
|
||
Значение x 2 f { x ) |
1/2 |
0 |
1/2 |
|
|
||
0<Х) = 1/2 + 0 +1/2=1. |
|
|
|
|
|||
|
|
Для случая „Ьи |
|
|
|
||
Вероятность, / |
(л) |
|
1/5 |
1/5 |
1/5 |
1/5 |
1/5 |
Значение А, х |
( х = 0) |
- 2 |
- I |
0 |
1 |
2 |
|
Значение А — |
- 2 |
- 1 |
() |
1 |
2 |
||
Значение (А — р.)2 |
|
4 |
I |
0 |
I |
4 |
|
Значение х 2. f ( x ) |
|
4/5 |
1/5 |
0 |
1/5 |
4/5 |
|
D (X) = 4/5 -J- 1/5 |
0-]-1/5 |-4/5== 2. |
|
|
|
|||
Таким образом, если X случайная величина со средним значением Е(Х) = \ь, то дисперсию можно определить:
D (X) =сЕ[(Х - |
] = V (х. _ ,,)»/(*,). |
(Ю) |
|
/«=1 |
|
Выражение (10) показывает, что дисперсия X равна математическому ожиданию квадрата отклоне ния X от ее среднего значения.
Иногда необходимо меру изменчивости X выра зить в тех же единицах измерения, что и X, Ввиду того, что размерность дисперсии D (X ) и квадрат размерности случайной величины X совпадают, можно получить требуемую характеристику извлечением арифметического квадратного корня из дисперсии. Полученное таким образом число называется стан дартным отклонением величины X. Оно обозначается буквой ох:
|
0 ( Х ) = - \ А 1 [ ( Х - ? У ] |
или |
(U) |
|
°\ — D (X) — Е[(Х — ц-)2 ]■ |
Приведем пример [2]. Требуется сравнить дис
персии случайных величин |
X |
и Y, |
причем известны |
таблицы вероятностей этих |
величин. |
|
|
|
Т а б л и ц а II |
||
Вероятность, f { x ) |
1/2 |
1/2 |
|
Значение X t х |
0 |
1 |
1/4 |
Значение, / (у) |
1/4 |
1/2 |
|
Значение У, .у |
0 |
I |
2 |
В первую очередь необходимо |
подсчитать сред |
||
ние значения: |
|
|
|
Н = Е(Х) = 0 Х 1 /2 + IX 1/2= |
1/2, |
||
Ру= £ (Г) = 0 x 1 /4 + lX l/2 + |
2xl/4 = l. |
||
Затем можио вычислить дисперсии:
D (X) = й2х= Е Ц Х - ц)2 ] = (0-1/2) 1/4 +
+ (I—1/2). 1/4= 1/8 +1/8 = 1/4,
D (Y) = O2Y = E ([У— ,х)2] = (0 — 1) 1/4+(1 — 1) 1/4 +
+ (2 - 1 ) 1/4 = 1/4 +1/4 =1/2 = 2з2х.
Значит о2у= 2о2х.
Следовательно, дисперсия величины Y в два раза больше дисперсии величины X. На данном примере можно показать,’ что вычисление дисперсии значи тельно упрощается, если применять известное выра жение:
о2х = Е(Х2) — [Е (X)]2= Е (X2) - рЛ |
(12) |
Для случайной величины X,
p.2= (l/2 )2= l/4 ,
Е (X2) = 02Х 1/2 + 12Х 1/2 =1/2; с2х =1/2 —1/4 =,1/4.
Для величины Y
Е (К2) = 02х1/4+ 12Х1/2 + 22х1/4 =" = 1/2 + 1 =3/2,
а2у= 3 / 2 - 1= 1/2.