книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов

Таким образом, можно получить:

Блок 1—(1), ab, Ьс, ас, abed, cd, ad, bd (при L = 0)

Блок II—д, b, abc, c, bed, acd, d, abd (при L= l).

Когда в одни блок могут входить четыре комби­ нации условии, тогда факторный эксперимент типа 2* можно разбить на четыре блока по четыре комбина-- ции условий в каждом. При разбиении эксперимента на четыре блока с межблоковым эффектом должны быть связаны 3 степени свободы. Бывают случаи, когда смешиваются два взаимодействия. Тогда произ­ ведение их также смешивается, так как произведение знаков двух эффектов дает знак произведения. В слу­ чае, если смешиваются взаимодействия АВ и CD, сме­ шивается также и взаимодействие ABCD.

При данной схеме будут смешиваться два взаимо­ действия первого порядка и одно взаимодействие третьего порядка. Однако не исключена возможность, что лучше смешивать два взаимодействия второго по­ рядка и одно взаимодействие первого порядка, т. е.

ABC, BCD, AD.

Следует заметить, что в данном случае (Л5С)Х X(BCD) — AB2С2D — AD (по модулю 2). Это озна­ чает, что с блоками связываются три степени свободы. Если экспериментатору необходимо провести экспе­ рименты с четырьмя комбинациями условий, то тогда получаем (для ABC, BCD, AD) следующие два неза­ висимые уравнения

Теперь определим 4 группы для этих комбинаций (см. табл. 72).

Таким же образом можно получить блок III, имея один из элементов этого блока, и блок IV, имея также один из элементов этого блока.

Отметим, что число степеней свободы при таком плане определяется:

Б. Смешивание в факторных экспериментах типа 3"

В случаях, когда факторный эксперимент типа Зп нельзя рандомизировать полностью, его обычно раз­ бивают на блоки, число которых кратно трем. В этом плане факторного эксперимента используются такие взаимодействия, как АВ, АВ2, АВС2 и т. д. комбина­ ций условий в виде 00, 01, 10 и 11 вместо (I), а, ЪТ аЬ и т. д. Отметим, что моделью в этом плане явля­ ется число 3. Если ограничение, налагаемое на фак­ торный эксперимент типа З2, приводит к тому, что в один блок .могут входить лишь три комбинации условий, то обычно смешиваются взаимодействия АВ или АВггЭто связано с тем, что каждое из них имеет 2 степени свободы. Здесь определяющим контрастом может быть взаимодействие АВ2, который дает урав­

Теперь, помещая эти комбинации условий с одина­ ковыми значениями L в общий блок, можно иметь:

Здесь блок, который содержит комбинацию 00, является основным блоком. Блоки II и III образованы путем сложения одной из комбинаций условий’ этих блоков со всеми комбинациями условий блока I:

00 + 1 0 = 1 0

11 + 10= 21

22+10 = 32 = 02 (по модулю 3) и ,т. д.

Если смешивать взаимодействие АВ с двумя степе­ нями свободы, то L = X + X ,. Тогда блоки имеют вид:

Рассмотрим эксперимент типа З3, в котором все 27 комбинаций условий нельзя рандомизировать пол­ ностью. Такой эксперимент можно использовать в виде разбитого на три блока по девять комбинаций условий в каждом, если возможно рандомизировать девять опытов и провести их за один день, последую­ щие девять опытов за другой день и т. д. Чтобы ис­ пользовать такой факторный эксперимент, требуется, чтобы с межблоковым эффектом смешивался эффект с двумя степенями свободы. Поскольку взаимодейст­

вие А В С с восемью степенями свободы можно разбить на взаимодействия А В С , А В С 2, А В 2С и А В 2С 2, каж­ дое из которых с двумя степенями свободы, одно из этих четырех взаимодействий может смешиваться с межблоковым эффектом.

можно сохранить все основные эффекты (А, В и С) и все парные взаимодействия при условии, если взаимо­ действие АВС использовать с. шестью степенями сво­ боды в качестве ошибки эксперимента. В случае сме­ шивания других компонентов взаимодействия АВС по­ лучаются, конечно, другие распределения комбинаций условий по блокам, при одной и той же схеме анализа.

Применяя различные распределения комбинаций условий по блокам, на практике можно получить раз­ личные результаты. В качестве примера рассмотрим смешивание эффектов в факторном эксперименте типа З*3, разбитом на 9 блоков по три комбинации усло­ вий в каждом [1].

Одной из схем смешивания могут быть АВ2С2, АВ, ВС2, АС. Заметим, что

(АВ2С2)X(АВ) — А2В2С2= А2С2= ЛС и (ВС2)Х(АВ) = АВ2С2.

Нельзя сказать, что все эти взаимодействия неза­ висимы. В действительности независимы только два из них. Исходя из этого, потребуются лишь два вы­ ражения для значений L-.

Таким образом, получаются следующие блоки:

План, который изложен выше, может оказаться приемлемым в случае уделения главного внимания лишь* основным эффектам А, В и С. Такой план мо­ жет оказаться необходимым в случае рассматривания трех факторов, каждый из которых устанавливается на трех уровнях при условии, что за один день можно провести лишь опыты с тремя комбинациями условий.

§ 3. Дробные реплики

А. Совместные эффекты

Увеличение числа факторов, которые рассматри­ ваются в факторном эксперименте, приводит к очень быстрому возрастанию числа условий испытаний. Ска­ занное можно показать на примере факторного экс­ перимента типа 2П: при п=Ь на одну реплику прихо­ дится 32 опыта, при п=б требуется провести 64 опыта, при п—7—128 и т. д.

Помимо увеличения числа опытов происходит также увеличение взаимодействий высоких порядков. Некоторые из последних можно использовать как оценку ошибки.

Это связано с тем, что взаимодействия четырех

но