книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов

исходя из одних и тех же фактов, могут быть раз­ личные степени доверия со стороны различных инди­ видуумов в отношении какого-либо утверждения.

Вследствие этого „персональные** вероятности ка­ кого-либо события также будут различными. Персона­ лист, подобно объективисту, свободно может приме­ нять теорию вероятностей ко всем событиям.

Следует отметить также то обстоятельство, что при большом количестве данных и объективист и персоналист обычно получают одинаковые ответы. Ко­ нечно, исследователь, изучая теорию вероятностей, не должен сразу решать, которую из двух позиций в интерпретации и использовании теории вероятности он предпочтет.

Однако совершенно ясно одно, что необходимо часто рассматривать различие между вероятностью, основанной на большой серин наблюдений, и вероят-' ностыо, исходящей из персоналистической точки зре­ ния интерпретации теории вероятностей.

§ 2. Некоторые примеры вероятностных моделей. Применения статистики

Применение теории вероятности для изучения азартных случайных игр берет свое начало с прош­ лых столетий, и даже в настоящее время эти игры содержат много возможностей тренировочного ха­ рактера.

Приведем несколько примеров применения теории вероятностей для решения некоторых задач [2J.

Задача об очках. Два игрока «играют серию пар­ тий, причем в каждой партии кто-то йз них выигры­ вает одно очко, и шансы выигрыша для этих игроков каждый раз равны. Они прекращают игру в момент, когда первый игрок набирает 2 очка, а второй—1 очко. Как следует им разделить между собой ставки? На­ пример, Паскаль считал, что ставки следует разде­

своего капитала. Тот игрок, который выигрывает пар­ тию, забирает обе ставки, причем шансы выигрыша для каждого игрока одинаковы. Если игра продолжа­ ется до разорения какого-либо игрока, то из скольких, партий она будет состоять и каковы шансы выигрыша у игрока, начинающего игру с капиталом в т еди­ ниц? Однако здесь трудно определить вероятность того, что игра будет состоять из t партий, а вероят­ ность выигрыша игрока с начальным капиталом в я

единиц вычислить можно. Она равна — _ - _♦

т-\-п

Посмотрим еще один пример, не связанный с случайными играми, для решения которого также нужна вероятностная модель.

Обычно с целью заточки своих резцов рабочие в различное время подходят к заточному станку, при­ чем, если их много, они выстраиваются в очередь.. Если известны частота появления рабочих и время обслуживания заточником одного рабочего, то как можно определить время, которое затратит в среднем каждый рабочий на стояние в очереди? Или, в тече­ ние какого времени очередь будет состоять более чем из 10 рабочих, какой эффект даст добавление еще одного заточника и т. д.?

Различные видоизменения приведенной задачи, представляют интерес, например, при исследовании эксплуатационных характеристик комплекса металло­ режущих станков, при определении количества кон­ трольных приспособлений, необходимых для установки в сборочных цехах, и т. п.

Конечно, не всегда легко решаются приведенные выше сложные задачи во всей общности. Целью при­ веденных примеров является лишь иллюстрация ве­ роятностных моделей.

Как сказано в параграфе 1, статистика занимается также анализом данных, полученных из вероятностных моделей. При решении ряда задач статистики иссле­ дователи создают вероятностные модели, подобные моделям, приведенным выше в данном параграфе.

Приведем некоторые примеры применения стати­ стики. Определение требуемой марки твердого сплава.

Исследовательская группа занимается изучением режущих свойств значительного количества твердо­ сплавных пластин с целью нахождения такого твер-

дого сплава, который по сравнению с остальными имеет наибольшую износостойкость.

Различные обрабатываемые материалы оказывают различное влияние на режущие свойства испытуемых отдельно взятых твердых сплавов. Следовательно, все эго приводит к возникновению вероятностного взгляда на проблему поиска нужного твердого сплава. Обычно испытание режущих твердосплавных пластин проводится в несколько этапов: значительную часть пластин уже на первом этапе молено исключить из дальнейшего испытания, ввиду явно выраженной низ­ кой износостойкости. Если одна или несколько пластин имеют сравнительно высокую износостойкость, то их молено оставить для второго этапа испытания, конеч­ но, при более строгих условиях исследования.

Испытания продолжаются до тех пор, пока не выявится требуемая марка твердосплавного релсущего материала, имеющая наибольшую износостойкость при обработке заданных обрабатываемых материалов.

Одной из проблем здесь является такой выбор количества и условий экспериментов на последова­ тельных этапах исследования, при котором более износостойкие режущие пластины не оказались бы отвергнутыми и испытывались бы лучше, нежели менее износостойкие пластины.

Конечно, можно, привести и другие примеры при­ менения статистики. Однако приведенный выше при­ мер, нам кажется, является достаточно убедительным для того, чтобы показать, как можно применять ста­ тистику при решении различных задач.

§ 3. Изучение изменчивости

Как сказано выше, теория вероятностей и ста­ тистика изучают такие закономерности, наблюдаемые в явлениях, которые содерлсат элементы случайности. Несмотря на то, что мы часто сталкиваемся с такого рода изменчивостью, например, при оценке времени, необходимого для установки резца в резцодержателе и т. д., все же редко изучаем изменчивость система­ тическим образом.

Со случайными процессами легче всего ознако­ миться следующим образом. Надо провести ряд про­

стых экспериментов, обработать их результаты и про­ анализировать. При этом возможно, что некоторые из полученных результатов окажутся неожиданными, а некоторые—ожидаемыми. Обычно перед тем, как про­ водить эксперимент, необходимо записать предвари­ тельную догадку относительно исхода эксперимента. В результате можно получить некоторый опыт в про­ ведении таких оценок.

Кроме того, ясно будет, насколько результат эксперимента совпадает с ожидаемым. В том случае, когда расхождение окажется значительным, нужно

с равной вероятностью сдвигается либо вправо, либо влево. За 25 секунд она делает 25 таких движений.

Нужно определить:

а) как далеко в среднем окажется частица от точки О?

б) сколько времени в среднем частица будет на­ ходиться на положительной полуоси? На отрицатель­ ной полуоси?

в) сколько раз в среднем в течение блуждания частица будет попадать в точку О?

Задача решается довольно сложно. Однако можно облегчить решение задачи, выполняя соответствую­ щий эксперимент: бросить монету 25 раз и сдвигать фишку в зависимости от исхода (герб или цифра) бросания на 1 единицу вправо или влево.

В таблице 1 представлены результаты 10 блуж­ даний, каждое из которых состоит из 25 шагов.

Сумма расстояний частицы от точки О равна 50, поэтому среднее расстояние О равно 50/10 = 5. Тео­ ретическая же величина расстояния, полученная ве­ роятностными методами, близка к 4.

расхождение между временем, проводимым частицей.

п _ обозначают — положительная и отрицательная полуоси).

на положительной и отрицательной полуосях. Однако из симметрии положительного и отрицательного на­ правлений и из равновероятности сдвига частицы в этих направлениях следует, что в среднем для многих блужданий половину всего времени частица будет про­ водить на положительной полуоси, а половину — на отрицательной. В данной выборке частица в среднем проводит на положительной полуоси 132/10 = 13,2 с., а на отрицательной полуоси 82/10 = 8,2 с.

Такое расхождение можно объяснить большими колебаниями, имеющими место в выборке. Например, в 9-ом блуждании все 25 с. частица провела на -f- по­ луоси; в 4-ом блуждании она провела на -f полуоси 24 с., а в 8-ом блуждании она провела на отрицатель­ ной полуоси 19 с. Таким образом, можно установить следующий факт. Несмотря на то, что в среднем для многих блужданий половину всего времени частица должна проводить на положительной полуоси, а друryio половину — на отрицательной, все’ же в одном каком-либо блуждании заметную часть времени ча­ стица проводит на какой-то одной полуоси. Это не являете^ следствием того, что 25 слишком малое число шагов, приводящее к заметным отклонениям от тео-

Ниже, в таблице 2, приведены пространство со­ бытий эксперимента, количество гербов Г и вероят­ ности элементарных событий.

Таблица 2

В таблице 3 собраны информации относительна возможных количеств выпадания „гербов** и соответ­ ствующие вероятности.

Теперь допустим, что переменная величина х представляет количество гербов. Тогда приведенные значения в таблице 3 будут все возможные значения, принимаемые за х, и вероятности каждого значения. Это множество упорядоченных пар (каждая из кото­ рых имеет вид: количество гербов, вероятность этого' числа) и есть таблица вероятностей величины х. Ве­ личина х зависит от случая исхо/а эксперимента и поэтому называется случайной величиной. Таблица вероятностей представляет собой функцию, сопостав­ ляющую каждому значению случайной величины ве­ роятность этого значения; ее иногда называют функ­ цией вероятностей [2].

Иногда различают случайную переменную X от ее значения. В связи с этим заглавная буква исполь­ зуется для обозначения случайной величины, а строч­ ная буква х для обозначения любого из ее значений.

Объединяя исходы, соответствующие одинаково­ му количеству делителей и складывая их вероятности, получается таблица 5.

Здесь через х обозначено произвольное возмож­ ное число делителей, а через X — вероятность того, что X принимает значение х.

Используя данные таблицы 5, легко ответить на четыре поставленные вопроса:

Р (X = 2) —/ (2) = 0,4;

Р(Х — \ ) = /(1 ) = 0,1;

Р(Х = 4 )= /(4 ) = 0,3;

и поскольку никакое натуральное число от 1 до 10 не имеет более 4-х делителей, то

Р (^”> 4 ) —0.

По приведенным примерам можно прийти к сле­ дующим общим определениям [2].

Случайной величиной называется такая перемен­ ная величина, значение которой есть число, опреде­ ляемое исходом некоторого эксперимента.

Если X случайная величина с возможными значе­ ниями Хц х 2,...хь вероятности которых соответственно равны f { x 1)>f ( x 2),...f(xl),70 множество /.элементами

выбранного наугад из чисел от 1 до 10, есть случай­ ная переменная с t ~ Л возможными значениями:

х1= 1, х>= 2, х3= 3, л*4 = 4.

Соответствующие вероятности /(л*) представлены в таблице 5. Вся совокупность вероятностей событий (т. е. множеств элементарных событий) в данном пространстве событий называется распределением ве­

роятностей в этом пространстве. В пространстве со­ бытий, которое состоит из п элементарных событий, существует 2Пмножеств. В том случае, когда п велико,

ностей обычно задается таблица вероятностей, кото­ рая определяет вероятность каждого из п элементар­ ных событий. Получается, что по таблице вероятно­ стей можно определить распределения вероятностей. Вообще в теории вероятностей с целью обсуждения различных проблем исходят не из таблицы вероят­ ностей, а из распределения вероятностей.

Перейдем к некоторым понятиям об экстремаль­ ных точках. Допустим какое-нибудь среднее число, которое среди трех последовательных чисел является наибольшим или наименьшим из них. Это число на­ зывается экстремальной точкой данной последователь­ ности. Например, в последовательности 2, 5, 4, 8 числа 5 и 4 являются экстремальными точками, потому

различных числа, которые представляют собой ре­ зультаты какого-либо измерения. Если все переста­ новки этих четырех чисел равновозможны, то какова таблица вероятностей случайной величины X , где X — есть число экстремальных точек в перестановке?

Чтобы подсчитать количество экстремальных то­ чек, можно считать, что результаты измерения рас­ положены в возрастающем порядке, как числа 2, 4, 5, 8. В таблице 6 представлены все перестановки и соответствующие количества экстремальных точек.