книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов

представлены в табл. 20. Здесь использование точки вместо индекса указывает на суммирование по всем наблюдениям в данной совокупности.

Так как каждый элемент совокупности можно измерить, то из каждой совокупности можно взять бесконечное число наблюдений, поэтому £(Л'и) = |х.1 и т. д., а ц обозначает среднее A'JJ по всем совокуп­ ностям, т. е. Е (Xjj) = H“

В этой модели эффект испытания Ti также можно представить, как (JL.J—р. Тогда математическая модель будет иметь вид

=+ +

Тогда получается:

Поскольку эти средние значения совокупностей неизвестны, то из каждой совокупности берутся слу­ чайные выборки и можно получить оценки для общего среднего и средних каждой совокупности. Если для каждого испытания берутся щ наблюдений и не обя­ зательно, чтобы эти числа были одинаковы, то пред­ ставление выборочных данных может быть таким, как показано в табл. 21.

Здесь 7 \ j —сумма наблюдений, взятых в у-м испы­ таний, /ij—число наблюдений в у-м испытании, A’.j— наблюдаемое среднее для у-го испытания, Г..—общая сумма всех наблюдений.

Однако здесь V. (A^ij-rAr.j) = 0, поскольку сумма от-

/-=1 клонений относительно среднего в пределах данного

проверяемая с помощью дисперсионного анализа, вер­ на, т. е. если 7,i = 0 для всех у, то р.1 =р-.«=...= [>-кг и тогда в математическую модель входят лишь вели­

При этом любой член уравнения (25) можно ис­ пользовать для получения несмещенной оценки дис-

Щ _

Персии [1]. Например, разделив (XVl—X.^f на число*

/«1

степеней свободы ('>j—1), можно найти несмещенную оценк-у дисперсии для у-го испытания.

В случае, если дисперсии для всех ft—испытаний одинаковы, то, объединяя их оценки, можно получить

(28)

j- 1 <-1

т. е. оценку для дисперсии совокупности с N —k =

к

Теперь, сравнив две независимые несмещенные •оценки одной и той же дисперсии, можно показать, что их отношение имеет F—распределение с ft—1 и N —ft степенями свободы. Когда гипотеза Н0 верна, то для ее проверки молено использовать критическую область ^ —распределения с ft—1 и N —k степенями •свободы. При этом

к_

2 щ (x .i - x . . y j k r-\

£ t ^ n - X . t f l N - k

/=»1 /—.1

За критическую область распределения обычно принимается верхняя часть кривой ^ —распределения. Если F ^ F 2_в, то гипотеза Н0 отвергается таб­ личная величина, а ^ —расчетная величина). Гипотезу нужно отвергать в связи с тем, что существует разни­ ца между средними по испытаниям р.1г (х.2 и т. д.

Несмещенные оценки дисперсии (т. е. суммы квад­ ратов отклонений, деленные на соответствующее чис­ ло степеней свободы) называются также средними квадратами.

Исходя из теории дисперсионного анализа, мож-

них* вносимой разными операторами, а оставшиеся 9,54/18,34X100%=52% обусловлены случайной ошиб­ кой. Интересно заметить, что если среднее квадра­ тическое отклонение в полном эксперименте оце­ нить как

можно ожидать, что разброс наблюденных показаний не превысит величины ± 2з0б.

Из таблицы 18 находим максимальное наблюдае­ мое значение 64 и минимальное 50 (или размах 14) для вышеуказанной достаточно маленькой выборки из 20 наблюдений. Следовательно, деление дисперсии на две части, соответствующие разным операторам и случайной ошибке, по крайней мере, допустимо.

§6. Общий регрессионный критерий значимости

Вэтом параграфе излагается метод для критерия значимости, который можно использовать в любых задачах дисперсионного анализа. Общий регрессион­ ный критерий значимости Дает такие же результаты, что и дисперсионный анализ. Однако этот метод ва­ жен еще и потому, что его легко можно распрост­ ранить на более сложные задачи.

Рассмотрим этапы статистического анализа при применении этого метода [1].

Допустим, что рассматривается та же самая за­ дача о стойкости резцов, приведенная в предыдущем параграфе, моделью которой является A’ij=|*+7,j-t-eij, Пусть т будет оценкой по методу наименьших квад­ ратов для |х, a — аналогичная оценка для 7\j. Для применения общего регрессионного критерия значи­ мости нужно провести следующие.операции:

1. Получить суммы, соответствующие испыта­ ниям. Здесь мы имеем четыре суммы, соответствую­

одному для каждой суммы. Неизвестными в этих уравнениях являются оценки параметров:

h

7\. = Ми + л 2 у-1

5. Получить регрессионную сумму квадратов. Для этого умножим каждый член левой части уравнений на соответствующую оценку, полученную в пункте 4.

55рсг (m.fj)« ( -4 ) (- 0,2) + 20 (4,2) +

+ (-1 1 ) ( - 2) + (-15) ( - 2,8) + 2 (0,6) —150.

6. Записать новую модель, опуская параметры, которые должны быть равны нулю, если проверяемая гипотеза верна, т. е.

Хц — [а+ Eij* та,< как ту®?0 {^<J:T'j —0),

7. Записать нормальные уравнения, соответст­ вующие новой модели. Получается всего одно урав­

нение:

—4 — 20т.

8. Решить эту систему уравнений и определить регрессионную сумму квадратов, задаваемую ‘оцен­ ками оставленных параметров

т= -4/20 = -0,2..

9.Получить сумму квадратов между испытаниями

11. Построить F—статистику следующим образом:

Значение F—статистики при регрессионном кри­ терии значимости получается меньше, чем значение, подсчитанное методом, приведенным выше, в первом параграфе. Это означает, что дисперсия случайных ошибок увеличилась. Тем не менее регрессионный критерий значимости считается хорошим и удобным приемом дисперсионного анализа.

Г л а в а IV

ОДНОФАКТОРНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ. РАНДОМИЗИРОВАННОЕ БЛОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

В этой главе рассматриваются планы для сравни­ тельных экспериментов. Вводятся такие новые поня­ тия, как рандомизированные блоки, ортогональные квадраты, которые являются основой факторного ана­ лиза, и требуют тщательного изучения.

§ 1. Полностью рандомизированное блочное планирование и однофакторные эксперименты

Допустим, необходимо провести эксперимент с целью сравнения t способов обработки и N, число имеющихся участков, удовлетворяет условию:

где г — целое число.

Часто, при выборе суммарного числа участков, принимается, что это число кратно г. Здесь рассмат­ ривается следующее правило. Участки эксперимента делятся на. г блоков из t участков каждый, причем способы обработки распределяются по участкам та­ ким образом, что каждый из них встречается только один раз в блоке. После этого в каждом блоке произ­ водится случайный выбор одного участка для первого способа обработки, другого—для второго способа обработки и т. д. Таким образом, устанавливается новый случайный порядок в каждом блоке, что дает рандомизированный блок-план.

Сказанное можно проиллюстрировать на частном примере. Предположим, группу исследователей инте­ ресует износостойкость четырех различных типов корундовых пластин при одной и той же величине пути резания—20000 м. Причем измеряемой перемен­ ной величиной считается размерный износ резцов. Обозначим рассматриваемые марки корундовых рез­ цов буквами А, В, С, D. Резцы испытываются на то­ карном станке марки 1К 6 2 .

С целью избежания некоторых ошибок и получе­ ния достоверных данных разумно испытать комплект режущих пластин каждой марки в количестве четыре штуки, и опыты произвести на четырех однотипных станках I, II, III, IV.

Если, например, все пластинки типа А испытать на станке I, типа В—на станке II и т. д., то получился бы план полностью смешанным. В этом плане нельзя различать эффекты станков и марки. Последняя, ко­ нечно, является единственным интересующим нас фактором.

В случае составления полностью рандомизирован­ ного плана распределение 16 пластин между станками для испытания получилось бы совершенно случайно.