книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов

стоянии (duD/dt)crit, U TM — импульсное напряжение в открытом состоянии, время выключения по основной цепи tq. Эта модель составляет расчетную часть автоматизированных проектных процедур, рассмотренных ниже.

10.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДВУХЭТАПНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

Рассмотрение автоматизированных процедур системы АСКЭТ-Н начнем с двухэтапиой процедуры формализации и оп­ тимизации проектных решений, реализованной в подсистеме ДИСПОР. Эта процедура инвариантная, т. е. она не зависит от специфики объекта проектирования и может быть использована в подоистемах оптимизации проектных решений любой САПР. Наряду с обеспечением решения задач оптимизации параметровСПП средства подсистемы ДИСПОР широко используются так­ же и в других автоматизированных проектных процедурах АСКЭТ-И, где необходимо решать математические задачи опти­ мизации.

Формально проектирование любого сложного техническогоустройства или системы можно рассматривать как совокупность двух задач: выбора структуры и определения значения парамет­ ров в рамках этой структуры.

Специфика СПП в отличие от других изделий, например от радиоэлектронной аппаратуры или интегральных схем, состоит в- том, что при проектировании СПП как дискретного техническогоустройства его структура остается неизменной и варьированию не подлежит. Главным содержанием процесса проектирования СПП является выбор совокупности электрофизических и геометриче­ ских параметров, обеспечивающих реализацию требований к элек­ трическим и эксплуатационным характеристикам приборов с уче­ том конструктивных и технологических ограничений.

Рассмотрим основные определения и понятия задачи пара­ метрического синтеза технической системы (устройства) в пред­ положении, что структура этого устройства задана и сформиро­ вана его математическая модель в виде совокупности числовых и логических взаимосвязей.

Под синтезом параметров технической системы (устройства) понимается выбор числовых значений ее параметров, подлежащих вариации по замыслу проектировщика, при условии выполнения совокупности ограничений, определяемых техническими требова­ ниями на ее разработку [10.8].

На рис. 10.2 изображена общая схема математической модели параметрического синтеза. Элементами обобщенной математиче­ ской модели являются: X — совокупность варьируемых парамет­ ров, выбор которых составляет задачу синтеза технического уст­ ройства; Y — множество характеристик объекта проектирования, определяющих его тактико-техничеокие данные; G и Н — ограни­ чения типа неравенства и равенства соответственно, задающие ус-

191

Рис. 10.2. Общая схема мате­ матической модели параметри­ ческого синтеза

.ловил физической и технологической реализуемости, условия экс­ плуатации, техническое задание на характеристики и параметры объекта и т. д.; F — целевая функция (функция полезности, кри­ терий эффективности и т. д.), задающая относительное предпоч­ тение одного варианта над другим при выборе проектируемых параметров. Введенные величины являются векторами различной размерности.

Задача синтеза заключается в нахождении параметров X, удовлетворяющих условиям G ^ G TT, Н = НТТ, где GTT и Нтт — со­ вокупность численных значений технических требований, предъ­ являемых к синтезируемому объекту. Если при синтезе парамет­ ров технической оистемы требуется <не только удовлетворить за­ данным техническим требованиям, но и акстремизировать (т. е. минимизировать или максимизировать) некоторые показатели ка­ чества или характеристики, то задача синтеза формулируется в этом случае в следующем виде: найти значения параметров Х е еД с, удовлетворяющих условиям

max F или min F.

Множество Д е= {Х|G^:GTT, Н = Нтт} называется областью до­ пустимых значений проектируемых параметров.

Математическая модель синтезируемого объекта, принадлелит, как правило, к типу имитационных и позволяет решать за­ дачи анализа, т. е. получать при заданном наборе проектных (варьируемых) параметров X значения характеристик объекта У. Задача синтеза (обратная задача), т. е. нахождение таких значе­ ний проектируемых параметров, которые удовлетворяют всем требованиям и ограничениям, предъявляемым к проектируемому объекту, может решаться либо проектировщиком (функции опти- -мизатора выполняет человек), либо автоматическими методами (функции оптимизатора выполняет метод поиска), либо при по­ мощи автоматизированной человеко-машинной процедуры, объ­ единяющей оба эти способа.

Если структура математической модели достаточно проста и позволяет в явном виде выразить проектные параметры через ха­ рактеристики и ограничения, то для такого класса объектов мо­ гут быть разработаны эффективные и достаточно простые вы­ числительные методы, учитывающие и использующие специфиче­ ские математические особенности проектных задач. Такие методы ориентированы на высококвалифицированных инженеров, глу-

192

боко знающих специфику проектируемого объекта, они не требу­ ют обращения к универсальным ЭВМ и позволяют получить принципиальное решение технической задачи синтеза параметров проектируемого устройства на микрокалькуляторе. В [10.9], где изложен этот подход, автор приводит много примеров оптималь­ ного проектирования реальных объектов, взятых из самых раз­ личных отраслей техники.

Другой, противоположный подход, основанный на том, что за­ дача выбора (синтеза) параметров является формально разре­ шимой задачей поиска технических решений, развит в [10.8], где разработаны методологические основы создания математического обеспечения для широкого использования методов автоматическо­ го поиска, т. е. без участия человека.

В основу развиваемого в рамках САПР СПП синтетического подхода к построению оптимизационных процедур положен прин­ цип симбиоза математических и неформальных методов анализа, строгих способов исследования формализованных моделей с экс­ периментом, эвристическими приемам» и заключениями экс­ пертов.

Дело в том, что помимо математических сложностей задач оп­ тимального проектирования, связанных с многомерностью, многоэкстремальностыо и другими характеристиками математической модели параметрического синтеза, существует еще целый ряд проблем, лежащих вне формальных моделей. Для достаточно сложных объектов проектирования решение задачи параметриче­ ского синтеза является, по существу, уже третьим, заключитель­ ным этапом исследования, на котором исследователь применяет как строгие математические методы, так и эвристические прие­ мы. Этому этапу предшествуют этапы построения модели проект­ ной операции, т. е. этапы формализации инженерной постановки задачи оптимального проектирования, и этапы описания (форма­ лизации) цели проектирования. Задача исследователя (инже- нера-проектировщика) состоит здесь в проведении анализа неопределенностей взаимосвязей параметров проектируемого устройства, выборе проектируемых (варьируемых) параметров, задании и анализе различного рода ограничений, назначении целевой функции и др.

В результате проведенных исследований, расчетов и модель­ ных экспериментов общая схема математической модели пара­ метрического синтеза конкретизируется в математическую поста­ новку задачи оптимального проектирования, адекватную инже­ нерному замыслу проектировщика.

Рассмотрим некоторые возможные постановки задач опти­ мального проектирования СПП.

Предварительно сформулируем некоторые понятия математи­ ческой модели в терминах многомерных пространств. Сопоставив

каждому входному параметру модели х/, /=17л, координатную ось «-мерного эвклидова пространства £ п, установим взаимно одг

разует ^-мерное пространство характеристик объекта проектиро­ вания. Оператор математической модели осуществляет отображе­ ние точек пространства Епв Ек.

Рассмотрим классификацию объекта проектирования по типу пространства варьируемых (проектных) параметров. Такая клас­ сификация является важной, поскольку тип варьируемых пара­ метров во многом определяет методику синтеза. По типу варьи­ руемых параметров различают непрерывные пространства и ди­ скретные. Другим классифицированным признаком пространства варьируемых параметров является их однородность. Если все варьируемые параметры имеют одно физическое значение и соот­ ветственно единую размерность, то объект проектирования назы­ вается однородным по пространству варьируемых параметров. Если варьируемые параметры (все либо часть из них) не едины по физическому смыслу (размерности), то объект проектирова­ ния неоднороден по пространству Еп.

сложности математической модели СПП, а также неоднородно­ сти пространства Еп задача параметрического синтеза СПП сра­ зу во всем пространстве Еп является очень сложной задачей по трудоемкости вычислительных работ. В связи с этим встает за­ дача декомпозиции математической модели на совокупность бо­ лее простых. С учетом относительно небольшой размерности про­ странства Ек такую декомпозицию удобно делать, разбив модель на блоки расчета основных характеристик.

Примером такой декомпозиции может служить математиче­ ская модель расчета классификационных электрических парамет­ ров СПП в аналитическом приближении, рассмотренная в преды­ дущем параграфе. Блок-схема этой модели приведена на рис. 10.1. Из рисунка следует, что вектор характеристик У имеет размер­ ность & =б:

4 = { I TAV, UDRM, UTM , I DRM, tqt

Вектор входных, проектируемых параметров X для этой мо­ дели имеет размерность 12, для каждого из блоков это размер­ ность ниже.

Сформулируем теперь некоторые постановки задач, возникаю­ щих при реальном проектировании СПП.

Задача формализации. Под этим названием объединен цикл расчетов, необходимых для обеспечения корректности математи-

194

ческой постановки (формализации) инженерной задачи парамет­ рического синтеза СПП:

которой он желает максимизировать или минимизировать. Опре­ делить состав варьируемых (проектных) параметров X, т. е. из множества переменных модели выделить те, которые обеспечива­ ют разрешимость на модели задачи расчета F = F (X ). Задать численные значения GTT и Нтт технических требований к харак­ теристикам прибора.

Таким образом, инженерная задача синтеза параметров СПП с наперед заданными свойствами сведена к общей задаче мате­ матического программирования: найти вектор X = {x i.....хп}, обеспечивающий минимальное значение критерия оптимальности F = F (* i,...,хп) при выполнении системы ограничений G ^ G TT, Н = НТТ*.

Непрерывность пространства проектируемых параметров и не­ линейность математической модели СПП, на основе которой осу­ ществляется расчет критериев качества F = \хх, ...,хп), позволяют задачу математического программирования (10.1) отнести к клас­ су задач нелинейного программирования (НЛП).

В терминах многомерных пространств решение задачи НЛП представляет собой поиск в некоторой области Dx пространства Еп точки X*, лежащей на «-мерной поверхности F =F (X ) и удо­

влетворяющей условию F(A'*)= min F(A').

х & т

Сложность решения задачи НЛП для скалярной целевой функции обусловлена большой размерностью пространства опти­ мизируемых ((варьируемых) параметров п, сложной топологией минимизируемой поверхности F = F (jf) — наличием оврагов, ло­ кальных экстремумов и т. д., значительными затратами машинно­ го времени на расчет одного значения критерия качества F(X) сложной конфигурацией области допустимых значений (ОДЗ) проектируемых параметров Dx и др.

В случае векторного критерия качества задача НЛП (10.1) формальными методами принципиально не может быть решена.

Перечисленные трудности значительно усугубляются еще не­ однородностью пространства оптимизируемых параметров Еп, поскольку в отличие от поверочного расчета алгоритмы поиска в пространстве разнородных по физической природе параметров об­ ладают плохой сходимостью.

* Для определенности в дальнейшем требуется, чтобы критерий оптималь­ ности был минимальным, это не нарушает общности рассмотрения, так как мак­ симизация функции F(JQ сводится к минимизации — F(X).

Здесь следует заострить внимание на однсьм обстоятельстве, которое, по-видимому, является главной причиной барьера непо­ нимания, разделяющего инженеров-проектировщиков, не знако­ мых с математическим аппаратом оптимизации, и математиков, плохо осведомленных в тонкостях инженерного проектирования. Дело в том, что перечисленные выше трудности решения задачи НЛП — это математические трудности, они полностью определе­ ны формальной постановкой задачи оптимального проектирова­ ния. Очень часто эти трудности не адекватно отражают инженер­ ную сложность задачи оптимального проектирования, что приво­ дит иногда к ситуации, когда математик, затратив колоссальные усилия, находит решение задачи НЛП, которое не имеет физиче­ ского смысла только потому, что инженер чуть-чуть (на всякий случай) ужесточил ограничительные требования или включил в число варьируемых несколько несущественных переменных и т. д.

Таким образом, содержание задач формализации состоит в проведении численных экспериментов по исследованию формаль­ ной модели НЛП в целях обеспечения адекватного (корректно­ го) математического описания инженерной постановки оптималь­ ного проектирования СПП.

Задача оптимизации параметров (характеристик) СПП. Эта задача является одной из центральных в процессе проектирова­ ния СПП, от ее успешного решения зависят тактико-технические и экономические показатели проектируемых СПП. Инженерная практика проектирования СПП выдвинула множество расчетных задач, решение которых наиболее эффективно искать в оптимиза­ ционной постановке.

Назовем некоторые из них: максимизация одной из электриче­ ских характеристик (например, предельного тока) при заданных ограничениях на остальные; максимизация одновременно не­ скольких электрических характеристик в заданной области изме­ нения параметров; минимизация расхода дорогостоящего крем­ ния при ограничениях на электрические характеристики, задавае­ мых техническими требованиями на прибор; максимизация тех­ нологических допусков на проектируемые параметры и т. д.

Задача НЛП (10.1) определяется тремя характеристиками: критерием оптимальности F, характером варьируемых парамет­ ров X и формой области допустимых значений проектных пара­ метров Dx. Классификация критериев оптимальности представле­ на на рис. 10.3. Критерии оптимальности задач оптимизации СПП

всоответствии с данной классификацией относятся к алгоритми­ чески заданным, векторным или скалярным, детерминированным, нелинейным. По характеру варьируемых параметров задачи оп­ тимизации СПП относятся к -классу непрерывных. Задачи НЛП при отсутствии ограничений называются задачами безусловной оптимизации. Если ограничения образуют выпуклое множество допустимых решений, имеем задачу выпуклого программирования,

впротивном случае — задачу невыпуклого программирования. Задача НЛП переходит в задачу линейного программирования,

196

проблему создания библиотеки поисковых алгоритмов различных классов. Создание такой биб­

лиотеки связано с решением вопросов экспериментального тести­ рования, сравнения и отбора алгоритмов поисковой оптимизации.

Библиотека методов скалярной оптимизации ДИСПОР вклю­ чает методы безусловной, условной и многоэкстремальиой опти­ мизации. Эти методы составляют формальную, математическую часть процедуры. Неформальная часть процедуры заложена в способе оптимизации с использованием данной библиотеки. Этот способ предполагает активное участие человека в режиме диало­ га с ЭВМ на всех этапах поиска оптимального решения.

Рассмотрим теперь формальную, математическую часть чело­ веко-машинной процедуры решения задач параметрического син­ теза СПП в оптимизационной постановке со скалярным критери­ ем качества. Сведение реальной практической задачи параметри­ ческого синтеза объекта проектирования к математической задаче нелинейного программирования является сложной задачей, требующей знания как математических методов оптимизации, так и физической сущности решаемой задачи и умения адаптировать методы к задаче, а постановку задачи к возможностям методов.

Широкие возможности оперативного решения в режиме пря­ мого общения с ЭВМ перечисленных проблем предоставляют про­ ектировщикам диалоговые системы оптимизации, получившие в последнее время большое развитие. Известно достаточно большое число отечественных и зарубежных диалоговых систем оптимиза­ ции различного назначения. Обзоры таких систем можно найти

в[10.10].

Кнастоящему времени в нашей стране накоплен определен-

197

ный опыт разработки и внедрения диалоговых систем оптимиза­ ции и сформулированы основные принципы их построения [10.10]. Несмотря на различную проблемную ориентацию диалоговых си­ стем оптимизации, общим для них является наличие библиотек оптимизационных алгоритмов или оптимизаторов. Новая челове­ ко-машинная технология решения оптимизационных задач вы­ двигает ряд специальных требований как к алгоритмам оптими­ зации, так и к организации библиотек. Главное требование к со­ ставу библиотек — это функциональная полнота, т. е. включаемые в библиотеку методы должны обеспечивать эффективно решение оптимизационных задач определенного класса. Основные требо­ вания к структуре библиотеки — это модульность и открытость. Открытость предполагает возможность расширения или модифи­ кации библиотеки методов без переделки ее системной части. Включение новых методов в открытую, расширяемую библиотеку связано только с вводом паспортов этих методов в специальный каталог паспортов. Принцип модульности призван обеспечить стандартное оформление программного модуля — алгоритма опти­ мизации, что является основным условием транспортабельности (тиражируемости) программ оптимизации, поскольку разработка таких программ является очень сложным и трудоемким делом, которое становится уже не под силу отдельным коллективам спе­ циалистов. Многие современные системы оптимизации построены по модульному принципу, и фактически нет ни одной современ­ ной разработки (промышленной или экспериментальной), где бы не использовались заимствованные алгоритмы. Поскольку все практически наиболее широко используемые методы содержат элемент эвристики, то для них нет строгих теоретических резуль­ татов по скорости и надежности сходимости. В ’связи с этим вклю­ чению в библиотеку системы программы оптимизации предшест­ вует большая работа по ее исследованию, тестированию, адапта­ ции внутренних параметров, выявлению областей преимущественного применения и паспортизации, т. е. принцип модульности предполагает не только стандартное оформление ал­ горитма оптимизации, но и его паспортизацию на основе прове­ дения всестороннего исследования.

Различные методы решения задач оптимизации характеризу­ ются многими факторами, такими, как область сходимости, ско­ рость сходимости, время обработки информации на одной итера­ ции, требуемая память ЭВМ, уровень необходимой априорной информации о задаче и т. д. Решаемые задачи оптимизации так­ же могут быть весьма разнообразными: высокой или малой раз­ мерности, одноэкстремалкные или многоэкстремальные, гладкие или негладкие и т. д. Поэтому каждый из методов может быть-эф­ фективным для одной из задач и совершенно неприемлемым для другой. В связи с этим в диалоговых системах оптимизации для решения ■сложных задач используется многометодный режим, предполагающий использование «а различных этапах поиска раз­ личных, наиболее эффективных для данной поисковой ситуации

198

алгоритмов. Многометодиый режим ставит задачу определения рационального числа включаемых в библиотеку методов оптими­ зации, так как слишком большое число их затрудняет оператив­ ный выбор требуемого метода, а недостаточное не обеспечит ус­ пешного решения задачи.

Библиотека методов диалоговой системы принятия оптималь­ ных проектных решений ДИСПОР ориентирована на решение за­ дач параметрического синтеза СПП следующих классов:

безусловная локальная оптимизация, т. е. задача без ограни­

условная локальная оптимизация, т. е. задача с выпуклой об­ ластью поиска, заданной 'ограничениями типа равенства и нера­ венств:

*< = £ > *= {X |G (X )> 0 ; Н (X) = 0 ; а ^ Х ^ Ь } ;

глобальная оптимизация, т. е. задача с многоэкстремальной функцией качества и .произвольной '(иевыпуклой, многосвязной) областью поиска Dx.

Библиотека удовлетворяет требованиям открытости и расши­ ряемости, состав оптимизационных модулей библиотеки может постоянно расширяться. Однако программные модули-методы, вЕслючаемые в библиотеку ДИСПОР, должны удовлетворять спе­ циальным требованиям к программной реализации и форме обра­ щения, зафиксированным в мониторе системы оптимизации. Эти требования не накладывают ограничений на алгоритм поиска. Назовем некоторых из них: каждый модуль-метод должен быть оформлен как отдельно отредактированный загрузочный модуль, все модули должны иметь единую форму обращения к ППП вы­ числения критериев оптимизации и ограничений, каждый модуль должен реализовать полный цикл процесса поиска согласно свое­ му алгоритму до выполнения условия останова и др.

Библиотека ДИСПОР в настоящее время включает 12 моду­ лей скалярной оптимизации, из 'них 5 модулей для решения задач безусловной оптимизации, реализующих эволюционный случай­

мируемого многогранника, 5 модулей решения задач НЛП с огра­ ничениями, включающих комплексный метод Бокса для задач с ограничениями, метод Розенброка для задач с ограничениями типа неравенств, метод деформируемого многогранника с после­ довательным увеличением весового коэффициента, метод интуи­ тивного случайного поиска, метод скользящего допуска. Два ме­ тода решения многоэкстремальных задач в произвольной области поиска — метод полного перебора (метод сетки), при которых ис­ пользуются регулярные, случайные и ЛП-сетки, и информацион­ но-статистический метод многоэкстремальной оптимизации Стронгина.

199

Каждый метод оптимизации перед включением в библиотеку проходит апробацию на различных тестовых функциях, и на него заводится специальный паспорт, который включает формализо­ ванное описание возможностей и, параметров метода, а также его лицевой счет — статистические данные о числе использований, суммарном времени всех проведенных поисков, суммарном коли­ честве обращений к модели задачи и др. Эта информация исполь­ зуется при выборе алгоритма .пользователем для решения кон­ кретной задачи оптимизации. Все паспорта методов хранятся в специальном архиве.

Значительно более сложной задачей по сравнению с оптими­ зацией по скалярному критерию являются задачи НЛП с вектор­ ным критерием качества F = { /i ,—>М-

В задачах оптимального проектирования очень часто необхо­ димо обеспечить наилучшие значения одновременно для несколь­ ких характеристик объекта оптимизации, т. е. требуется опреде­ лить такие значения проектных параметров X^Dx, которые обес­ печивают минимум одновременно по всем критериям оптимально­

сти fi(X), i= l,k . Обычно эти критерии противоречивы, и оптими­ зация по каждому из них приводит к разным значениям проект­ ных параметров X*. Поэтому более адекватным описанием такой задачи параметрического синтеза является задача НЛП с век­

Приведем некоторые математические приемы решения много­ критериальных задач оптимизации и подробно остановимся на ин­ терактивной процедуре решения задач оптимального проектиро­

вания СПП с векторным критерием качества, реализованной в ДИСПОР.

Рассмотрим вопрос сравнения решений при наличии вектор­ ного критерия. Решение X1 не хуже решения Х2(Х1^ Х 2), если выполняются неравенства

. м х 'х ы х 2), * = , й :

Если /«(X1) = f / (X2) , i=\,k, то решения X1 и X2 эквивалент­ ны (Х1~Х2).

Если выполняются неравенства, причем хотя бы одно из них нестрогое, то решение X1 предпочтительнее решения X2 ( Х ^ Х 2).

Решение X2 называется эффективным, если не существует ре­ шения X1, такого, что Х‘ > Х 2.

200