книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов

НИ51, содержат слагаемые, обусловленные не только электронно­ дырочными, но также и электронно-электронными и дырочно-ды­ рочными столкновениями [ЗЛО]. Решение системы для вычисле­ ния функций распределения электронов и дырок в общем случае оказывается чрезвычайно трудной задачей. Даже в однородном образце полупроводника решение ее возможно только численны­ ми методами. В приборных структурах теоретический анализ ста­ новится еще сложнее из-за пространственной неоднородности пос­ ледних. Поэтому для получения явного решения системы прихо­ дится использовать аппроксимации того или иного типа. Характер аппроксимаций зависит от природы доминирующего механизма рассеяния частиц. В случае, когда электронно-электронные столк­ новения оказываются наиболее частыми в электронной подсисте­ ме и дырочно-дырочные столкновения — в подсистеме дырок, а согласно оценкам, содержащимся в [3.11], такая ситуация воз­ никает при концентрации носителей^* 4 -1016 см-3, хорошим пер­ вым приближением для функций распределения электронов и ды­ рок являются сдвинутые максвелловские распределения

Значения un, ир, Тп и Тр определяются в следующих приближе­ ниях, когда в рассмотрение включаются взаимодействие электрон­ ной и дырочной подсистем друг с другом, а также с решеткой кристалла и содержащимися в нем примесями. Для этого доста­ точно воспользоваться уравнениями непрерывности, выражающи­ ми макроскопические законы сохранения импульса и энергии в электронно-дырочной системе. Например, уравнения, выражаю­ щие закон сохранения импульса в простом случае, когда закон дисперсии в электронной и дырочных зонах имеет квадратичный вид, согласно [3.12] могут быть записаны следующим образом:

усредненные внешние силы, действующие на электроны и дырки соответственно; хп и хР описывают рассеяние электронов и дырок на фононах, примесях и т. п.; хпр и хрп описывают рассеяние элек­

тронов и дырок друг на друге.

Величины хпр и хрп, связанные соотношением xpnfxnp=p/n, оп­ ределяются формулой

41

вений с передачей импульса; а\1гр — транспортное сечение рассея­

друг на друге носит в литературе название квазигидродииамического приближения [3.12] и оказывается чрезвычайно полезным при анализе явлений в приборных структурах. Сравнение резуль­ татов, найденных в рамках этого приближения с данными точно­ го решения кинетических уравнений, полученными численно в [3.10], показало их полную адекватность.

Отметим, что теоретический расчет тпр представляет извест­ ные трудности, поскольку требует знания точного потенциала взаимодействия носителей заряда в полупроводнике, который вследствие эффектов экранировки зависит от концентрации носи­ телей заряда и эта зависимость может быть довольно сложной. Гораздо проще определять %Пр экспериментально. В известных ра­ ботах Данхойзера [3.13] и Краусса [ЗЛ4] приведены результаты экспериментального определения суммарной подвижности цс в зависимости от концентрации носителей заряда, которая в рам­ ках квазигидродииамического приближения определяется соотно­ шением

+ + (3-4)

где |1 П и fip— обычные подвижности электронов и дырок, опреде­ ляемые рассеянием на фононах, примесях и т. п.; \inp= qxnp/M— подвижность, обусловленная ЭДР.

На основании этих экспериментальных данных, показанных на рис. 3.2, в [3.15] предложена удобная для исследования ВАХ ПС при высоком уровне инжекции носителей заряда аппроксимация

=4 ,6 - 1016 см "3.

Врамках квазигидродииамического приближения просто ре­ шается вопрос о справедливости соотношения Эйнштейна в усло­ виях сильного ЭДР. Следуя [ЗД6], вычисляем плотности токов но­ сителей заряда, которые для стандартного линейного отклика оп­ ределяются формулами

42

одного сорта носителями другого сорта. В результате получим

= {kT!q)\.lpP, !XP" = p.pnM-np.p/A, Dpn={kTlq)\lpn, A=lfAp«pnp+HpnlAn+

+|LI«PPP, а величины \inn, p,nP, Dnn, D nP получаются из этих выра­ жений заменой индексов п-+р, р-+п; nn= q xjm n и [LP=qxPlmp —

подвижности электронов и дырок, определяемые рассеянием на фононах, примесях и т. п.; \inp=qxnpjM и iipn=qpn/M — подвиж­ ности, определяемые ЭДР, связаны соотношением |хПр/р.ря=я/р.

Выражения для плотностей токов (3.7) удобно записать в матричном виде:

где

Легко видеть, что между матрицами D и М существует связь

Я

43

где

G

В пределе слабого ЭДР, когда |хПр, и-рп>м-я, рР, коэффициен­ ты переносов в (3.7) имеют следующие значения:

поскольку величины Dv и р,р, Dn и рп, определяемые рассеянием на внешних по отношению к электронно-дырочной системе рассеи­ вателях, соотношению Эйнштейна удовлетворяют. В этом преде­

ле матрицы D и М становятся диагональными и (3.9) переходит в обычное соотношение Эйнштейна (отметим, что отличие матри­ цы а от единичной матрицы I возникает из-за различия в знаках зарядов электронов и дырок). Таким образом, соотношение Эйн­ штейна в матричном виде справедливо и в области ЭДР. Учет ЭДР приводит к появлению в матрицах подвижностей и коэффи­ циентов диффузии недиагональиых членов, обусловленных тре­ нием электронной и дырочной компонент.

Отметим, что при высоком уровне инжекции носителей заря­ да в однородно легированных полупроводниках, когда п=р, dnldx=dpfdx, объединение компонент потока, определяемых ЭДР, с компонентами, обусловленными другими типами рассеяния, при­ водит к привычным выражениям

/ , = 9Я е - ? 0 р- £ ;

(3.10)

Тп = чт>.пЕ -{-чЪп-^ -,

ах

где Цр— р,рр—Цр” ; Вр— Dpv-\-Dpn\ р,п— рпп— pnp; Bp= D nn-\-Dnp.

эффициенты диффузии Вр и Вп при высоком уровне инжекции выравниваются с ростом концентрации носителей и оказываются

концентрации носителей как р-1. Этот вывод соответствует резуль­ тату, полученному в [ЗЛО].

Формулы (3.7) являются наиболее общей формой записи вы­ ражений для токов носителей заряда при анализе свойств полу­ проводниковых структур. Как будет показано ниже, изменение ширины запрещенной зоны в случае, когда оно становится сущест­ венным, изменяет лишь напряженность эффективного поля Е, не затрагивая структуры выражений (3.7) в целом.

44

Отметим также, что полученное выше матричное соотношение Эйнштейна (3.9) является точным результатом и не связано с ис­ пользованием квазигидродинамического приближения. В [3.46] матричное соотношение (3.9), а также выражения для токов (3.7) получены непосредственно из решения системы кинетических уравнений электронно-дырочной плазмы.

При высоком уровне инжекции носителей заряда ЭДР начи­ нает заметно влиять на процессы переноса в кремниевых СПП при концентрации носителей около 5-1016 см-3 [см. (3.5)], кото­ рая достигается в отдельных областях структуры при плотностях тока /^50-7-100 А/см2. Это означает, что ЭДР начинает влиять на ВАХ ПС раньше, чем нелинейная оже-рекомбинация.

ЭФФЕКТЫ СИЛЬНОГО ЛЕГИРОВАНИЯ В СЛОЯХ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЫ

Внедрение примесных атомов искажает решетку кристалла и при высоких уровнях легирования существенно изменяет его электрофизические свойства. Из большого числа последних нас будут интересовать лишь те, которые влияют на ВАХ ПС СПП. Возникающие в процессе легирования кремния дефекты служат дополнительными центрами рекомбинации носителей заряда. В результате параметры тпо и тРо в (3.1), оказываются зависящи­ ми от концентрации легирующих примесей. Обычно для описа­ ния этой зависимости используют формулу

где k=n, р.

Константы N0k и Ра, определяемые экспериментально, сильно отличаются от работы к работе, что связано с различием техно­ логии изготовления образцов, исследованных разными авторами. Однако наиболее часто встречающиеся значения оказываются равными Ра=|1, N0h = (;1-г5) •1016 см. Теоретическое рассмотрение этого вопроса [ЗЛ7] приводит к сходным результатам. На реком­ бинацию, определяемую оже-процессами, эффекты сильного леги­ рования практически не влияют. Как указывалось выше, констан­ ты межзонной оже-рекомбинации в сильнолегированном кремнии в пределах погрешности измерений не отличаются от соответству­ ющих констант сильновозбуждеиного кремния [3.9]. Вместе с тем именно межзонные оже-процессы оказываются превалирующими среди оже-процессов, возможных в силыюлегированном кремнии. Оценки, приведенные в [3.8], показывают, что константы, описы­ вающие оже-процессы с участием примесей, малы настолько, что вплоть до уровня легирования 1021 см-3 этими процессами можно пренебречь по сравнению с обычной рекомбинацией на глубоких уровнях и межзониой оже-рекомбинацией. Поэтому для описания рекомбинации носителей в сильнолегированных слоях структуры вполне достаточными оказываются формулы (3.1) с учетом (3.11).

45

Дефекты, вводимые при легировании исходного кристалла, су­ щественно влияют также на транспортные свойства носителей за­ ряда. Исследованию этого вопроса посвящена обширная литера­ тура. Теоретический анализ кинетичеоких свойств полупроводни­ ков при одновременном учете различных механизмов рассеяния носителей приводит к довольно сложным выражениям [3.4]. Ис­ пользовать такие формулы для анализа неоднородных полупро­ водниковых структур трудно. Поэтому обычно для этой цели ис­ пользуют эмпирические соотношения, которые хорошо описывают известные экспериментальные зависимости. Например, согласно [3.18] зависимость подвижностей носителей от концентрации при­ месей может быть аппроксимирована формулой

Еще одним эффектом сильного легирования, существенно вли­ яющим на ВАХ, является изменение зонной структуры полупро­ водника. Качественно картину этого изменения можно пояснить следующим образом. Уже при сравнительно слабом легировании, когда радиус электронного состояния на примеси мал по сравне­ нию с расстоянием между примесными атомами, электростатиче­ ское взаимодействие ионизированных примесей друг с другом при­ водит, во-первых, к образованию примесной зоны, во-вторых, к плавному искривлению границ разрешенных зон Ес и Ev [3.19]. Плавность искривления границ зон определяется превалирующим вкладом крупномасштабных флуктуаций потенциала, которые в случае некоррелированного распределения атомов примеси име­ ют размер порядка дебаевского радиуса.

По мере увеличения концентрации примесей примесная зона смыкается с зоной проводимости в полупроводнике л-типа либо с валентной зоной в полупроводнике p-типа. Кроме того, условие сильного легирования Wa03> 4 , где N — концентрация примесей, а0— боровский радиус, обеспечивает малость длин волн электро­ нов, находящихся вблизи поверхности Ферми, по сравнению с де­ баевской длиной экранирования. Поэтому эти электроны, дающие основной вклад в проводимость, чувствуют локально потенциал только той точки, в которой они находятся, и их можно характе­ ризовать заданием квазиимпульса с заданным законом дисперсии в зоне, а флуктуирующий потенциал, связанный с неоднородным распределением примесей, следует рассматривать как внешнее поле. В результате при описании явлений переноса в силыюлегированных образцах можно оставаться в рамках обычной зонной

46

Рис. 3.3. Изменение зонной структуры в сильнолегированных слоях полупровод­ никовой структуры:

а — исходны?! кристалл; б — силыюлсгироваиный кристалл

теории, в которой, однако, структура зон оказывается зависящей от координаты [3.20]. При этом контуры валентной зоны и зоны проводимости повторяют изменение в пространстве потенциала, связанного с этими флуктуациями, как это показано на рис. 3.3,6. Из рис. 3.3 легко понять, к каким еще качественным из­ менениям приводит учет неоднородного распределения примесей в силыюлегироваииых слоях полупроводниковой структуры. Вопервых, в интервале энергий от Ev до Ес появляются разрешен­ ные состояния, в результате чего плотность состояний оказывает­ ся отличной от нуля и в запрещенной зоне. При этом проводи­ мость носителей заряда по этим состояниям мала вследствие существенной неоднородности их распределения в объеме кристал­ ла. Лишь начиная с определенных состояний, расположенных по энергии выше Ес, т. е. е > £ с , и ниже Ev, т. е. е < £ у , проводи­ мость сильно возрастает, в результате чего именно эти состояния определяют перенос носителей заряда в сильнолегированиых по­ лупроводниках. Таким образом, Ес и Ev приобретают новый фи­ зический смысл. Если в слаболегированных слоях структуры они определяют границы разрешенных состояний в зоне проводимо­ сти и валентной зоне, то в сильнолегированных слоях эти же ве­ личины отделяют состояния с высокой подвижностью от состоя­ ний с низкой подвижностью, которые вклада в перенос заряда не дают. Во-вторых, Ec—Ev = E g уменьшается на значение АЕе, ко­ торое определяется эффектами взаимодействия подвижных носи­ телей заряда с решеткой кристалла.

Таким образом, в сильнолегированных слоях полупроводнико­ вой структуры от координаты зависят не только Ес и Еу, но и плотность состояний. Это следует учитывать при выводе выраже­ ний для токов носителей заряда. Поскольку наряду с эффектами сильного легирования существенным может оказаться, вообще го­ воря, и ЭДР при получении формул, описывающих токи электро­ нов и дырок, воспользуемся квазигидродинамическим приближе­

47

= Е с—Еу — ширина запрещенной зоны. Из энергетической диаг­ раммы на рис. 3.4 следуют следующие соотношения:

Ec= E 0—q(p—x, Ev= E 0—qy—x—Eg,

где Eg=Eg0—ДEs\AEg определяется изменением величин Ес и Ev за счет эффектов сильного легирования.

Подставляя эти соотношения в (3.13) и вводя обозначения E = — (d<p(dx), Д £ /= Д £ * + в п+6р, у = (x+M M ^V s получаем для токов электронов и дырок следующие выражения:

1р= ЧР^ [ Е + ± ( а - ^ ) ] - м % -

(3.15)

( о - т > - ^ ) ] + * « £

Если теперь обратиться к матричному способу записи, то лег­ ко получить выражение, похожее на (3.8), с той лишь разницей,

что матрица имеет теперь иной вид: J=<7MEC------ qb — С, где

а М и D такие же, как и в (3.8), и связаны соотношением Эйн­ штейна

D = — Ма.

я

Формулы (3.15), (3.16) являются наиболее общей формой за­ писи выражений для токов электронов и дырок.

Величина АЕес, введенная выше, является эффективным суже­ нием ширины запрещенной зоны, в которую дает вклад как соб­ ственно изменение граничных значений Ес и Еу, так и изменение плотности состояний 0„ и вр. В состоянии равновесия, когда / п==

4-6393

где rt,02=W cNvexp(—Eg0/kT) — собственная концентрация носи­ телей в слаболегированном полупроводнике, определяемая исход­ ной шириной запрещенной зоны и исходными плотностями состо­ яний.

Формула (3.17) является основой экспериментальных методик для определения эффективного сужения ширины запрещенной зо­ ны AEgc. Суть этих методик состоит в исследовании электрических

торые, однако, позволяют измерить лишь AEg. Вклад величии 0П и 0Р, определяемых координатной зависимостью плотности состо­ яний, остается при этом неучтенным. В силу этого величины, из­ меренные электрическим методом, всегда оказываются больше величин, определенных оптическим методом.

СНИЖЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНЖЕКЦИИ ЭМИТТЕРНЫХ ПЕРЕХОДОВ СТРУКТУРЫ

Обычно при описании ВАХ ПС снижение коэффициентов инжекции эмиттерных р-п переходов рассматривается как отдель­ ный физический эффект. Реально, однако, оно определяется про­ явлением совокупности физических эффектов, таких, как реком­ бинация носителей заряда, ЭДР и т. д., описанных выше. Физиче­ ская суть снижения коэффициента инжекции перехода заключается в «стремлении» неравновесных носителей заряда рекомбини­ ровать. Если в какой-либо области структуры происходит сниже­ ние времени жизни, а это обычно происходит в сильнолегироваииых эмиттерах структуры, то возникающий градиент неравновес­ ных носителей заряда служит причиной диффузионного потока но­ сителей в эту область. На этот поток влияет изменение кинетиче­ ских коэффициентов в окрестностях этой области. При больших плотностях тока, когда становится существенной оже-рекомбина- ция, на величине этого потока сказывается концентрационная за­ висимость эффективного времени жизни. Кроме того, влияние на

50