книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов

Иначе говоря, эффективными называются решения, неулучшаемые по векторному .критерию, а следовательно, в качестве опти­ мальных решений следует выбирать эффективные.

Таким образом, первая проблема, с которой приходится стал­ киваться при решении многокритериальных задач,— нахождение эффективных .решений (области компромиссов или области реше­ ний, оптимальных по Парето). Вторая проблема заключается в выборе оптимального решения из этой области.

Областью компромиссов D0 называется подмножество области допустимых решений D°(z:Dx, обладающее тем свойством, что все решения, принадлежащие ему, не могут быть одновременно улуч­ шены по всем локальным критериям. Следовательно, для любых двух решений X1, X2sD ° обязательно имеет место противоречие хотя бы по одному из критериев.

Множество решений, оптимальных по Парето, может быть за­ писано в следующем виде:

я ° = { х | х < = £ > , , { х ' | / г- ( х ' ) ^ М Х ) , а;}=л А1 7с = 0 } .

При решении задачи выбора оптимального решения из множе­ ства Парето перед проектировщиком (исследователем) встает во­ прос сравнения между собой эффективных решений, так как обычно множество D0 оказывается достаточно представительным и содержит не одно, а много эффективных решений. При разра­ ботке автоматизированных процедур такого выбора необходимо четко иметь в виду, что математический аппарат может здесь только помочь установить, какими преимуществами и недостат­ ками по разным критериям обладает .каждое из решений. Зная, в чем выигрывает и чем жертвует, человек может оценить каж­ дое из решений и выбрать для себя приемлемое.

В основу процедуры решения многокритериальных задач опти­ мизации ДИСПОР положены идеи сеточных методов сужения об­ ласти компромиссов, развитые в [10.12]. Основные особенности процедуры заключаются в одновременном анализе всех частных критериев, в применимости процедуры для случая многоэкстремальиых критериев 'оптимизации, в простоте дополнительной ин­ формации, получаемой от ЛПР, для сужения области компромис­ сов. Применение сеточных методов для приближенного построе­ ния области Парето связано .с тем, что решение последовательно­ сти оптимизационных задач для получения точек Парето с ис­ пользованием сверток практически невозможно даже для упрощенных моделей СПП из-за больших затрат машинного вре­ мени.

Для построения сетки используется процедура ЛП-поиска [10.12]. В гиперкубе, определяемом двусторонними ограничения­ ми ai^Xi^bi, £=*1,л, где а,- и bi— соответственно нижний и верх­ ний предел изменения xi, вычисляются точки детерминированной равномерно распределенной ЛПх-последовательности X*— (*!*, ...

...,*пг)* t = l.N v, для ATV= 2 V, v — целое число. Здесь x /= a j +

2 0 1

исключаются из рассмотрения, так как они заведомо не являют­ ся эффективными.

Приближенно .можно считать оставшиеся N' точек, N'^N , по­ крытием области Парето. Как правило, при противоречивых кри­ териях fj, j=}\,k, N'mN и вся исследуемая область является па-

также сводятся в матрицу Np = |irj |.

Для сравнения N' точек между собой вводится интегральный

зации. Относительные и взвешенные относительные значения кри­ териев сводятся в матрицы

2 0 2

проектировщику для анализа распределения значений критериев в узлах ЛПх-сетки на экране дисплея в виде информационных таблиц следующего типа:

сервисными процедурами осуществляется просмотр кадров инфор­ мации в любом порядке, протоколирование их на АЦПУ, вывод координат точек по их указанным номерам.

Сужение области компромиссов осуществляется для случаев равноправных и неравноправных критериев. Для неравноправ­ ных критериев указывается иерархия приоритетов качественно, например / i > / 2> ... > / а-

Сокращение числа анализируемых точек осуществляется ана­ логично сокращению методом уступок. Диалог используется на этапе задания уступки, анализа информационных таблиц, приня­ тия решеннй_об окончательной уступке. Информационные табли­

цы В,-, у=1, k имеют следующий вид (будем считать, что все критерии минимизируются):

203

Здесь

и т. д. Приближенно оптимальную точку молено определить из ус­ ловия

|х£* = max {M.V }. lrkk

Варьирование уступок в диалоговом режиме позволяет полу­ чать область допустимых точек и для критериев с наименьшим приоритетом.

При равноправных критериях fi-—^f2—’- - - *—'/л используется про­ цедура сокращения числа точек, рассмотренная в [10, 14]. По

каждому критерию назначается уступка Д/, /= 1 , k, устанавливае­ мая проектировщиком на основе анализа информационных таблиц.

Варьируя уступками А/, можно сужать число рассматриваемых точек в соответствии со стратегией проектировщика. Для каждой таблицы С/ оптимальная точка </* определяется из условия

Окончательная оптимальная точка i* соответствует условию

lx*= max {цЛ}.

1=1. к

204

В некоторых случаях решение может быть выбрано на этапе анализа многокритериальной задачи. Однако обычно оно уточняет­ ся решением задачи оптимизации свернутого векторного критерия. При этом выбор свертки и ее параметров, а также новой области осуществляется на основе информации, полученной в ходе анализа.

Особенность процедуры анализа многокритериальных задач заключается в однократном просчете критериев в узлах сетки, что позволяет значительно ускорить процесс диалога между поль­ зователем и ЭВМ за счет предварительного расчета критериев. Для этого предусмотрен архив данных, содержащий предвари­ тельно просчитанные значения критериев для проектируемых при­ боров. К недостаткам процедуры следует отнести некоторый избы­ точный объем вычисленных в гиперкубе точек, не принадлежащих допустимой области Dx.

10.3.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОЦЕДУРЫ АНАЛИЗА

ИОПТИМИЗАЦИИ ДОПУСКОВ

Статистический расчет, который лежит в основе процедуры ав­ томатизированного технологического проектирования, позволяет учесть особенности серийного производства СПП. Из-за случайных отклонений в технологическом процессе параметры реально выпу­ щенной партии СПП будут отличаться от номинальных. Эти отли­ чия в ряде случаев можно удовлетворительно описать с помощью статистических моделей. Экономические соображения вынуждают разработчиков искать решения, при которых проектируемые СПП удовлетворяют заданным техни­ ческим требованиям при стати­ стических вариациях параметров.

Важнейшим экономическим усло­ вием здесь является максимиза­ ция процента выхода годных СПП, поскольку себестоимость единицы продукции при массовом производстве обратно пропорцио­ нальна выходу годных.

Разработчик СПП, учитываю­ щий при проектировании стати­ стические флуктуации парамет­ ров, должен некоторым оптималь­ ным образом сбалансировать ка­ чественные показатели прибора и издержки производства. Как и в случае многокритериальной опти-

Рис. 10.4. Пример области допустимых значений £>* (а); тело выхода годны» СПП, вложенное в D* (б)

205

мизации, эти факторы не всегда совместимы, вследствие чего окон­ чательный результат будет отражать подход конкретного разра­ ботчика к поиску компромиссных решений. Возможны следующие подходы, позволяющие увязать между собой эти противоречивые требования: а) зафиксировать качественные показатели прибора, максимизируя выход годных; б) зафиксировав выход годных, мак­ симизировать качественные показатели. Этим вариантам соответ­ ствуют задача максимизации выхода годных СПП с центрирова­ нием области допустимых значений при переменных допусках и задача на компромисс между выходом годных и их качеством при фиксированных допусках. Возможны и другие подходы [10.15] (см. также гл. 4).

Пусть Х = {* ь ..., х„} — параметры СПП, a Y= {у и .., Уи} — ха­ рактеристики, задающие его качество, СПП считается годным, если

Y(A')<YTT (Ю.З)

где Y11" — технические требования на прибор.

Расчет характеристик YTT осуществляется посредством матема­

Область Dx называется областью допустимых значений (ОДЗ) проектных решений, это область пространства варьируемых (проек­ тируемых) параметров. Пример такой области приведен на рис. 10.4,а.

Одна из задач, возникающих при проектировании СПП, заклю­ чается в выборе множества значений (компонент) вектора YTT.

Если значения t/,TT, i=\,k, слишком малы, то область Dx может оказаться пустой, т. е. не будет существовать прибора, удовлетво­ ряющего всем техническим требованиям. Может оказаться, что об­ ласть Dx столь мала, что изготовление СПП станет невозможным из-за малости соответствующих допусков. Если, напротив, г/;тт вы­ браны слишком большими, то и допуски окажутся слишком боль­ шими, и, следовательно, останутся нереализованными потенциаль­ ные возможности прибора и технологии.

Чтобы определить, не слишком ли мала область Dx> необходимо располагать информацией о возможных интервалах флуктуации параметров X. Как правило, для оценки этих флуктуаций исполь­ зуются статистические распределения параметров. В случае од­ ной переменной вероятность того, что а^.х\^Л, определяется че­ рез функции плотности вероятностей <pi (Я ):

k

Р (а ^ х г< Ь )= J <р1(x1)dx1.

а

Если в ходе своего изменения два или несколько параметров оказываются зависимыми, то задается совместная функция плот-

206

ности распределения вероятностей ф(хь х2). Тогда

xt)d x jx t

ную на рис. 10.4,а, наложены линии уровня совместной плотно­ сти вероятностей двух параметров: х\ и х2. Центр области соот­ ветствует среднему значению Х °= (xi°, х2°) или номинальной ве­ личине.

Предположим, что совместная функция плотности распределе­ ния вероятностей проектируемых параметров прибора задана. Обычно разработчик приборов исходит при расчете из номиналь­ ного значения параметров Х° для этого распределения. Чтобы подчеркнуть зависимость функции плотности распределения ве­

нии Х° форма линий уровня <р(Х— jL°)=const не меняется.

При проектировании СПП необходимо найти такое расчетное номинальное решение Х°, которое обеспечивает максимальный вы­ ход годных СПП.

Выход годных равен вероятности того, что все характеристики (показатели качества) СПП удовлетворяют техническим требо­ ваниям, т. е.

(10.5)

о,X

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти такое Х°, при котором вероятность Д(Х°) будет максимальной. Геомет­ рически решение задачи максимизации выхода годных СПП оз­ начает вписывание в область Dx наибольшей линии уровня ср(Х— —X°)=const. Основная трудность решения этой задачи заключает­ ся в том, что Dx неизвестна. Она задается в неявном виде через математическую модель характеристик СПП. Другая трудность связана с вычислением интеграла (10.5), который берется по мно­

гомерной области.

Для вычисления интегралов такого типа обычно применяется метод Монте-Карло. Для этого в интеграле (10.5) необходимо пе­ рейти к интегрированию по всему пространству Еп:

207

введя весовую функцию

I 1, если X€=Dx\

Выражение (10.7) представляет собой отношение числа годных СПП {xi^Dx) к общему числу испытанных N.

Если область Dx неизвестна, то для оценки выхода годных СПП при некотором номинальном значении Х° по методу Монте-Карло требуется выполнить N прямых просчетов математической модели СПП, т. е. по одному на каждый пробный набор входных пара­

равна N просчетам математической модели.

Даже для самых быстродействующих аналитических моделей характеристик СПП решение задачи НЛП (10.8) представляется затруднительным, так как для достоверной оценки вероятности Р{Х°) для каждого Х° необходимы сотни испытаний.

Для различных предметных областей с учетом специфики объ­ ектов проектирования и математических тонкостей моделей мо­ гут быть разработаныдостаточно эффективные в смысле миними­ зации числа дорогостоящих циклов моделирования объектов ал­ горитмы вычисления выхода годных. В [10.15], например, дан обзор общих статистических методов минимизации испытаний для интегральных схем, представленных как линейными, так и нели­ нейными математическими моделями.

Способы улучшения (максимизации) выхода годных на основе методов Монте-Карло можно разбить на две группы: эвристиче­ ские приемы улучшения выхода годных на основе геометрических соображений и способы, основанные на статистической теории.

Способы статистического проектирования, базирующиеся на методах Монте-Карло, пока еще находятся на начальной стадии своего развития. Полученные в этом направлении результаты в большой мере носят эвристический характер и сильно зависят от специфики объекта проектирования, поэтому в дальнейшем ме­ тоды этой группы рассматриваться не будут.

Для СПП более подходящим оказался подход, принадлежащий к первой группе. Этот подход относится к детерминированным ме-

208

рования СПП, включающей оптимизацию характеристик и техно­ логических допусков СПП, а также прогнозирование распределе­ ния СПП по номенклатурным группам.

Таким образом, техиологичеокое проектирование включает задачи получении приемлемой конфигурации и объема области допустимых значений £>*, отыска­ ния в пределах этой области проектных решений, оптимальных по совокупности нескольких критериев качества и прогнозирования распределения серийно выпус­ каемых СПП по классификационным номенклатурным группам. В целом успеш­ ное решение задач технологического проектирования в значительной степени определяет эффективность будущего производства и эксплуатации СПП. Особенно это касается стадии производства, поскольку объем выпуска определенного типа СПП в серийных условиях достигает нескольких сотен тысяч в год. Даже не­ большое улучшение качества проектного решения выливается в значительный экономический эффект.

Рассмотрим теперь формальную математическую часть процедуры автома­ тизированного технологического проектирования СПП, реализованную в системе АСКЕТ-П и предназначенную для решения рассмотренных выше трех групп задач.

Метод анализа области допустимых значений проектируемых параметров СПП, реализованный в процедуре автоматизированного технологического проек­ тирования, основан па расчете и графическом отображении проекции этой обла­ сти на плоскость любых двух проектных параметров. Эффективность этого ме­ тода определяется спецификой СПП как объектов проектирования, которая за­ ключается в возможности выделения двух-трех наиболее важных проектируемых

внутренних параметров, в плоскости которых рассчитываются двумерные сечения области допустимых значений.

При проектировании СПП область допустимых значений Dx определяется техническими требованиями к электрическим параметрам (10.3), а также допол­ нительными ограничениями на внутренние параметры, обусловленными предель­ ными возможностями технологического процесса изготовления СПП.

Для случая силовых тиристоров, наиболее распространенных представителей СПП, неравенства (10.3) имеют вид

210