книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЫ

Запишем уравнения непрерывности, входящие в (3.103), в матричном виде

в § 3.2. Удобство такой записи определяется тем, что матрицы М и D удовлет­ воряют соотношению Эйнштейна (3.9).

Использование соотношения Эйнштейна в виде (3.9) позволяет построить конечно-разностную аппроксимацию для токов, сходную с интегральной форму­

лировкой Шарфеттера — Гуммеля [3.43].

Для решения фундаментальной системы уравнений используем модифицнро-

ванный метод Сейдмена — Чу [3.44], заключающийся в последовательном реше­ нии уравнения Пуассона и матричного уравнения непрерывности. Модификация

метода [3.44] определяется матричным способом записи уравнений непрерывно­

сти и использованием при решении уравнения Пуассона с помощью метода Нью­

где л0 и ро — распределения концентрации носителей заряда на предыдущей итерации; бф — приращение потенциала.

Удобно линеаризацию составляющих рекомбинационного тока производить по-разному: при рекомбинации через глубокие уровни — согласно методу, предложенному в [3.44], а в случае оже-рекомбинации — согласно методу Ньютона, использованному в [3.42]. В результате матричное уравнение непрерывности приобретает вид

тп о ( р 4 - Pi) + хро(п 4“ n i )

Кроме того, будем считать коэффициенты матрицы D также известными из предыдущей итерации. Тогда полученную линейную краевую задачу можно ре­ шить методом конечных разностей. Как было показано в [3.43], обычная конечно-разностная аппроксимация выражений для плотностей токов электро-

91

нов и дырок, не учитывающих взаимное увеличение носителей за счет ЭД Р фор.

гральная формулировка уравнений переноса. Следуя идеям этого метода, будем искать решение матричного уравнения (3.107) в виде

xt+i

Zi+1/2= exp J К {z)dz.

92

В результате получаем формулу конечно-разностной аппроксимации левой

Изложенный выше метод решения фундаментной системы уравнений полу­ проводникового прибора может быть легко реализован в виде программы на алгоритмическом языке ФОРТРАН. Эффективность полученного таким образом численного алгоритма оказывается выше эффективности алгоритма, предложен­ ного в [3.44]. Согласно данным [3.40] количество числа итераций вплоть до смещений, приложенных к структуре, равных 2В, не превышает 50.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА, СРАВНЕНИЕ С ДРУГИМИ ЧИСЛЕННЫМИ МОДЕЛЯМИ

Для сравнения численной модели, описанной выше, с другими моделями, известными по литературе, рассмотрим результаты расчета ВАХ ПС п+-р-р+ структуры, исследованной в [3.33, 3.42]. Сама структура изображена на рис. 3.13. Характерные парамет­ ры структуры имели значения: /V0+ = l,5 -1020 см-3, Nd=

=10м см-3, ууд+ =4• 1019 см-3, 1^0=9,76 мкм, №i=50 мкм, W2=

=300 мкм, 1F=325 мкм. Между параметрами статистики Шок­ ли— Рида (3.1) было принято соотношение тпо=10тРо, причем:

изменение этих параметров по толщине структуры имело ступен-

93:

вует нижнему пределу сообщаемых в литературе значений, а учет ЭДР производился методически неправильно, т. е. использовались обычные выражения для плотностей токов вида (3.10) и счита­

лось, что соотношения Эйнштейна Bn=kT\inlq и Bp=kTiiPlq справедливы и в области ЭДР. Влияние электронно-дырочных столкновений в рамках такого подхода приводит к уменьшению

рп и рр, а следовательно, и к уменьшению Вп и б р в соответст­ вии с формулами

Отметим, что коэффициенты диффузии Вп и ВР в [3.33] при больших концентрациях носителей заряда не стремятся к амбиполярному коэффициенту диффузии, а уменьшаются пропорцио­

нально уменьшению подвижностей рп и цР.

Результаты расчета ВАХ ПС структуры представлены на рис. 3.14. Для удобства оценки вклада различных физических яв­ лений на рисунке приведен ряд кривых, каждая из которых соот­ ветствует учету определенного физического эффекта: кривая 1 соответствует учету только рекомбинации через глубокие уровни, кривая 2 — учету рекомбинации через глубокие уровни и оже-ре- комбинации, 3 — учету рекомбинации через глубокие уровни и ЭДР, 4 — учету рекомбинации через глубокие уровни, оже-реком-

полупроводника. Кроме того на этом же рисунке штриховыми ли­ ниями 2', 3\ 4\ 5' показаны результаты расчета аналогичных за­ висимостей в рамках модели работ [3.33, 3.42]. Сравнение кри­ вых 2 с 2' и 3 с 3' показывает, что некорректный учет влияния ЭДР приводит к завышению его вклада. Причина этого заключа­ ется совсем не в неудачном подборе констант А и Б в формуле (3.117), как может показаться на первый взгляд. Константы А и В вообще нельзя изменять произвольно, поскольку агапроксима- :ция для р„р, использованная в (3.117), обязана соответствовать экспериментальным данным [3.13, ЗЛ4]. Причина завышения вклада ЭДР заключается в том, что некорректное использование

пропорциональности между Вп и \in и Вр и рр привносит допол­ нительную нелинейность в уравнении непрерывности в базовом слое структуры. В результате распределение носителей становит-

■94

Рис. 3.14. Результаты численного расчета ВАХ п+-р-р+ структуры:

ся более неоднородным по толщине базового слоя. На рис. 3.15 показаны распределения носителей в базе, полученные в резуль­ тате расчета, учитывающего только рекомбинацию через глубо­ кие уровни и ЭДР. Сплошная линия соответствует модели, опи­

учет ЭДР приводит к большим падениям напряжения. Определяе­ мое дополнительной нелинейностью уравнения непрерывности снижение концентрации носителей в центре базового слоя, кото­ рый дает основной вклад в UTBi приводит к тому, что линия Зг

расположена правее линии 3 на рис. 3,14. Интересной особенно­ стью сплошной линии на рис. 3.15 является то, что она совпада­ ет с распределением носителей в случае, когда в расчете учиты­ валась только рекомбинация через глубокие уровни. Точками в этом варианте отмечены результаты расчета. Исследуемая нами структура имеет отношение Wp/tL= 1,2, т. е. аналитически распре­ деление носителей в базе может быть описано в рамках диффузи­ онного приближения. Согласно [ЗЛО, 3.30] учет ЭДР не изменяетвид уравнения непрерывности при высоком уровне инжекции, а следовательно, и вид решения в базовой области. Совпадение рас­ пределений подтверждает вывод аналитической теории и свиде­ тельствует о том, что имевшее место противоречие между числен-

95

ходимости занижать вклад оже-рекомбинации, используя зани­ женные значения констант Сп и Ср (см. § 3.2). В результате раз­ ница между кривыми 5 и 5' на рис. 3.14 невелика, поскольку лереоценка ЭДР в [3.42] в определенной мере была скомпенсиро­ вана недооценкой оже-рекомбинации. Однако, во-первых, такая компенсация происходит не всегда, и чем больше толщина базы, тем больше результаты нашей модели отличаются от результатов прежних работ. Во-вторых, даже если такая компенсация про­ изошла, неправильный учет вкладов разных эффектов не позво­ ляет описать изменение ВАХ под действием внешних факторов, например температуры, поскольку температурные зависимости ЗДР и оже-рекомбинации существенно отличаются.

В заключение отметим, что описанные в данной главе модели ВАХ ПС СПП основаны на работах, выполненных в течение по- •следних лет. Результаты этих работ существенно отличаются от литературных данных, касающихся метода учета влияния ЭДР на перенос носителей заряда в полупроводниках и полупроводнико­ вых структурах, а также влияния ЭДР, оже-рекомбинации и эф­ фектов сильного и неоднородного легирования на ВАХ ПС СПП. Рассмотренные в данной главе вопросы являются основными для понимания работы СПП в условиях высокого уровня инжекции носителей заряда в слоях структуры. Вместе с тем ряд важных вопросов, связанных, например, с исследованием температурной зависимости, влиянием ионизирующего излучения и т. д., не на­ шел отражения в представленном материале. Отчасти это про­ изошло вследствие ограниченности объема главы. Однако другой не менее важной причиной явилось то, что указанные вопросы в настоящее время недостаточно изучены как экспериментально, так ■и теоретически. Поэтому в заключение хотелось бы выразить на­ дежду, что представленные модели явятся основой для изучения работы СПП в условиях воздействия различных факторов и бу­ дут стимулировать развитие исследований в этом направлении.

Г л а в а ч е т в е р т а я

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИЛОВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ

4.1.ВВЕДЕНИЕ

Основной тенденцией развития силовой полупроводниковой техники является увеличение рабочих значений напряжения и тожа приборов. Этого можно добиться, увеличив диаметр и удельное

<96

броса конкретного параметра удобно использовать его среднеквад­ ратичную флуктуацию

где черта означает операцию усреднения по площади прибора

(...) = j(...)g (x )d x ,

а ё ( х) — некоторая нормированная функция распределения пара­ метра х по площади прибора.

Поэтому всюду ниже, говоря о разбросе какого-либо парамет­ ра, будем иметь в виду его среднеквадратичную флуктуацию. Раз­ брос электрофизических и геометрических параметров по площа­ ди структуры может быть значительным. Например, время жизни носителей заряда в пределах одной структуры может изменяться на 30—50 %. Естественно, это влияет на электрические характери­ стики СПП. Любая модель, претендующая на адекватное описа­ ние характеристики реального СПП, должна учитывать разброс электрофизических и геометрических параметров по площади структуры. Легко понять, как изменится способ описания каждой конкретной характеристики при учете разброса параметров. Рас­ смотрим для определенности ВАХ мощной структуры. Если без учета разброса параметров для описания ВАХ вполне достаточно иметь зависимость вида

то при учете разброса параметров уже недостаточно одной усред­ ненной зависимости (рис. 4.1)

97

МП, распространяется по полупроводниковой пластине и

ще говоря, существуют два принципиально отличающихся друг от

среды.

В этом случае неоднородное распределение тока по площади структуры приводит к неоднородному же распределению темпера­ туры, причем каждый МП фактически греет только себя.

где # — поперечный размер полупроводниковой структуры. Легко понять, что в этом случае температура всей структуры

оказывается равной Ти зависящей лишь от полного тока, проте­ кающего через СПП, и не зависящей от распределения тока по

т. е. в данном случае тепло от каждого МП распространяется на всю структуру в целом, вследствие чего неоднородное распределе­ ние тока приводит к однородному разогреву всей полупроводни­ ковой пластины.

б) Явление, приводящее к электрической зависимости сосед­ них МП, заключается в возникновении поперечных электрических токов в СПП. В СПП, у которых падение напряжения на толще широкой базы мало и им можно пренебречь, электрическая связь соседних МП определяется возникновением поперечных диффузи­ онных токов. Тогда характерная величина LE, характеризующая

существенная часть общего падения напряжения приходится на толщу широкой базы, возможно возникновение поперечных элект­ рических полей. Однако амбиполярный характер движения носи­ телей заряда в квазинейтральной базе прибора не позволяет силь­ но возрасти характерной величине ЬЕ, которая согласно [4.2] в этом случае оказывается равной LE=Lexp{W nl4L) (здесь Wn— толщина базового слоя СПП).

в) Что же касается оптической связи соседних МП, заключа­ ющейся в перепоглощении кванта света, возникшего за счет пря­ мой рекомбинации электрона и дырки в одном из МП, то в крем­ ниевых СПП ею можно пренебречь, поскольку особенности зонной

т. е. когда неоднородное распределение тока приводит к неодно­ родному по площади разогреву полупроводниковой структуры.

т. е., когда, несмотря на неоднородное распределение тока по пло­ щади, разогрев структуры происходит однородно.

Численные оценки величин, входящих в (4.10) и (4.11), пока­ зывают, что реальные СПП в зависимости от конструктивных па­ раметров и качества исходного кремния могут работать как в од­ ном, так и в другом режимах. Рассмотрим, например, р+-п-п+ ди­

100