книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Получим приближенное решение уравнения (3.43), воспользовавшись методом статистической линеаризации, допустив

В соответствии с формулами (3.9) и (3.10) имеем (как частный случай при одномерном законе распределения)

В уравнение (3.48) входят центрированные случайные функции Awx и A$flt поэтому, применив операцию вычисления математического ожидания к обеим

91

от ом . Кривая 2 соответствует решению задачи по методу статистической ли­

неаризации. Из сопоставления решений следует, что метод статистической ли­ неаризации дает приемлемые рмультаты только при малых возмущениях.

15. Метод статистической линеаризации при исследовании детерминистических систем

Идея метода статистической линеаризации может быть исполь­ зована и при решении детерминистических задач нелинейных колебаний. Рассмотрим нелинейное уравнение вида (например,

Для определения неизвестного коэффициента а , используем условие минимума интеграла от квадрата ошибки за полупериод

Л

2

Выражение (3.51) для а совпадает с выражением, которое можно получить в соответствии с методом гармонической линеари­ зации. Перейдем теперь в соотношении (3.50) от времени t к не­

—Хо

где р ( х ) ~ l /( n j / a a — х2).

Выражение (3.52) по своей структуре напоминает выражение для дисперсии случайной функции х, имеющей плотность вероят­

92

Графики функций (3.52) и (3.53) приведены на рис. 3.5. В ве­ роятностной трактовке отличие между весовыми функциями р (х) и рх (х) заключается в том, что при выборе'рх (х) предполагается, что вероятность нахождения массы т вблизи начала координат (например, в интервале хх, х2) мала, в то время как при выборе в качестве весовой функции р (х) считается (в вероятностной трак­ товке весовых функций), что вероятность нахождения массы т в интервале хх, х2 не является малой величиной.

Воспользуемся изложенным методом для приближенного ре­ шения нелинейного уравнения с полигармонической вынужда­

где F x ( х ) — нечетная функция.

Проведем линеаризацию функции Fx (х), считая (см. рис. 3.1, б), что плотность вероятности нам известна. Для нечет­ ной функции Fx (х) можно допустить, что установившиеся коле­ бания симметричны относительно начала координат, поэтому математическое ожидание х равно нулю. В этом случае плотность вероятности, если ограничиться двумя вероятностными характе-

93

ристиками тх и ах, зависит от параметра а*, т. е. р (х , ах). Пола­ гая Z7! (х) = ах и минимизируя функционал

Плотность вероятности р (х, ох) решения уравнения (3.56) можно взять такой же, как и для случайного процесса, предста­ вляющего собой сумму вида (3.57) с детерминированными Ct, <ог, 0, и со случайными независимыми фазами г|у, для которых примем равномерное распределение на интервале от 0 до л.

Если число гармонических составляющих в правой части уравнения (3.56) большое (п > 3), то закон распределения реше­ ния уравнения (3.56) близок к нормальному [при малом п закон распределения можно взять в виде (3.52)], поэтому полагаем

Из выражения (3.55) получаем

Из уравнения (3.56) находим амплитуды решения С£ и фазо­ вые углы 0£:

9 4

Если в выражении (3.57) все сог различны, то дисперсия не зависит от фаз фг и выражается через амплитуды следующим образом:

а затем по формулам (3.58) — Сг и 0*. Следует отметить одну очень существенную особенность изложенного метода, которая заклю­ чается в том, что решение уравнения (3.54) свелось к одному нелинейному алгебраическому уравнению (3.60) относительно ах при любом числе слагаемых в правой части уравнения (3.57). При решении уравнения (3.54) методом гармонического баланса при п слагаемых в (3.57) получилась бы система п нелинейных алгебраических уравнений с п неизвестными, решение которой даже с применением быстродействующих ЭВМ представляет зна­ чительные трудности.

Для приближенных! решений можно^использовать и более простые законы распределения, например, равномерное распре­ деление плотности вероятности

При законе распределения плотности вероятности (3.61) по­ лучаем

-/ з v

Вкачестве примера рассмотрим следующее уравнение:

решение которого ищем в виде

Если воспользоваться методом Дуффинга, то для определения неизвестных амплитуд Clt С2 получаем систему уравнений

95

Система (3.63) позволяет определить Сг в зависимости от Л*, о>j. Так как система (3.63) нелинейная, то возможны несколько

значений С)1*и С20 , т. е. возможны несколько режимов колебаний. Воспользуемся теперь для решения уравнения (3.62) методом линеаризации, взяв для простоты равномерный закон распределе­

ния (3.61), что дает

Вместо системы нелинейных уравнений (3.63) получаем одно нелинейное уравнение (3.65) пятой степени относительно о\.

Определив из (3.65) действительные положительные корни (o3)t- (так как дисперсия не может быть отрицательной величиной), находим возможные амплитуды

Среди возможных решений (3.66) есть устойчивые и неустой­ чивые, определение которых требует дополнительного исследова­ ния. Если правая часть уравнения (3.62) есть чисто периодическая функция (что имеет место при кратных <о*)., то возможные решения (3.66) также являются периодическими функциями, поэтому, рассматривая возмущенное движение (полагая х = xt + А**) относительно найденных возможных решений (3.66) из уравнения (3.62) (сохраняя линейные слагаемые относительно Дхг)> получаем

A#* -j- (^0 + 3yxi) AХ[ — О,

что является уравнением параметрических колебаний.

96

16. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)

Основная идея метода статистических испытаний состоит в моделировании функционирования системы с учетом всех дей­ ствующих на нее случайных возмущений. Решением уравнений движения устанавливается связь между случайным входом (еди­ ничной реализацией случайного процесса) и выходом, что дает возможность при большом числе реализаций процесса получить (после обработки методами математической статистики) законы распределения и вероятностные характеристики выхода (решений дифференциальных уравнений).

Основное преимущество метода статистических испытаний за­ ключается в том, что он может быть использован для решения как линейных, так и нелинейных уравнений движения системы любой сложности.

Изложенные в п. 13 методы исследования случайных процессов в нелинейных системах являются приближенными, поэтому ну­ ждаются в оценке точности полученных результатов. Пример 1 в п. 13 был решен приближенными методами, и результаты реше­ ния сравнивались с точным решением, полученным с использо­ ванием Марковских процессов, что дало возможность оценить точность приближенных решений. Такая возможность оценки точности приближенного решения нелинейных задач имеется очень редко, поэтому всегда при получении приближенных реше­ ний, использующих методы упрощения исходных уравнений (статистическая линеаризация, разложение в ряды и т. д.), остается сомнение в эквивалентности решения реальному про­ цессу. О недостатках методов статистической линеаризации и моментных функций говорилось в п. 12. Рассмотрим трудности, возникающие при исследовании нелинейных статистических задач на следующем примере.

На рис. 3.6, а показан пустотелый стержень (трубка), внутри которого движется тело массой т под действием случайной силы F и случайного момента М. Между телом и внутренней поверх­ ностью трубки имеется зазор, который при движении тела может перекрываться (рис. 3.6, б) (положение тела с перекрытым зазо­ ром показано штрихом), т. е. на некоторых интервалах времени тело движется, как показано на рис. 3.6, б. Между этими двумя предельными положениями возможно положение, когда тело вну­ три трубки движется, имея только одну точку контакта с трубкой. Требуется исследовать совместное движение трубки и тела. И, в ча­ стности, определить вероятностные характеристики углов 0х и 02 в момент выхода тела из трубки (рис. 3.6, в). Каждый из пере­ численных этапов движения характеризуется своей системой уравнений, причем моменты времени перехода от одной системы уравнений к другой случайны. Решить эту задачу методами теорий случайных процессов (со стыковками решений в случайные

Рассмотрим подробнее алгоритм решения нелинейных уравне­ ний методом статистических испытаний на примере простейшей системы (см. рис. 3.7, а), имеющей один вход х и один выход у. Получив п решений для п реализаций случайной функции х (t), пользуясь формулами математической статистики, находим ма­ тематическое ожидание и дисперсию решения

П

= тг 2 yi (*);

б»<0 = тГ4 г г £ й " - 'й * )г- 1

Точность получаемых вероятностных характеристик решения математического ожидания и дисперсии зависит от числа реше­ ний п и оценивается средними квадратическими отклонениями оценок на основании формул математической статистики:

*Более полная оценка точности получаемых при решении результатов, может быть получена на основе вычисления довери­

тельных вероятностей различных отклонений оценок ту и Dy от соответствующих истинных вероятностных характеристик. Эти вероятности могут быть оценены приближенно при условии, что

В табл. 3.1 и 3.2 приведены значения чисел испытаний (реше­ ний), необходимых для получения результатов с заданными отно­

Т а б л и ц а 3.1

Число испытаний для определения математических ожиданий при различных значениях vx

Т а б л и ц а 3 . 2 *

Число испытаний для определения дисперсии при различных значениях v2

Если необходимо иметь закон распределения выходной вели­ чины, результаты решений (ограничимся случаем, когда время процесса конечно и равно tv) yt (t[t) делят на разряды (интервалы значений г/г (tK) = at) и подсчитывают число kj значений y t (tK), приходящихся на /-ый интервал. Это число делят на общее число решений и получают частоту появления числового значения ре­

шения г/г (tK), соответствующего данному интервалу {аи aj+1) Р}=

~kj/n. В результате получается гистограмма (рис. 3.8).

Впределе при увеличении числа разрядов гистограмма при­ ближается к некоторой кривой, представляющей собой график плотности вероятности функции у (tK) в фиксированный момент времени tK. Для получения достоверных оценок функции плот­ ности вероятности методом статистических испытаний требуется число решений еще большее, чем для определения оценок матема­

100