книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Для Гауссовских процессов, заданных корреляционной функцией или спектральной плотностью, метод схематизации удобно наз­ начать по величине отношения среднего числа экстремумов к среднему числу нулей. Если'это отношение мало отличается от единицы, то за метод схематизации следует принимать (как наи­ более простой) метод пересечений, или метод экстремумов. Если это отношение значительно больше единицы, то за методы схема­ тизации следует принимать такие методы, которые дают резуль­ таты, наиболее близкие к экспериментальным. К таким методам

впервую очередь относится метод полных циклов [14]. Отношение среднего числа экстремумов к среднему числу ну­

лей в единицу времени удобно принять за параметр, определяю­ щий сложность структуры процесса. Чем более высоким будет это отношение, тем более сложной, является структура процесса и тем более ответственным становится выбор метода его схемати­ зации. Проведенная схематизация заданного случайного процесса приводит к последовательности простых циклов нагружения, ко­ торым можно поставить в соответствие циклы нагружения при стандартных испытаниях на усталость. Тем самым появляется возможность расчета на усталостную долговечность.

В отличие от потока статистически независимых воздействий построенная последовательность циклов нагружения является последовательностью статистически зависимых величин, и не­ посредственное использование результатов теории накопления повреждений, описанной в п. 19, становится затруднительным. Точной остается лишь асимптотическая оценка средней величины накопленного усталостного повреждения (4.29) и соответствующая ей оценка средней долговечности (4.37).

Существенную корректировку необходимо ввести в определе­ ние дисперсии накопленного усталостного повреждения и соот­ ветствующую ей дисперсию долговечности. Дисперсия накоплен­ ного к некоторому моменту времени Т усталостного поврежде­

для стандарта распределения накопленного за п циклов нагру­ жения усталостного повреждения получаем следующую оценку:

SvV л < SVr/n < nSv,

где Sv — стандарт распределения единичного усталостного повреждения.

181

Приближенную оценку для S vf /n получаем из (5.31), пола­

гая, что коэффициенты корреляции между любыми двумя сосед­ ними повреждениями одинаковы и равны р, а коэффициенты кор­ реляции между другими повреждениями равны нулю. В этом слу­ чае дисперсия накопленного к моменту времени Т усталостного повреждения

SV n ~ n ( l - b 2 p ) S i

Отсюда следует, что

Переходя к безусловной дисперсии накопленного к моменту времени Т усталостного повреждения так , как это было сделано в п. 19, получаем

где ? и — среднее значение и стандарт распределения интервала времени между нагружениями; а — коэффициент, учитывающий корреляцию между по­ вреждениями. Часто можно принять а = (1 + Зр).

Распределение накопленного к моменту времени Т усталост­ ного повреждения vT является асимптотически нормальным и

Распределение долговечности полностью определяется ее

средним значением Т = Jlv и дисперсией (5.33). На основании соотношения (4.38) плотность этого распределения

Конкретизируем полученные соотношения для расчета долго­ вечности применительно к Гауссовскому стационарному процессу изменения напряжений a (0, заданному корреляционной функцией К (т). За интервал времени между нагружениями примем интер­ вал времени между соседними максимумами. Плотность распре­ деления этого интервала обозначим через / (т). Эту плотность определяют по заданной корреляционной функции К СО соот­ ношениями (4.62)—(4.64) и (4.107).

Пусть циклы нагружения характеризуются амплитудным на­ пряжением ста и средним напряжением ат. Совместную плот­ ность распределения этих напряжений в циклах обозначим

182

/ (а ,, а т ). Тогда среднее значение единичного усталостного по­ вреждения и его дисперсия будут определяться соотношениями!

Полагая для простоты, что накапливаемые повреждения про­ порциональны т-ой степени действующих амплитудных напряже­

о

Расчет долговечности сводится теперь к применению формул (5.33)—(5.36).

Плотность распределения / (ста, ат) зависит от вида случай­ ного процесса и применяемого метода его схематизации.

Рассмотрим определение распределений амплитуд напряжений в случайных процессах при различных методах их схематизации и запишем основные соотношения для расчета долговечности.

Метод превышений (выбросов). Согласно определению, плот­ ность распределения амплитуд напряжений при этом методе схе­ матизации определяется по формуле

Тогда, подставляя выражения (5.38) и (5.39) в формулы (5.35) и (5.36), получаем следующие выражения для среднего значения

183

усталостного повреждения за одно нагружение и для его дисперсии:

где Г (п) — гамма-функция; S — стандарт процесса нагружения.

Среднее значение долговечности и ее дисперсия равны:

где ? — средний период процесса по нулям.

Здесь оценка дисперсии интервала времени между нагруже­ ниями о* выполнена по распределению (4.111).

Рассмотрим теперь случай, когда кривая усталости задана уравнением (5.1). Подставляя соотношения (5.1) и (5.38) в фор­ мулы (5.35) и (5.36), получаем

Здесь оценка дисперсии интервала времени между нагружениями также выполнена по распределению (4.111).

184

Метод экстремумов. Для Гауссовских стационарных про­ цессов плотность распределения максимумов, принимаемая при методе экстремумов за плотность распределения амплитуд напря­ жений, задается соотношением (4.97). Подставляя его в формулы (4.39), (5.33), (5.35) и (5.36) аналогично тому, как это было сде­ лано в методе превышений, можно вычислить среднее значение ожидаемой долговечности и накопленного к некоторому заданному моменту времени усталостного повреждения, а также их дисперсии.

Приведем здесь лишь соотношение для определения ожида­ емой долговечности

1 —Ф

5

здесь k —отношение среднего числа экстремумов к среднему числу нулей в еди­

ницу времени.

Значения функций J lt Уа и J 3 приведены в приложении 5. Метод размахов. Определение распределения размахов (при­ ращений процесса между двумя его соседними экстремумами) даже для Гауссовских стационарных процессов (как это было по­ казано в гл. 4) является сложной вычислительной задачей. При­ мем, что это распределение можно приближенно описать соот­

185

Сопоставляя соотношение (5.46) с формулой (5.38) заключаем, что расчет долговечности и расчет накопленных усталостных повреждений при методе размахов может быть выполнен по фор­ мулам метода пересечений, если в них вместо стандарта процесса S подставить его расчетное значение S/k, а период процесса по нулям 1 заменить периодом процесса по экстремумам ?э = Hk.

Так, ожидаемая (средняя) долговечность по методу размахов

(5.47)

Метод укрупненных размахов. При построении точных расчет­ ных формул по методу укрупненных размахов необходимо в составе рассматриваемого процесса выделить циклы нагружения пер­ вого, второго и так далее порядков в соответствии с тем, какое число одноименных экстремумов включается в один расчетный цикл.

Пусть f (oh) — плотность распределения вероятности укруп­ ненного размаха в цикле k-vo порядка, а пк — эффективная ча­ стота появления этого цикла. Тогда, суммируя усталостные по­ вреждения по циклам всех возможных порядков, можно записать следующую формулу для расчета усталостной долговечности:

Соотношения для определения / (ah) и nk могут быть получены на основе совместного распределения произвольного числа сле­ дующих друг за другом экстремумов (см. п. 20). Для этого необ­ ходимо предварительно вычислить вероятность того, что k сле­ дующих друг за другом экстремумов будут составлять цикл k-то порядка, т. е. вероятность того, что последующие одноименные экстремумы будут меньше предыдущих, а величина накопленного усталостного повреждения, подсчитанного от полного приращения процесса между наименьшим минимумом и наибольшим макси­ мумом^. е. от «укрупненного размаха») будет больше суммы уста­ лостных повреждений, подсчитанных по его промежуточным при­ ращениям (размахам). Очевидно, что получаемые таким образом расчетные величины усталостных повреждений будут давать для истинных повреждений оценки сверху.

Если кривая усталости задается уравнением (5.1), то условие того, что полный размах даст большее повреждение, чем пов­ реждение, подсчитанное по всем промежуточным размахам, сво­ дится к следующему неравенству:

(о0— а к) т > (сг0— 0i)m+ (<Тг — Oj)”1+ •' • Н- (a k~ i — Qk)m> (5.48)

где cr0, at, ..., ah — значения следующих друг за другом экстремумов напря­ жений; т — параметр кривой усталости.

186

Искомая вероятность

D

где D — область, удовлетворяющая условиям (5.48); р (о0, аг, ...-, о/,) — сов. местная плотность распределения следующих друг за другом k экстремумов.

Величины nh можно определить следующим образом. Пусть k — наибольший порядок цикла в процессе сг (t). Тогда, исключая последовательно циклы более высоких порядков, получаем сле­ дующие формулы для определения среднего числа циклов любого порядка;

«й-l = 2 (ft — 1) ^ — Рк)Рк~ъ

n k - 2 — 2 ( k — 2) ^ О Р k ) Р k - l \ Р к - 2>

где п — частота процесса по экстремумам.

Практическая реализация предложенной методики расчета встречает большие вычислительные трудности. В целях упроще­ ния расчетов отметим следующее. Сравнивая расчет долговечности по методу превышений и по методу размахов, заключаем, что с точки зрения вычислений переход от первого метода расчета ко второму связан с заменой действительного стандарта процесса 5 расчетной величиной стандарта S l k и действительной частоты процесса п0 расчетной частотой пш = kn0. В методе укрупненных размахов расчетный стандарт процесса и расчетная частота про­ цесса должны находиться между этими значениями. Поэтому задачу можно свести к соответствующему подбору расчетного параметра сложности структуры процесса k*. В первом прибли­

жении этот параметр может быть принят равным k* = ■~j,~■

Тогда расчет долговечности можно выполнить по формуле (5.43), где,стандарт процесса S заменяют величиной 5* = S/k* и частоту

процесса По величиной п* = щ

Метод полных циклов. Основная трудность в практической ре­ ализации метода полных циклов заключается в построении ана­ литического выражения для плотности распределения амплитуд. Пусть известна плотность распределения амплитуд при схемати­ зации процессов по методу размахов, т. е. известна плотность распределения половин приращений процесса между двумя его соседними экстремумами. Это распределение зависит от параметра сложности структуры процесса k. Обозначим его плотность / ( а , к ).

187

Тогда число циклов с амплитудами, находящимися в малом интер­ вале 0 — Ао,

пх= -у- / (Асг, &)Аст.

Исключим эти циклы из данного процесса. Тогда число экстре­ мумов в процессе уменьшится на величину 2пх. Считая, что от­ носительное число нулей процесса при этом изменяется на вели­

для отношения среднего числа экстремумов к среднему числу нулей kx:

= я 011 — 2nil(kn9)\\

Плотность распределения половин приращений процесса ме­ жду двумя его соседними экстремумами после исключения циклов с амплитудами, меньшими Аа, запишем в следующем виде:

Число циклов с амплитудами в малом интервале Да ... 2Аа

п2 — (1 — f (Аа, k) ACT) cxf (2ACT, kx) ACT

0)

/(2Дст, kx) ACT.

2k na

После исключения и этих циклов из исходного процесса ст (t) среднее число нулей в единицу времени и отношение среднего числа экстремумов к .среднему числу нулей станут следующими:

188

Плотность распределения половин приращений процесса ме­ жду двумя его соседними экстремумами после второго исключения циклов

Теперь можно продолжить исключение циклов с амплитудами из последующих интервалов 2Да ... ЗДа, ЗДа ... 4Да и т. д. Этот процесс должен продолжаться до тех пор, пока параметр k не станет равным единице.

Для произвольного i-ro этапа имеем:

Переходя в формулах (5.50) и (5.51) к суммированию беско­ нечно малых величин, получаем для определения текущих зна­ чений По (а) и k (а) — ka следующую систему интегральных урав­ нений:

о

Верхний предел интегралов в этих уравнениях ограничен значением а*, определенным из условия ka = 1. При а > а*, k = \ .

и)

Выражение для плотности распределения амплитуд при схе­ матизации процессов по методу полных циклов получаем из соотношения (5.49):

Для случая Гауссовского стационарного процесса с параметром сложности структуры ka плотность распределения половин его приращений между двумя соседними экстремумами можно при­ ближенно описать соотношением (5.46). Подставляя его в уравне­ ния (5.52)—-(5.54), получаем:

где а и Ь — параметры, подлежащие определению.

Из условия ka — 1 при a = а* получаем верхнее значение уровня амплитуд, до которого необходимо продолжать их исклю­ чение с тем, чтобы прийти к процессу с параметром сложно­ сти структуры k = 1:

190