книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Получим законы распределения максимальных значений ком­ понент 2,'тах, линейно зависящих от случайного модуля вектора импульса силы [соотношение (2.19)].

В соответствии с общей теорией определения законов распре­ деления монотонно изменяющихся функдий случайных аргу­ ментов [38] имеем:

где bt ^ ) = ] / Гв и + о ? 2 - '

Максимально возможное значение наибольшей компоненты вектора решения zt (например, смещение) найдем из условия, ана­ логичного правилу трех стандартов

Р (0 < Z[ max < (г*max) = 0,99

или

Из выражения (2.21) для произвольного момента времени оп­ ределяем 2 * т а х .

Изложенный метод позволяет определить максимально возмож­ ные значения каждой из компонент вектора состояния системы, например, отклонений &-ой массы (,Tift)max, (x3fe)max или скоростей

( * i h ) шах» (■^ЯА.) m ax-

Зная закон распределения максимальных отклонений масс системы, можно определить вероятность того, что максимальное отклонение /-ой массы находится внутри зазора А (см. рис. 2.1), что является ответом на один из наиболее интересных вопросов при расчете системы амортизации — о вероятности пробоя. Ана­ логичные задачи имеют место и при расчете системы подвески в ав­ томобилях и тракторах при наезде на единичные неровности. Эта вероятность равна

Момент времени, при котором Рл достигает максимального значения, определяется из условия

dPJdt = 0 .

Аналогичным методом можно определить и максимальные уско­ рения (первые 2п компонент вектора z)

41

Зная закон распределения ускорений, можно определить ве­ роятность того, что перегрузки, действующие на сосредоточенные массы системы, будут находиться в заданном интервале значений

при действии|импульсов имеет место только поступательное дви­ жение масс, т. е. перегрузки полностью определяются линейными ускорениями £г.

Рассмотрим теперь случай, когда возможно и вращательное движение.При наезде автомобиля на единичную неровность (рис. 2.4) возникают'как угловые гр, так и линейные^смещения x t. При малых колебаниях проекции ускорения произвольной точки /(

42

(рис. 2.5) являются линейными функциями линейных и угловых ускорений твердого тела

При пространственных малых колебаниях твердого тела (на­ пример, машины) при действии сосредоточенного произвольно на­

правленного импульса J система приобретает линейную х 0 и угло­ вую <»0 скорости, линейно зависящие от проекций J xi импульса J

J = J x \ t \ + J xt i2 + J х3Н-

Импульсное нагружение системы (машины) может происходить не только при наезде на единичное препятствие, но и от действия ударной волны. В последнем случае импульс силы направлен произвольно, поэтому может появиться момент относительно свя­ занных осей.

Воспользовавшись теоремой об изменении количества дви­ жения системы, получим шесть уравнений для определения трех

линейных Vj0 и трех угловых <pj0 скоростей тела (если тело до дей­ ствия импульса находилось в покое)

Рассматривая свободные колебания системы после прекраще­ ния действия импульса, из системы уравнений движения можно получить выражения для компонент вектора состояния, содержа­ щие углы ф£ и их первые производные, которые линейно зави­ сят от J Xi,

Zl = ХЮ— йлЛГ Н~ Хг “Ь Ctl2,Jх,',

Zi = XiQ= bi\JXl -f- t&Jx2 -\- bi3JXa;

Воспользуемся изложенным выше методом и найдем, например, максимальные угловые скорости, которые может иметь система

43

После преобразований по­ лучим

Рассмотрим общий случай, когда требуется определить, например, максимально воз­ можное ускорение произволь­

РиС. 2 .6 . Система с двумя степенями ной точки К тела. Восполь­

зуемся формулой (2.24), ко­ торая после подстановки вы­

Зная максимальные значения компонент ускорения точки К, можно определить максимальное значение модуля вектора уско­ рения этой точки

жениям (2.20) и (2.10). Зная закон распределения модуля импульса силы можно определить максимально возможные значения уско­

ускорениями (2.26) и (2.27) заданных значений [аналогично выра­ жению (2.23) ].

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим систему с двумя степенями свободы (рис. 2.6), на которую в точке К дей­ ствует произвольно направленный случайный импульс. Восполь­ зовавшись выражениями для перемещений в канонической форме, получаем следующие уравнения малых колебаний системы (без учета сил сопротивления):

В этом примере решение можно получить в аналитической форме. Находим начальные скорости системы после прекращения действия импульса из -следующих уравнений:

44

Получим выражение для максимального значения смещения х2. Для этого рассмотрим функционал

45

С изменением времени закон распределения xz непрерывно изме­ няется, а при дискретных моментах времени законы распреде­ ления х£ подобны законам распределения модуля случайного им­ пульса (см. рис. 2.2).

Если частоты не кратны друг другу, то коэффициент b ( / ) ,

в дельта-функцию.

Максимально возможное отклонение системы шах (*£*) най­

p f Решить уравнение (2.32) можно только численно, задавшись конкретным значением времени t.

9. Нестационарные случайные колебания

Характеристики нестационарных случайных процессов пред­ ставляют собой функции времени, которые можно определить только усреднением мгновенных значений процессов по множеству реализаций. Это обстоятельство существенно увеличивает объем вычислительной и экспериментальной .работы и ограничивает использование таких моделей случайных процессов на практике.

В дальнейшем будем считать, что накоплен достаточный ста­ тистический материал о случайных воздействиях, все вычисли­ тельные трудности преодолены и необходимые сведения о характе­ ристиках случайных воздействий (входе) известны.

В ряде случаев вероятностные характеристики входа не зави­ сят или почти не зависят от самой конструкции и являются хо­ рошо изученными случайными функциями. Например, в резуль­ тате большого числа экспериментальных данных получены веро­ ятностные характеристики неровностей дорог [16], неровностей

46

аэродромного покрытия, скоростей и направлений ветра для раз­ личных районов и т. д.

Основные методы решения уравнений движения при нестацио­ нарных случайных возмущениях изложены в работе [42 3. Поэтому рассмотрим лишь некоторые дополнительные задачи, в частности задачи статистической динамики линейных систем при однократ­ ном случайном нагружении постоянными во времени силами, что

в потоке воздуха со случайной скоростью и случайным направле­ нием. Стержни при расчетах заменим системой с массами т ;, к которым приложены сосредоточенные векторы сил / г (рис. 2.8, а). Принятый закон изменения скорости ветра во времени показан

Компоненты / г (t) вектора f(t) являются случайными функциями с известными вероятностными характеристиками [известны mfi{t)

и KHfj (t, t') 1. Если Д — независимые случайные функции, то К/,-/,

47

где К (t) — фундаментальная матрица решений однородного уравнения.

Основная трудность при использовании решения (2.35) за­ ключается в определении матрицы Грина К (t, т). Напомним метод ее определения для случая, когда время входного воз­ действия ограничено t = 4 [42].

Дифференцируя тождество К (е) /С-1 (е) — Е, имеем

Умножив (2.36) справа на матрицу К (е), получаем

Матрица К удовлетворяет уравнению

К I- АК = 0,

поэтому, исключая К из (2.37), получим

К уравнению (2.40) применим операцию сопряжения (транспо­ нирования для матриц с действительными элементами)

ничная матрица), поэтому следует перейти к новой независимой переменной

6^ 4

48

после чего уравнение (2.41) принимает вид

dK*fde1 + А* (ъДК* = 0.

1

Так как значение интеграла при фиксированных пределах в выражении (2.35) не зависит от направления интегрирования (т = /к — в|), то получающиеся при решении уравнения (2.41) значения матрицы К* (после операции сопряжения) используются при вычислении интеграла

В частном случае, когда возмущения являются случайными величинами, имеем

Kfifj(x, т') = Кif — const,

49

и выражения для взаимно корреляционных функций решения принимают вид

п. /'

Рассмотрим второй частный случай, когда возмущения Д (^) являются случайными функциями типа «белого шума». В этом случае

Если силами сопротивления можно пренебречь или если силы сопротивления удовлетворяют определенным частным условиям, то для решения системы уравнений (2.38) может быть использо­ ван метод главных координат. Рассмотрим вынужденные колеба­ ния систем с п степенями свободы без учета сил сопротивления (матрица В нулевая). Уравнение движения системы в векторной форме имеет вид

Мх-\-Сх--= Bl f 1.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид

50