книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

(нижней и верхней) частот р = (оя/(ов. Вычисления показали, что даже для процессов с относительно простыми спектрами получе­ ние численных результатов по этим формулам затруднительно. Целесообразно иметь приближенные эффективные оценки распре­ деления амплитуд. Заметим, что половина приращения процесса между двумя соседними экстремумами (половина размаха) может быть записана следующим образом:

где т — интервал времени между соседними экстремумами.

Среднее значение половины размаха

где чертой сверху показана операция усреднения.

Для Гауссовских процессов

<4Л,4>

1 * 1 = / — Н < 0 > -

где К (0) и K1V (0) — вторая и четвертая производные корреляционной функ­

ции при г ~ 0.

Отсюда

= <4'" 5)

где k — отношение среднего числа экстремумов к среднему числу нулей про. цесса х (t).

Сопоставляя соотношения (4.115) и (4.98), заключаем, что средние значения половин размахов и максимумов в Гауссовских стационарных процессах равны по величине. Поскольку второй момент распределения половин размахов меньше второго момента распределения максимумов, то имеем оценку

Так как дисперсия распределения половин размахов всегда больше нуля, то из соотношения (4.115) следует, что

Таким образом, соотношения (4.116) и (4.117) определяют «вилку» значений, в которых лежит истинное значение второго момента.

141

Если в качестве распределения половин размахов принять распределение Рэлея с плотностью

и первыми двумя моментами

х2 = 2/k\

то приходим к выводу, что это распределение достаточно хорошо описывает распределение половин размахов, так как при этом первый момент определяется точно, а второй лежит в диапазоне его истинного значения:

В п. 23 показаны различные приближенные методы отыскания распределения абсолютного максимума для процессов общего вида. Наиболее эффективная оценка этого распределения дается соотношением (4.86).

Подставляя в это соотношение формулу (4.92) для определе­ ния среднего числа выбросов Гауссовского стационарного про­ цесса, получаем функцию распределения абсолютного макси­

г к ,1= 2 К ( Щ Ы ^ У - Х Щ -

Соотношение (4.120) было впервые предложено В. В. Болоти­ ным [7].

Среднее значение и стандарт абсолютного максимума в со­ ответствии с распределением (4.120) определяют по формулам

Вторую оценку для функции распределения абсолютного максимума получаем, подставляя в соотношение (4.90) выраже­ ние (4.107) для определения среднего интервала времени между

142

превышениями Гауссовским стационарным процессом заданного уровня:

В качестве третьей оценки для распределения абсолютного максимума в Гауссовских стационарных процессах приведем

2 In (fit)

где г) — случайная величина с функцией распределения

Р (п) = ехр [—ехр (—г|)[.

Среднее значение и дисперсия величины г| определяются соотношениями

25. Анализ композиции Гауссовских стационарных колебаний

Решение ряда важных технических задач приводит к не­ обходимости анализа математической модели процесса, пред­ ставляющего собой сумму (композицию) нескольких стационар­ ных Гауссовских колебаний. Так, при анализе плоского напря­ женного состояния, эквивалентное напряжение строится обычно в виде композиции трех напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам и представляющих собой трехмерный случайный процесс. Сформулируем задачу. Пусть задан трехмерный стационарный Гауссовский процесс }х, у, z\, описываемый следующей матрицей корреляционных и взаимных корреляционных функций:

143

Этот процесс является одномерным, и его анализ может быть проведен описанными выше методами. Выпишем основные соот­ ношения. Дисперсия процесса (4.124) и дисперсия его первых двух производных могут быть вычислены по формулам

где через S я К обозначены стандарты и коэффициенты корреляции процессов х, у я г к их первых и вторых производных.

Среднюю циклическую частоту процесса (4.124) со0, „ и сред­ нюю циклическую частоту его первой производной (среднюю

частоту появления одноименных экстремумов) соэ, „ можно опре­ делить по формулам:

144

^xy = z k xy /(S x S y), r xz = k xz/( S x S z)',

26. Анализ квазистационарных случайных колебаний

Для решения некоторых задач по оценке нагруженности и расчету надежности конструкций представляет интерес анализ случайного процесса нагружения, который можно представить в виде сумм и произведений случайных стационарных и квазидетерминированных нестационарных процессов. Эти процессы можно задать в виде соотношения (1.3).

Пусть все составляющие изучаемого процесса являются Гаус­ совскими. Тогда совместное распределение процесса и его первых двух производных для совпадающих моментов времени также будет Гауссовским. Моменты этого распределения для рассматри­ ваемых квазистационарных процессов приведены в гл. 1. Построе­ ние для этого случая совместного распределения произвольного числа следующих друг за другом экстремумов и других частных распределений, вытекающих из него, связано лишь с вычисли­ тельными трудностями. Эти трудности обусловлены в первую очередь тем, что в отличие от стационарного случая исходные распределения и искомые величины являются функциями времени.

Рассмотрим задачу об определении среднего числа превышений случайным процессом х (t) произвольного уровня х. Для этого достаточно задать совместную плотность распределения про­ цесса и его первой производной в совпадающие моменты времени и воспользоваться соотношением (4.70). Для Гауссовского про­

145

рованный коэффициент корреляции между х и х; о^, а± и г — заданные функ­

ции времени.

Подставляя соотношение (4.125) в формулу (4.70) и производя необходимые преобразования, получаем следующее выражение для определения среднего числа превышений уровня х за время t:

t

Соотношением (4.127) можно воспользоваться, в частности, при анализе числа выбросов процессом, представляющим собой произведение Гауссовской стационарной функции xt (t) со сред­ ним значением, равным нулю, и гармонической функции с часто­ той ю0:

Непосредственная подстановка этих соотношений в формулу (4.127) приводит к сложным интегралам, поддающимся только численному анализу на ЭВМ. При приближенном анализе можно поступить следующим образом. Введем в соотношение (4.128) фазу <р, равномерно распределенную в интервале 0 ... 2я. Тогда

146

в приведенных выше соотношениях аргумент <iiat заменяем на (со0£ + ф) и усреднением по ф получаем

В этом случае

Эффективная частота процесса д: (t)

Следует отметить, что для произведения любых двух функций со средними значениями, равными нулю, оценку для числа нулей можно получить и без анализа формулы (4.127). Очевидно, что в этом случае число нулей будет не больше суммы числа нулей этих двух функций, так как в момент, когда одна из функций равна нулю, тогда и их произведение равно нулю. Когда нули этих функций не совпадают по времени, общее число нулей точно равно сумме нулей этих двух функций. Поскольку процесс слу­ чайный, то такое совпадение не исключается и общее число нулей меньше, чем эта сумма. Отсюда следует, что соотношение (4.130) не противоречит физическому смыслу рассматриваемой задачи.

Приближенный анализ случайных процессов может быть легко обобщен на случай, когда гармоническая составляющая процесса задана в виде тригонометрического ряда, т. е. процесс описы­ вается соотношением

х (t) = xt (t) (sin со0t + ax sin 2<o0t + a2 sin 3<o0f + •••)• (4.131)

Вводя еще раз фазу ф и усредняя результаты, получаем:

< = i ( I + a! + a! + - - ) al ’

7 0 + “i + а1+ • • ■) < + i “ 2 С + 4 + Ч +

147

При ав = const, cr* = const получаем формулу Райса:

Я<*/(> = ®Г — Р | ~ £ Г

Соотношением (4.132) можно воспользоваться при анализе числа превышений переходным процессом случайных колебаний произвольного уровня. В этом случае параметры сг*. сг* и г опре­ деляют по формулам п. 7. Особенно простой результат получается для узкополосных процессов с малым затуханием. Для этого случая

t

Jх* -

п(x/t) п0 ехр

о2о|(#) .

где и„ — собственная частота колебаний системы.

Интеграл, входящий в эту формулу, протабулирован (см. Приложения 3 и 4).

Этим соотношением можно воспользоваться при вычислении среднего числа выбросов для процесса, представляющего собой сумму стационарного процесса х г (t) и квазидетерминированной нестационарной функции хг (t), заданной в виде степенного ряда со случайными коэффициентами. В п. 5 дано вероятностное опи­ сание таких процессов и показано, что коэффициент корреляции гхх, в ряде случаев можно принять равным нулю. Там же приве­

дены соотношения для определения параметров къ кг, oXl, о*,. Уровень х можно считать обладающим статистическими свой­ ствами.

Вычислим п (x/t) для случая, когда процесс задан в виде суммы стационарного Гауссовского процесса xt (t) и линейной функции х2 (t) — а0 -f- a j с нормально распределенными коэффи-

148

циентами. Уровень х также будем считать распределенным нор­ мально. Для этого случая формула (4.133) принимает вид:

Соотношение (4.133) позволяет получить также общее соотно­ шение для определения среднего числа превышений произволь­ ного уровня х за время t случайным процессом х (/), представля­

X

149

В частности, если процесс х> (t) представляет собой гармони­ ческое колебание

х2 (t) = Л cos (at,

то, заменяя переменную интегрирования t на 0 — <at, получаем

Выбирая время t, равным одному периоду гармонического колебания, и замечая, что подынтегральная функция периоди­ ческая, получаем следующее соотношение для определения сред­ него числа превышений уровня х за период Т — 2я/со:

ванная функция Райса [29].

Приведенные соотношения позволяют решить поставленную задачу точно. Однако они слишком громоздки, и использовать их на практике затруднительно. Для получения простых приближен­ ных оценок введем фазу ф, равномерно распределенную в интер­ вале 0 ... 2я и усредним результаты так же, как это было сделано при анализе процесса (4.131).

Запишем анализируемый процесс в следующем виде: х (f) = x l (t) + A sin ((at -f ф).

150